C.9 · Facteurs intégrants et équations différentielles non homogènes

Préparation GRE niveau universitaire. Objectifs locaux dans le périmètre ETS examiné ; il s'agit d'un enseignement original, pas d'un test officiel ni d'un prédicteur de score.

Prérequis : Règle de dérivation d'un premier ordre, exponentielles et équations caractéristiques.

• Résoudre les équations linéaires du premier ordre en utilisant un facteur intégrant
• Construire les parties homogène et particulière d'une solution à coefficients constants
• Gérer la résonance et vérifier le résultat dans l'équation originale

facteur intégrant : Un multiplicateur qui transforme une équation linéaire du premier ordre en dérivée d'un produit.

solution particulière : Une solution fournissant la sollicitation non homogène spécifiée.

Une équation linéaire du premier ordre a la forme y′+p(x)y=q(x) sur un intervalle où ses coefficients sont continus. Elle n'est pas nécessairement séparable. Poser μ(x)=exp(∫p(x)dx). Puisque μ′=pμ, multiplier donne (μy)′=μq, d'où y=μ⁻¹(∫μq dx+C). Choisir n'importe quelle primitive commode pour p ; sa constante d'intégration ne fait que redimensionner μ et s'annule dans la solution. Appliquer les données initiales après intégration, et exclure tout point singulier du coefficient du choix de l'intervalle.

Pour y′+2xy=x avec y(0)=1, μ=e^(x²). Alors (e^(x²)y)′=x e^(x²), dont l'intégrale est e^(x²)/2+C. Ainsi y=1/2+C e^(−x²), et la condition initiale donne C=1/2. La substitution directe vérifie y′+2xy=x. Le facteur intégrant rend le membre de gauche une dérivée de produit ; ce n'est pas un facteur supplémentaire restant à multiplier le membre de droite original dans la réponse finale.

Pour ay″+by′+cy=r(x) avec a non nul, résoudre l'équation caractéristique aλ²+bλ+c=0 pour la partie homogène. Des racines réelles distinctes donnent deux exponentielles ; une racine double λ donne (C₁+C₂x)e^(λx) ; des racines α±iβ donnent e^(αx)(C₁ cos βx+C₂ sin βx). La solution complète est y_h+y_p. Une sollicitation polynomiale suggère une tentative particulière polynomiale ; une sollicitation exponentielle ou sinus/cosinus suggère la famille correspondante, avec assez de coefficients pour tenir compte de la différentiation.

Si une tentative particulière duplique une solution homogène, elle ne peut produire la sollicitation : multiplier par x une fois pour une racine simple, deux fois pour une racine double. Pour y″−3y′+2y=e^x, la tentative naïve Ke^x est annulée. Essayer Kxe^x donne −Ke^x, donc y_p=−xe^x. Les conditions initiales déterminent les constantes homogènes seulement après avoir ajouté y_p. Substituer la fonction finale dans l'équation originale pour vérifier les signes et la sollicitation ; une vérification basée uniquement sur les valeurs initiales ne suffit pas à valider l'équation différentielle.

Pour y″−3y′+2y=4, les racines caractéristiques sont 1 et 2. Une solution particulière constante y_p=2 donne 2y_p=4, donc y=C₁e^x+C₂e^(2x)+2. Pour y′+2xy=x et y(0)=1, la solution séparée du premier ordre est y=(1+e^(−x²))/2. Ces exemples illustrent des méthodes distinctes ; aucune équation ne devient homogène simplement parce que son côté gauche est linéaire.

Conserver la solution particulière. Une essai résonant nécessite un facteur x. La dérivation du facteur intégrateur s'applique sur un intervalle de coefficients valide et ne doit pas diviser par y ni éliminer silencieusement les solutions nulles.

Résoudre $y'+2y=e^x$, $y(0)=1$, par un facteur intégrant. Vérifier la réponse directement.

Solution détaillée

Les coefficients sont continus partout. Le facteur intégrant est $\mu=e^{2x}$. La multiplication donne $(e^{2x}y)'=e^{3x}$. L'intégration donne $y=e^x/3+Ce^{-2x}$. La condition initiale fournit C=2/3, donc $y=e^x/3+2e^{-2x}/3$. La différenciation donne $y'=e^x/3-4e^{-2x}/3$ ; ajouter 2y donne $e^x$, et y(0)=1.

Résoudre $y''-2y'+y=e^x$ avec $y(0)=0,y'(0)=0$. Expliquer pourquoi ni $Ke^x$ ni $Kxe^x$ ne constituent une tentative particulière suffisante.

Vérification après tentative

La racine homogène est 1 de multiplicité deux, donc $y_h=(C_1+C_2x)e^x$. Les deux tentatives proposées appartiennent déjà à cet espace homogène et sont annulées. Prendre $y=e^xv$ ; alors $y''-2y'+y=e^xv''$. Par conséquent $v''=1$ et $v=x^2/2+C_2x+C_1$. Les deux conditions initiales donnent $C_1=C_2=0$, d'où $y=x^2e^x/2$. Cette substitution vérifie également la sollicitation sans se fier uniquement aux valeurs initiales.