A.1 · Algèbre linéaire

Préparation GRE niveau universitaire. Objectifs locaux dans le périmètre ETS examiné ; il s'agit d'un enseignement original, pas d'un test officiel ni d'un prédicteur de score.

Prérequis : Équations linéaires, multiplication matricielle, polynômes et racines complexes.

• Relier le rang, la nullité et les solutions des systèmes linéaires
• Analyser les espaces vectoriels et les applications linéaires
• Calculer les valeurs propres, les déterminants et les conditions de diagonalisation

rang : Dimension de l'image d'une application linéaire.

valeur propre : Un scalaire satisfaisant Av=λv pour un v non nul.

Un espace vectoriel réel est stable sous son addition spécifiée et sa multiplication scalaire, et satisfait les axiomes d'espace vectoriel. Une base est une liste libre génératrice : tout vecteur admet une représentation coordonnée unique dans cette liste. Pour tester l'indépendance des colonnes d'une matrice, résoudre le système homogène Ac=0 ; seul le vecteur coefficient nul signifie l'indépendance. Un ensemble générateur peut contenir des vecteurs redondants, donc la génération seule ne constitue pas une base.

La réduction par lignes met en évidence les pivots et les variables libres sans modifier l'ensemble des solutions d'un système linéaire. Le rang est la dimension de l'image des colonnes, équivalent au nombre de pivots. La nullité est la dimension du noyau : pour une application de domaine de dimension n, rang + nullité = n. Dans un système non homogène, une ligne de coefficients nuls avec un second membre non nul signifie une incohérence ; les variables libres donnent infiniment de solutions uniquement après établissement de la cohérence. La dimension du codomaine n'a pas besoin d'être égale au rang.

Une matrice carrée est inversible exactement lorsque son déterminant est non nul, son noyau est réduit à zéro et son rang est égal à sa taille. Ces énoncés ne nécessitent pas que chaque entrée soit non nulle. Les déterminants triangulaires sont des produits des entrées diagonales, donc une matrice dépendant d'une variable complexe peut être singulière aux racines complexes absentes d'un calcul restreint aux réels. Les échanges de lignes inversent le signe du déterminant ; ajouter un multiple d'une ligne à une autre ne le change pas. Vérifiez la singularité avant d'appliquer une formule d'inverse.

Un vecteur propre est non nul et satisfait Av=λv, donc les valeurs propres sont racines de det(A−λI). La diagonalisation nécessite une base complète de vecteurs propres indépendants sur le champ choisi. Des valeurs propres distinctes donnent des vecteurs propres indépendants, tandis que des valeurs propres répétées peuvent avoir un espace propre trop petit. Une matrice réelle symétrique possède une base orthonormée de vecteurs propres réels. Une matrice réelle impaire possède au moins une valeur propre réelle car son polynôme caractéristique réel est de degré impair ; cela seul n'implique ni la diagonalisation ni des valeurs propres toutes réelles.

A=[[1,1],[0,1]] a pour polynôme caractéristique (1−λ)². Les vecteurs propres satisfont y=0, donc son sous-espace propre a une dimension de un. Deux vecteurs propres indépendants sont nécessaires pour diagonaliser une matrice 2×2 ; A n'est pas diagonalisable.

La multiplicité algébrique d'une valeur propre n'est pas automatiquement égale à la dimension de son sous-espace propre.

Pour $T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ avec $T(x,y,z)=(x+2y+z,2x+4y+2z)$, trouvez des bases du noyau et de l'image. Résolvez $T(v)=(3,6)$ et $T(v)=(3,7)$.

Solution détaillée

La deuxième ligne est le double de la première, donc le rang est un. L'équation homogène donne $x=-2y-z$.

Les deux vecteurs affichés sont indépendants. Chaque sortie est $(s,2s)$, et $(1,2)$ apparaît ; c'est une base de l'image. Rang plus nullité est $1+2=3$, la dimension du domaine. Pour $(3,6)$, toutes les solutions sont $(3-2a-b,a,b)$, avec $a,b\in\mathbb R$. Pour $(3,7)$ il n'y a aucune solution, car $7\ne2\cdot3$.

Soit $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$. Déterminez ses valeurs propres, son déterminant et sa diagonalisation sur $\mathbb R$ et $\mathbb C$. Trouvez $A^n$ pour des entiers $n\ge1$ sans multiplications répétées.

Vérification après tentative

Le polynôme caractéristique est $(2-\lambda)^2$ et $\det A=4$. Résoudre $(A-2I)v=0$ donne $v_2=0$, donc l'espace propre a une dimension de un sur chaque champ. Deux vecteurs propres indépendants sont requis ; la matrice est inversible mais non diagonalisable sur aucun des deux champs. Écrire $A=2I+N$ où $N^2=0$. Le développement binomial commutatif ne laisse que deux termes :

En multipliant cette expression par $A$, on obtient la formule à $n+1$, vérifiant ainsi indépendamment le coefficient.