Écrivez f(z)=u(x,y)+iv(x,y). La dérivabilité complexe impose u_x=v_y et u_y=−v_x ; avec des dérivées partielles premières continues localement, les équations de Cauchy–Riemann établissent l'analyticité en ce point. Elles diffèrent de la dérivabilité réelle d'une application à deux coordonnées. La fonction conjuguée x−iy ne satisfait pas ces équations sur aucun voisinage ouvert, bien que les dérivées partielles réelles existent. Indiquez la région à vérifier, et non seulement un point commode.
Une fonction analytique est dérivable en tout point d'un voisinage et admet une série entière convergente locale. Une singularité amovible peut être comblée analytiquement lorsque la fonction est bornée près du point manquant. Un pôle possède une partie principale finie dans sa série de Laurent ; une singularité essentielle présente une infinité de termes à puissances négatives. Le résidu est le coefficient de (z−a)⁻¹, et non nécessairement le terme dominant ou celui à plus forte puissance négative.
Pour un pôle isolé d'ordre m, écrivez f(z)=g(z)/(z−a)^m avec g analytique en a. Le résidu est g^(m−1)(a)/(m−1)!. Un pôle simple utilise g(a) ; un pôle double utilise g′(a). Cela découle du développement de g en série de Taylor. Ainsi, e^z/(z−a)² a pour résidu e^a, tandis qu'un numérateur constant sur un pôle double pur a un résidu nul. L'ordre du pôle seul ne détermine pas l'intégrale de contour.
Pour un contour orienté positivement entourant des singularités isolées, le théorème des résidus donne ∮f(z)dz=2πi fois la somme des résidus inclus, à condition que la fonction soit analytique sur le contour et ailleurs dans l'intérieur requis. Inverser l'orientation change le signe. La formule des dérivées de Cauchy s'écrit ∮g(z)/(z−a)^(m+1)dz=2πi g^(m)(a)/m! sous ses hypothèses de domaine analytique. Une singularité située sur le contour empêche l'application directe ; une singularité extérieure ne contribue pas à cette intégrale de contour.
