Une dérivée partielle varie une coordonnée tout en fixant les autres. Pour f=x²+3xy, on a f_x=2x+3y et f_y=3x. Le gradient rassemble ces dérivées ; si f est différentiable, la dérivée directionnelle selon un vecteur unitaire v est grad f·v. Normaliser la direction avant de calculer ce produit scalaire. Un vecteur directeur de longueur deux doublerait le résultat s'il était utilisé sans normalisation.
La différentiabilité implique une approximation linéaire valide, et non simplement l'existence de certaines dérivées partielles en un point. Des dérivées partielles premières continues dans un voisinage constituent une condition suffisante. Pour une composition f(x(t),y(t)), la règle de chaîne donne f_x x′+f_y y′. Les dérivées secondes peuvent introduire des termes directs et mixtes ; une dérivée mixte nulle seule n'impose aucune restriction sur les dérivées pures secondes.
Une intégrale multiple additionne les contributions sur une région spécifiée. Décrire la région avant de choisir les limites itérées ; des bornes non rectangulaires peuvent changer lorsque l'ordre est modifié. En coordonnées polaires, l'aire est r dr dtheta, et non seulement dr dtheta. Un changement de coordonnées général utilise le déterminant jacobien absolu. Le signe appartient aux quantités vectorielles orientées, tandis que les facteurs d'échelle d'aire et de volume utilisent un facteur non négatif.
Si les deux dérivées partielles premières d'une fonction globalement définie sur R² sont constantes, f_x=a et f_y=b, l'intégration successive donne f=ax+by+c, un plan. Cela ne peut être déduit uniquement de courbes de niveau droites parallèles : e^x a des lignes de niveau verticales parallèles mais une surface courbe. Ni f_xy=f_yx=0 n'impose un plan : x²+y² est un contre-exemple. Distuer la constance des dérivées premières de l'absence de dépendance mixte et de la forme de courbes de niveau sélectionnées.
