C.5 · Intégrales impropre et applications géométriques

Préparation GRE niveau universitaire. Objectifs locaux dans le périmètre ETS examiné ; il s'agit d'un enseignement original, pas d'un test officiel ni d'un prédicteur de score.

Prérequis : Primitives, limites, intégration comparative et géométrique.

• Définir les intégrales impropre par des limites à chaque borne singulière
• Sélectionner les formules d'aire, de volume et de longueur d'arc en géométrie
• Séparer la convergence des intégrales de l'annulation signée

intégrale impropre : Intégrale définie par des limites aux bornes infinies ou singulières.

valeur principale : Limite utilisant une annulation symétrique prescrite qui peut exister lorsque l'intégrale impropre ordinaire diverge.

Une borne d'intégration infinie est remplacée par une borne finie et une limite. À un point singulier à l'intérieur de l'intervalle, scinder l'intégrale et exiger que les deux intégrales unilatérales convergent séparément. L'annulation symétrique peut définir une valeur principale de Cauchy mais ne prouve pas la convergence de l'intégrale impropre ordinaire. Pour 1/x autour de zéro, les deux côtés divergent bien que les coupures symétriques s'annulent.

L'intégrale de x^(−p) de 1 à l'infini converge exactement lorsque p>1. De zéro à 1, elle converge exactement lorsque p<1. Le même exposant se comporte différemment aux deux bornes. Pour les intégrandes positifs, la comparaison transfère la convergence depuis une fonction intégrable plus grande ou la divergence depuis une fonction non intégrable plus petite ; garder la direction de l'inégalité correcte. Pour l'intégrale d'un maximum ou minimum, résoudre les traversées de branches et vérifier quelle expression domine chaque intervalle. Pour max(√(1−x²),x+1) sur [−1,1], la traversée intérieure est zéro ; utiliser le demi-cercle sur [−1,0] et la droite sur [0,1]. L'aire est π/4+3/2, et non l'intégrale de l'une ou l'autre branche sur l'intervalle entier.

Pour une rotation autour de l'axe x, les disques ou les anneaux intègrent π(R²²−r²²) dx. Les coques cylindriques utilisent 2π fois rayon fois hauteur et intègrent dans la variable correspondante. Choisir la méthode selon la géométrie et vérifier des rayons non négatifs. L'aire entre courbes intègre supérieur moins inférieur, en scindant là où leur ordre change. Une intégrale signée n'est pas automatiquement une aire géométrique.

Pour une courbe plane différentiable y=f(x), la longueur d'arc est l'intégrale de sqrt(1+(f′(x))²) dx. Une surface formée par rotation d'une fonction f non négative autour de l'axe des x a pour aire l'intégrale 2πf sqrt(1+(f′)²) dx. Ce sont des quantités différentes du volume. Si un intervalle est non borné, la formule géométrique nécessite toujours un test de convergence.

Tourner y=1/x pour x≥1 autour de l'axe des x. Le volume du disque est π fois l'intégrale de 1/x², donc V=π. L'intégrande de la surface latérale est 2π(1/x)√(1+1/x⁴), au moins 2π/x ; son intégrale impropre diverge. Un volume fini n'implique donc pas une surface finie. Cette comparaison évite de chercher une primitive inutile.

Ne jamais compter une valeur principale comme une intégrale impropre convergente, ni déduire la finitude d'une quantité géométrique à partir d'une autre.

Pour quelle valeur réelle p $\int_0^\infty x^{-p}\,dx$ converge-t-elle ? Comparer l'intégrale impropre ordinaire de $1/x$ sur $[-1,1]$ avec sa valeur principale symétrique.

Solution détaillée

Scinder à 1. Au voisinage de zéro, la convergence exige $p<1$ ; au voisinage de l'infini, elle exige $p>1$. Aucune valeur réelle p ne satisfait les deux conditions, et p=1 diverge logarithmiquement aux deux extrémités. Les deux parties unilatérales doivent converger indépendamment. Pour $1/x$ autour de zéro, les parties négatives et positives divergent séparément, donc l'intégrale impropre ordinaire diverge. Les coupures symétriques s'annulent en zéro, donnant uniquement une valeur principale. Zéro n'est pas la valeur de l'intégrale ordinaire.

Faire tourner la région sous $y=1/x$, $x\ge1$, autour de l'axe x. Prouver que son volume est fini et que son aire latérale est infinie.

Vérification après tentative

Les disques donnent $V=\pi\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-2}\,dx=\pi\lim(1-1/b)=\pi$. Pour l'aire de surface, $y'=-1/x^2$ et

Son intégrande non négatif est au moins $2\pi/x$, dont l'intégrale diverge. La comparaison prouve une aire latérale infinie. Cela n'inclut ni bouchon ni affirmation qu'un volume fini implique une aire finie.