C.3 · Équations différentielles et conditions initiales

Préparation GRE niveau universitaire. Objectifs locaux dans le périmètre ETS examiné ; il s'agit d'un enseignement original, pas d'un test officiel ni d'un prédicteur de score.

Prérequis : Dérivation, intégration, exponentielles et équations quadratiques.

• Résoudre les équations séparables du premier ordre
• Résoudre les équations linéaires du second ordre à coefficients constants
• Utiliser les conditions initiales et les conditions d'unicité

condition initiale : Valeur de la solution ou de sa dérivée spécifiée à un point de départ.

racine caractéristique : Racine du polynôme régissant les solutions exponentielles.

Pour y′=ky, la séparation des variables et l'intégration donnent y=Ce^(kt) ; récupérez la solution nulle si la division par y a été utilisée. Une valeur initiale détermine C.

Une équation linéaire du second ordre à coefficients constants utilise un polynôme caractéristique. Des racines distinctes produisent des exponentielles ; une racine répétue nécessite (C1+C2t)e^(rt).

Les racines complexes α±iβ donnent e^(αt)(C1 cos βt+C2 sin βt). Le mouvement réel inclut à la fois l'amplitude et la phase.

L'existence et l'unicité dépendent des hypothèses près du point initial. Un coefficient singulier ou une absence de comportement lipschitzien local peut infirmer la conclusion d'unicité familière.

Résoudre y″+4y=0 avec y(0)=3 et y′(0)=4. Les racines caractéristiques sont ±2i, donc y=A cos2t+B sin2t. La première condition donne A=3 ; en dérivant, on obtient y′(0)=2B=4, d'où B=2.

Une racine caractéristique répétée nécessite le facteur t ; deux copies de la même exponentielle ne sont pas des solutions indépendantes.

Résolvez $y''-4y'+4y=0$ avec $y(0)=1$, $y'(0)=0$. Vérifiez les deux conditions initiales et l'équation.

Solution détaillée

Le polynôme caractéristique est $(r-2)^2$. Les solutions indépendantes sont $e^{2t}$ et $te^{2t}$, donc $y=(C_1+C_2t)e^{2t}$. La valeur initiale donne $C_1=1$ ; la dérivée en zéro donne $2C_1+C_2=0$, ainsi $C_2=-2$.

La substitution donne $y''-4y'+4y=0$, et les deux valeurs initiales sont vérifiées. Deux copies de $e^{2t}$ ne généreraient pas l'espace des solutions.

Montrez que le problème à valeur initiale $y'=2\sqrt{|y|}$, $y(0)=0$ admet plus d'une solution pour $t\ge0$. Identifiez l'hypothèse d'unicité standard manquante.

Vérification après tentative

Une solution est identiquement nulle. Pour tout $a\ge0$, posez $y_a(t)=0$ pour $0\le t\le a$ et $y_a(t)=(t-a)^2$ pour $t>a$. La dérivée est nulle sur le premier intervalle et $2(t-a)$ sur le second ; les deux côtés ont une dérivée nulle en a. Par conséquent, $y_a$ est dérivable et satisfait l'équation et la valeur initiale. Le membre de droite est continu mais n'est pas localement lipschitzien en y en zéro : $|2\sqrt h-0|/|h|=2/\sqrt h$ est non borné. L'existence n'implique pas l'unicité, et la division par $\sqrt y$ ferait perdre les solutions à temps d'attente.