Avant de calculer un ordre, vérifiez la clôture, l'associativité, un élément neutre et un inverse pour chaque élément selon l'opération indiquée. Un sous-ensemble peut hériter de l'associativité tout en échouant à la clôture ou en omettant l'élément neutre. Dans un groupe fini, l'ordre d'un élément est la plus petite puissance positive donnant l'élément neutre. Dans le groupe additif Z/nZ, c'est le plus petit multiple positif donnant zéro ; l'ordre de la classe résiduelle a est n/gcd(a,n). Le théorème de Lagrange stipule que les ordres des sous-groupes divisent l'ordre du groupe. La réciproque n'est pas un théorème d'existence général, et l'ordre d'un groupe n'est pas l'ordre de chacun de ses éléments.
Une classe latérale gauche gH est une translatée d'un sous-groupe H. Les classes latérales ont la même taille et partitionnent le groupe, donc l'index est |G|/|H| dans un groupe fini. Dans un groupe additif, on écrit g+H. Appartenir à la même classe latérale signifie que la différence appartient à H. Une classe latérale n'est généralement pas elle-même un sous-groupe car elle peut omettre l'élément neutre.
Un homomorphisme préserve l'opération. Son noyau consiste en les éléments envoyés à l'identité, et son image consiste en les valeurs réellement atteintes. Tout noyau est normal. Le premier théorème d'isomorphisme identifie G/ker(phi) avec im(phi) ; ne remplacez pas l'image par tout le codomaine sauf si la carte est surjective.
La multiplication quotient est bien définie seulement lorsque H est normal. Tous les sous-groupes d'un groupe abélien sont normaux. Dans un groupe non abélien, testez gHg^−1=H ; un sous-groupe d'index deux est normal. Pour les permutations, composez selon la convention indiquée ici, de droite à gauche. Les longueurs de cycles disjoints donnent l'ordre de la permutation par leur plus petit commun multiple. La conjugaison hσh⁻¹ renomme les éléments dans les cycles de σ, préservant ainsi leurs longueurs ; réciproquement, les permutations ayant les mêmes longueurs de cycles peuvent être reliées par un renommage. Ainsi, les classes de conjugaison dans S_n correspondent aux partitions de n, y compris les cycles de points fixes. Dans S4, les types sont 1+1+1+1, 2+1+1, 2+2, 3+1 et 4 : cinq classes, et non une classe pour chaque ordre d'élément possible. Les types 2+1+1 et 2+2 ont tous deux l'ordre deux mais ne sont pas conjugués.
