Une limite décrit les valeurs proches d'un point, sans nécessiter que la fonction y soit définie. La continuité ajoute l'exigence que la valeur de la fonction existe et concorde avec la limite. La simplification algébrique n'est valide qu'à l'écart du zéro simplifié, mais elle peut révéler une limite supprimable. Les limites latérales doivent concorder pour une limite bilatérale. Pour les limites de quotients, vérifiez le dénominateur et les hypothèses avant d'appliquer une règle ; 0/0 est une forme indéterminée, pas une réponse.
Une dérivée est une limite de quotients auxiliaires et implique la continuité ; la réciproque est fausse, comme le montre |x| en zéro. Les règles du produit, du quotient et de la chaîne décrivent des structures différentes : la dérivée de f(g(x)) est f′(g(x))g′(x), pas un produit de valeurs indépendantes. Dériver une composition une deuxième fois produit généralement deux termes. Vérifiez les domaines, les dénominateurs non nuls et les hypothèses de dérivabilité avant d'utiliser une expression symbolique comme dérivée.
Le théorème fondamental stipule que la dérivée de ∫ de a à x d'un intégrande continu f(t) est f(x). Avec une borne supérieure variable h(x), multipliez par h′(x) ; avec deux bornes variables, soustrayez la contribution correspondante de la borne inférieure. Une intégrale définie apparaît également comme une limite de sommes de Riemann. Réécrivez la somme sous la forme (1/n)Σf(k/n) avant d'identifier l'intégrale sur [0,1], plutôt que de traiter les termes dépendants de n comme des constantes.
Par exemple, Σ de k=1 à n de n/(n²+k²) est égal à (1/n)Σ1/(1+(k/n)²), tendant vers ∫₀¹1/(1+t²)dt=π/4. Cette limite utilise la continuité et la largeur de partition 1/n. Une série sur un nombre illimité de termes est une limite différente : des termes tendant vers zéro ne garantissent pas seuls la convergence. Pour Σ1/k, les sommes partielles divergent ; comparez, estimez ou appliquez un test de série valide au lieu d'utiliser la condition nécessaire des termes comme suffisante.
