T.9 · Similitude, mise à l'échelle et lieux de distance conique

Préparation GRE niveau universitaire. Objectifs locaux dans le périmètre ETS examiné ; il s'agit d'un enseignement original, pas d'un test officiel ni d'un prédicteur de score.

Prérequis : triangles semblables, formule de la distance et équations du second degré.

• Établir la correspondance des sommets par les angles égaux avant de former un rapport de côtés
• Appliquer les facteurs d'échelle de longueur, d'aire et de volume aux changements géométriques
• Identifier les conditions de distance conique et conserver une branche signée de l'hyperbole

semblable : Égalité des angles homologues et rapport commun des longueurs homologues.

foyer : Point fixe utilisé dans une définition de distance conique.

Les triangles sont semblables lorsque leurs angles homologues coïncident ; leurs rapports de côtés homologues sont alors égaux. Écrire explicitement la correspondance des sommets. Si le triangle APQ a l'angle A égal à l'angle A de ABC et l'angle P égal à l'angle C, sa correspondance ordonnée est A↔A, P↔C, Q↔B. Ainsi AP/AC=AQ/AB=PQ/CB. Le côté AP se trouve sur AB mais correspond à AC ; s'appuyer sur l'emplacement d'un côté ou sur la lettre P peut donner le mauvais rapport.

Avec un facteur d'échelle de longueur commun k>0, les longueurs multiplient par k, les aires par k² et les volumes par k³. Une augmentation de 30% de la longueur signifie k=1.30, donc une augmentation d'aire de 1.30²−1=0.69, soit 69%; ce n'est pas 60%. Pour des solides semblables avec un rapport de volumes de 27, le rapport de longueurs est 3 et le rapport des aires de surface 9. Les variations en pourcentage et les différences absolues sont des quantités distinctes ; écrire le nouveau-ancien ratio avant de le convertir en pourcentage.

Un cercle fixe la distance à un point. Une ellipse fixe la somme des distances à deux foyers. Une hyperbole fixe la valeur absolue de ces distances ; une parabole fixe l'égalité de la distance à un foyer et à une directrice. Ce sont des définitions d'ensembles de points, pas des croquis à mémoriser. Pour les foyers (−c,0) et (c,0), une ellipse utilise une somme 2a avec a>c. Une hyperbole non dégénérée utilise une valeur absolue de différence 2a avec 0<a<c ; une différence signée distingue ses deux branches.

Pour l'hyperbole à axe transverse horizontal, c²=a²+b² et l'équation est x²/a²−y²/b²=1. Soit r_A la distance à (−c,0) et r_B la distance à (c,0). La condition r_A−r_B=2a>0 sélectionne la branche droite x≥a ; la condition négative sélectionne la gauche. Mettre au carré peut perdre ce signe, donc vérifier la condition de distance originale après obtenir l'équation. Une différence zéro donne la médiatrice plutôt qu'une hyperbole ; une différence dépassant la séparation focale est impossible par l'inégalité triangulaire.

Soit AB=10, AC=15 et BC=20. Un point P sur AB vérifie AP=6, et Q sur AC rend l'angle APQ égal à l'angle ACB. Alors AP/AC=6/15=2/5, donc PQ=8 et AQ=4. Séparément, des foyers situés à (−5,0),(5,0) et la différence de distance vers le gauche moins la distance vers la droite égale à 6 donnent a=3, b²=25−9=16 : x²/9−y²/16=1 avec x≥3. Le point (−3,0) satisfait l'équation au carré mais échoue la condition signée.

Faire correspondre les angles avant les côtés. Les pourcentages d'aire utilisent le carré du facteur linéaire. Une équation de distance au carré peut décrire les deux branches même lorsque le problème original ne demande qu'une seule.

Les solides semblables ont un rapport d'aires de surface 9:25. Trouver leurs rapports de longueurs et de volumes correspondants. Expliquer pourquoi la correspondance des sommets est nécessaire avant de former un rapport de triangle.

Solution détaillée

Prendre les racines carrées positives donne le rapport de longueurs 3:5. L'élever au cube donne le rapport de volumes 27:125. Le rapport d'aires n'est pas lui-même un facteur d'échelle linéaire. Les sommets correspondants doivent faire coïncider les angles égaux ; sinon les rapports peuvent comparer des côtés sans lien. La similitude est ici une hypothèse ; les rapports d'aires seuls ne prouvent pas que des solides arbitraires sont semblables.

Pour les foyers $A=(-5,0)$ et $B=(5,0)$, trouver le lieu $|PA|-|PB|=6$. Dériver son équation standard, choisir sa branche et vérifier le sommet dans la relation non carrée. Que se passe-t-il si la différence demandée est 12?

Vérification après tentative

Écrire $r_A=\sqrt{(x+5)^2+y^2}$ et $r_B=\sqrt{(x-5)^2+y^2}$. La condition originale est $r_A-r_B=6$. Puisque $r_A^2-r_B^2=20x$, multiplier la différence de distance par leur somme donne $r_A+r_B=10x/3$. Donc $r_B=5x/3-3$, qui doit être non négatif. Mettre cette égalité au carré donne $(x-5)^2+y^2=(5x/3-3)^2$. Développer et regrouper donne $16x^2/9-y^2=16$. Ainsi la demi-distance focale est c=5, la demi-différence est a=3, et l'hyperbole est $x^2/9-y^2/16=1$, utilisant $b^2=c^2-a^2=16$. La différence positive originale sélectionne la branche droite $x\ge3$. En $(3,0)$, les distances sont 8 et 2, différence six ; en $(-3,0)$, la différence est moins six. Mettre au carré seul conserve cette branche invalide. Une différence de 12 dépasse $|AB|=10$ et est impossible par l'inégalité triangulaire inverse.