Pour des vecteurs réels non nuls u,v, u·v=|u||v| cos θ. Un produit scalaire positif, nul ou négatif correspond respectivement à un angle aigu, droit ou obtus plus petit. La projection scalaire de v selon u est (v·u)/|u| ; sa projection vectorielle est ((v·u)/(u·u))u. La différence par rapport à cette projection est orthogonale à u. Ne pas confondre un vecteur projeté avec sa composante scalaire signée. Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur mais n'a pas de direction d'angle définie.
Pour des vecteurs tridimensionnels, u×v est perpendiculaire aux deux avec une longueur |u||v| sin θ. Le calcul en coordonnées utilise (u₂v₃−u₃v₂, u₃v₁−u₁v₃, u₁v₂−u₂v₁). Cette longueur est l'aire du parallélogramme, donc un triangle formé par deux vecteurs arêtes a la moitié de cette aire. Inverser leur ordre inverse le produit vectoriel mais conserve l'aire. Construire les deux vecteurs arêtes à partir du même sommet ; croiser deux vecteurs de position non apparents mesure généralement le mauvais triangle.
Le plan passant par un point p avec une normale non nulle n a pour équation n·(x−p)=0. La distance de q au plan est |n·(q−p)|/|n| ; le dénominateur normalise l'échelle de l'équation. Un produit mixte scalaire u·(v×w) donne un volume de parallélépipède signé ; sa valeur absolue est le volume géométrique. Un produit mixte nul signifie la dépendance des trois vecteurs arêtes, et non nécessairement que chaque paire soit perpendiculaire ou parallèle.
Pour quatre vecteurs plans, il existe six produits scalaires non ordonnés. La configuration e₁, −e₁, e₂, −e₂ a deux produits négatifs et quatre zéros ; e₁, e₁, e₂, e₂ a deux produits positifs et quatre zéros. Quatre vecteurs non nuls ne peuvent avoir tous leurs produits scalaires par paires négatifs. Ordonnez leurs directions autour du cercle : chaque écart angulaire consécutif devrait excéder 90°, forçant la somme des quatre écarts à dépasser 360°. Un vecteur nul ne peut pallier une exigence strictement négative, car ses produits scalaires s'annulent.
