C.8 · Phase trigonométrique et courbes paramétriques

Préparation GRE niveau universitaire. Objectifs locaux dans le périmètre ETS examiné ; il s'agit d'un enseignement original, pas d'un test officiel ni d'un prédicteur de score.

Prérequis : trigonométrie en radians, dérivées et paramétrisation de courbes.

• Distinguer amplitude, fréquence angulaire, angle de phase et décalage horizontal
• Éliminer un paramètre tout en conservant son domaine et son sens de traçage
• Utiliser les dérivées paramétriques sans supposer qu'une tangente verticale est stationnaire

angle de phase : Décalage angulaire à l'intérieur de l'argument d'une fonction périodique, défini modulo une période complète.

courbe paramétrique : Une courbe dont les coordonnées sont spécifiées comme des fonctions d'un paramètre commun.

Pour y=A cos(ωx−φ) avec A>0 et ω>0, l'amplitude est A, la période est 2π/ω et le décalage horizontal est φ/ω. L'angle de phase φ est mesuré à l'intérieur de l'argument du cosinus ; il ne constitue pas lui-même le décalage horizontal sauf si ω=1. Commencez par l'espace crête-à-crête pour la période et la distance ligne médiane-à-crête pour l'amplitude. Pour trouver la phase, substituez un point connu et vérifiez la direction du mouvement à cet endroit. Les phases équivalentes diffèrent de 2π.

Pour y=−2 cos(3x), réécrivez le modèle avec une amplitude positive sous la forme 2 cos(3x−π). Son amplitude est 2, sa période 2π/3, et sa phase π ; le décalage vers la droite équivalent est π/3. Les sommets se produisent là où 3x−π est un multiple de 2π. Un point graphique en x=0 et y=0 seul ne peut déterminer la phase de manière unique : les pentes ou un autre point distinguent les angles possibles. Les unités et les conventions angulaires sont importantes ; les dérivés trigonométriques ordinaires en calcul utilisent les radians.

Une courbe paramétrique spécifie x=x(t), y=y(t). Éliminer t décrit un ensemble de points mais peut perdre des restrictions et la direction. Pour x=cos³t, y=sin³t, les racines cubiques réelles donnent |x|^(2/3)+|y|^(2/3)=1, une astéroïde avec des cuspides sur les axes. Alors que t varie de 0 à 2π, elle commence à (1,0), passe par (0,1) à π/2 et parcourt le sens antihoraire. Restreindre t à [0,π/2] donne uniquement l'arc du premier quadrant, et non toute la locus implicite.

Lorsque dx/dt≠0, dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt). Une tangente horizontale nécessite généralement dy/dt=0 et dx/dt≠0 ; une tangente verticale inverse généralement ces conditions. Si les deux s'annulent, inspectez une limite ou le développement local plutôt que de prendre 0/0 comme pente. Pour x=t²,y=t³ en t=0, le quotient pour t≠0 est 3t/2 et tend vers zéro : la cuspide a une tangente horizontale. Une vitesse paramétrique nulle n'est pas en soi un maximum ou minimum local de y en tant que fonction de x.

Pour y=−2 cos(3x), les minima incluent x=0 et les maxima incluent x=π/3. La représentation de phase 2 cos(3x−π) donne les mêmes valeurs. Pour x=2 cos t, y=sin t, l'élimination donne x²/4+y²=1 ; en t=π/4, dx/dt=−√2 et dy/dt=√2/2, donc pente −1/2. L'intervalle de paramètres complet [0,2π] trace l'ellipse une fois dans le sens antihoraire.

L'angle de phase et le décalage horizontal diffèrent par le facteur de fréquence. Une équation implicite peut ajouter des parties non tracées d'une courbe. Si les deux dérivées du paramètre s'annulent, utiliser un raisonnement local plutôt que de qualifier chaque tel point d'extrémum.

Pour $y=-3\cos(2x)$, indiquez l'amplitude, la période, une représentation de phase à amplitude positive et le décalage horizontal correspondant. Paramétrez l'ellipse $x^2/9+y^2/4=1$ dans le sens antihoraire.

Solution détaillée

L'amplitude est trois et la période $2\pi/2=\pi$. Écrivez $y=3\cos(2x-\pi)$, avec une phase $\pi$ et un décalage vers la droite $\pi/2$. La phase et le décalage ne sont pas identiques. Une paramétrisation possible est $x=3\cos t,y=2\sin t$, $0\le t\le2\pi$, qui commence à $(3,0)$ et se déplace initialement vers le haut. Éliminer t vérifie l'équation de l'ellipse.

Pour $x=t^2,y=t^3$ sur $-1\le t\le1$, déterminer la trajectoire tracée et la tangente en t=0. Une vitesse paramétrique nulle prouve-t-elle l'absence de tangente ? L'équation implicite seule retient-elle toute la restriction paramétrique ?

Vérification après tentative

L'élimination donne $y^2=x^3$, avec $0\le x\le1$ et les deux signes de y. Pour t non nul, $dy/dx=3t/2\to0$. La pente de la sécante passant par l'origine est aussi $y/x=t\to0$, donc la cuspide a une tangente horizontale. Les deux dérivées paramétriques s'annulent en zéro, rendant le quotient brut $0/0$ inconclusif, sans prouver l'absence de tangente. L'équation implicite non restreinte contient également des points avec x>1 ; la restriction d'intervalle doit être conservée séparément.