T.1 · Analyse réelle et topologie

Préparation GRE niveau universitaire. Objectifs locaux dans le périmètre ETS examiné ; il s'agit d'un enseignement original, pas d'un test officiel ni d'un prédicteur de score.

Prérequis : Énoncés quantifiés, inégalités, suites et fonctions continues.

• Appliquer les définitions des limites de suites et de fonctions
• Distinguer compacité, connexité et complétude
• Utiliser le raisonnement en espace métrique et topologie élémentaire

compacité : Tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini.

supremum : La plus petite borne supérieure d'un ensemble.

Un énoncé epsilon-delta contrôle toutes les entrées suffisamment proches. L'ordre des quantificateurs est important.

Dans l'espace euclidien réel, les ensembles fermés et bornés sont compacts. Ne pas appliquer cette équivalence à tout espace métrique.

Les images continues d'ensembles compacts sont compactes ; ainsi, une fonction réelle continue sur un domaine compact atteint ses extrema.

La connexité exclut toute séparation en parties ouvertes disjointes non vides. La continuité préserve la connexité ; la complétude est une propriété distincte.

f(x)=x sur (0,1) est continue et bornée mais n'atteint jamais son supremum 1. Sur [0,1], la même fonction atteint son maximum en 1. L'extrémité manquante explique pourquoi le théorème du domaine compact ne s'applique pas au premier cas.

La conclusion d'un théorème ne peut être utilisée avant que ses hypothèses n'aient été vérifiées.

Démontrer la continuité de $f(x)=x^2$ en 2 par un choix explicite epsilon-delta. Expliquer séparément pourquoi elle atteint un minimum sur $[1,3]$.

Solution détaillée

Étant donné $\epsilon>0$, choisir $\delta=\min(1,\epsilon/5)$. Si $|x-2|<\delta$, alors $1<x<3$, donc $|x+2|<5$.

Le choix dépend de epsilon, pas de l'entrée ultérieure x. L'intervalle $[1,3]$ est non vide et compact dans la métrique réelle usuelle. La continuité garantit l'atteinte des extrema. Ici $x^2\ge1$, avec égalité en 1, donc le minimum est 1.

Dans l'espace métrique $X=(0,1)$ avec la distance usuelle, X est-il borné ? Est-il fermé en lui-même ? Est-il compact ou complet ? Expliquer pourquoi « fermé et borné implique compact » ne s'applique pas ici.

Vérification après tentative

X est borné et fermé relativement à lui-même, car son complémentaire dans X est vide. La suite de Cauchy $1/(n+2)$ n'a pas de limite dans X, donc X n'est pas complet et par conséquent pas compact comme espace métrique. Directement, le recouvrement relatif ouvert $\{(1/n,1):n\ge2\}$ couvre X mais n'admet pas de sous-recouvrement fini. Heine-Borel exige d'être fermé et borné en tant que sous-ensemble de l'espace euclidien, et non simplement fermé dans un espace arbitraire choisi. X n'est pas fermé dans $\mathbb R$. Aucune hypothèse de théorème ne peut changer son espace ambiant en cours de raisonnement.