C.4 · Développements de Taylor et bornes des séries entières

Préparation GRE niveau universitaire. Objectifs locaux dans le périmètre ETS examiné ; il s'agit d'un enseignement original, pas d'un test officiel ni d'un prédicteur de score.

Prérequis : Dérivées, séries géométriques et tests de convergence.

• Construire des polynômes de Taylor et contrôler l'erreur d'approximation
• Déterminer les rayons de convergence et tester les bornes séparément
• Différencier et intégrer les séries entières terme à terme dans leur intervalle de convergence

rayon de convergence : La distance autour du centre de la série à l'intérieur de laquelle une série entière converge absolument.

reste : La différence entre une fonction et son approximation finie.

Le polynôme de Taylor de degré m en a est la somme de f^(k)(a)(x−a)^k/k! pour k allant de zéro à m. La factorielle figure dans chaque coefficient. Si la dérivée suivante est bornée en module par M entre a et x, le reste de Lagrange a un module au plus M|x−a|^(m+1)/(m+1)!. La seule régularité ne garantit pas que la série de Taylor infinie soit égale à la fonction partout.

Une série entière ∑ c_n(x−a)^n converge absolument à l'intérieur de son rayon R et diverge à l'extérieur. Les tests du rapport ou de la racine déterminent généralement R, qui peut valoir zéro ou l'infini. En x=a−R et x=a+R, le test est souvent indécis ; substituer chaque borne dans la série originale. Les comportements aux bornes peuvent différer.

À l'intérieur de l'intervalle ouvert de convergence, la différenciation et l'intégration terme à terme préservent le rayon. Elles peuvent modifier l'inclusion des bornes. Partir de la série géométrique 1/(1−x)=∑ x^n pour |x|<1, puis intégrer de zéro à x pour obtenir −ln(1−x)=∑ x^n/n pour n≥1. Vérifier la constante d'intégration et le domaine du logarithme réel.

Les séries permettent aussi de lever les formes indéterminées de limite. Pour évaluer (e^x−1−x)/x² près de zéro, retenir le premier terme survivant x²/2 plutôt que d'utiliser uniquement e^x≈1+x. Une troncature asymptotique établit la limite ; une inégalité sur un intervalle fini nécessite un argument séparé sur le signe ou le module du reste. Ne pas substituer dans une série hors de son intervalle de convergence.

Pour ∑ x^n/n avec n≥1, le test du rapport donne un rayon 1. En x=1, c'est la série harmonique divergente ; en x=−1, c'est une série alternée convergente. Son intervalle de convergence réel est donc [−1,1). La différenciation à l'intérieur donne ∑ x^(n−1)=1/(1−x), qui ne converge à aucune des extrémités. Le rayon est resté 1 tandis que l'inclusion des extrémités a changé.

Un rayon n'est pas un intervalle de convergence complet. Les tests aux extrémités et les coefficients factoriels doivent être vérifiés explicitement.

Trouver l'intervalle de convergence de $\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n$ et de sa dérivée terme à terme. Approximer $e^{0.1}$ par son polynôme de Taylor quadratique avec une borne d'erreur justifiée.

Solution détaillée

Le test du rapport donne un rayon de un. En 1, la série harmonique originale diverge ; en -1, la série alternée converge. Ainsi, l'intervalle original est $[-1,1)$. La dérivée est $\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}=1/(1-x)$ uniquement pour $|x|<1$ ; ses termes ne tendent pas vers zéro aux deux bornes. $P_2(0.1)=1+0.1+0.1^2/2=1.105$. Sur $[0,0.1]$, la troisième dérivée est $e^x<2$. La borne de Lagrange donne $|R_2|\le2(0.1)^3/6=1/3000$. Cette borne est volontairement conservatrice, ce n'est pas une affirmation de l'erreur exacte.

Évaluer $\lim_{x\to0}(\cos x-1+x^2/2)/x^4$. Expliquer pourquoi remplacer cosinus par seulement $1-x^2/2$ ne permet pas de déterminer cette limite.

Vérification après tentative

Le théorème de Taylor au voisinage de zéro donne $\cos x=1-x^2/2+x^4/24+O(x^6)$. La soustraction annule les termes constants et quadratiques, laissant $x^4/24+O(x^6)$. Après division, la limite est $1/24$. Une troncature avec reste simplement $o(x^2)$ ne fournit aucun contrôle après division par $x^4$ ; conserver et minorer le premier ordre subsistant.