A.2 · Algèbre abstraite et théorie des nombres

Préparation GRE niveau universitaire. Objectifs locaux dans le périmètre ETS examiné ; il s'agit d'un enseignement original, pas d'un test officiel ni d'un prédicteur de score.

Prérequis : Arithmétique entière, ensembles, fonctions et preuve par contre-exemple.

• Utiliser les groupes, sous-groupes, homomorphismes et structures quotientes
• Distinuer anneaux, domaines d'intégrité et corps
• Appliquer la divisibilité, les congruences et la théorie élémentaire des nombres

homomorphisme : Une application préservant l'opération pertinente.

corps : Un anneau commutatif où chaque élément non nul possède un inverse.

Un groupe nécessite la fermeté, l'associativité, l'identité et les inverses. La commutativité est une condition supplémentaire.

Un homomorphisme préserve l'opération. Son noyau est un sous-groupe normal et identifie les éléments s'envoyant dans l'élément neutre.

Un corps permet la division par tout élément non nul. Les entiers forment un anneau mais pas un corps.

Travailler avec les congruences modulo n. Une classe résiduelle a a un inverse multiplicatif exactement lorsque gcd(a,n)=1.

Modulo 8, 3 a pour inverse 3 car 3·3=9≡1. Mais 2 n'a pas d'inverse car gcd(2,8)=2. Modulo un nombre premier, toute classe résiduelle non nulle possède un inverse ; cela forme un corps fini.

Ne pas simplifier un facteur dans une équation modulaire sans vérifier qu'il est inversible.

Comparer les groupes additifs et les structures multiplicatives de $\mathbb Z/5\mathbb Z$ et $\mathbb Z/6\mathbb Z$. Énumérer toutes les unités multiplicatives dans chacun. Expliquer pourquoi retirer zéro ne laisse pas toujours un groupe multiplicatif.

Solution détaillée

Les deux ensembles de classes résiduelles complètes sont des groupes additifs : la fermeté, l'associativité et l'identité proviennent de l'addition des entiers, et $-a$ est un inverse additif. Une classe résiduelle multiplicative est une unité précisément lorsque son plus grand commun diviseur avec le module est un. Les unités modulo cinq sont $1,2,3,4$ ; modulo six, elles sont $1,5$. Modulo six, $2\cdot3=0$ bien que les deux facteurs soient non nuls. L'ensemble des éléments non nuls n'est même pas stable par multiplication. Modulo cinq, toute classe résiduelle non nulle a un inverse ; cet anneau est un corps. Un anneau, son groupe additif et son groupe d'unités sont des structures différentes.

La carte de réduction $\phi:\mathbb Z\to\mathbb Z/6\mathbb Z$ est donnée par $\phi(n)=[n]$. Déterminer son noyau, son image et son quotient. Résoudre $2x\equiv2\pmod6$ complètement et expliquer pourquoi l'annulation de 2 modulo 6 échoue.

Vérification après tentative

L'application préserve l'addition et la multiplication. Son noyau est $6\mathbb Z$ et son image est l'ensemble des six classes résiduelles. Le quotient identifie les entiers ayant le même reste, donc $\mathbb Z/\ker\phi\cong\mathbb Z/6\mathbb Z$. La congruence signifie $6\mid2(x-1)$, équivalentement $3\mid x-1$. Donc $x\equiv1\pmod3$, donnant les classes résiduelles $1$ et $4$ modulo six. Elles satisfont toutes deux correctement. Annuler 2 tout en conservant le module six éliminerait 4 ; 2 n'y possède pas d'inverse multiplicatif.