T.5 · Ensembles ouverts, compacité et connexité

Préparation GRE niveau universitaire. Objectifs locaux dans le périmètre ETS examiné ; il s'agit d'un enseignement original, pas d'un test officiel ni d'un prédicteur de score.

Prérequis : Ensembles, ouverts relatifs, fonctions continues et suites.

• Calculer la fermeture, l'intérieur et la frontière dans un espace donné
• Appliquer la compacité et la connexité aux applications continues
• Distuer topologie relative de la topologie euclidienne ambiante

topologie relative : Sous-ensembles ouverts hérités en intersectant une sous-espace avec des ouverts ambients.

connexité : Absence de séparation en deux parties ouvertes relativement disjointes non vides.

Dans un espace métrique, un ouvert contient une petite boule autour de chacun de ses points. L'intérieur consiste en de tels points ; la fermeture inclut tous les points limites ; la frontière est la fermeture moins l'intérieur. Ouvert et fermé ne sont pas mutuellement exclusifs ; l'ensemble vide et l'espace entier le sont tous deux. Dans ℝ, l'ensemble [0,1) a pour intérieur (0,1), pour fermeture [0,1] et pour frontière {0,1}.

Dans une sous-espace X, un ouvert a la forme X intersectée avec un ouvert ambiant. Ainsi [0,1) est ouvert relativement à [0,2], par intersection avec (−1,1), bien qu'il ne soit pas ouvert dans ℝ. Un ensemble peut aussi être fermé relativement sans être fermé dans l'espace ambiant. Toujours préciser quel espace définit les voisinages et quelle métrique est utilisée.

La compacité signifie que tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini. Dans ℝ^n euclidien, Heine–Borel rend cela équivalent à fermé et borné. Dans un espace métrique, la compacité est équivalente à la compacité séquentielle ; la complétude et la bornitude seules ne suffisent pas dans les espaces métriques arbitraires. L'image continue d'un compact est compacte, assurant atteinte de maxima et minima pour les fonctions continues réelles sur un domaine compact non vide.

Les ensembles connexes ne peuvent être séparés en deux parties ouvertes relativement disjointes non vides ; les sous-ensembles connexes de ℝ sont précisément les intervalles. L'image continue d'un connexe est connexe, ce qui donne le théorème des valeurs intermédiaires. La connexité par chemins implique la connexité, mais pas réciproquement dans tout espace. Un compact n'est pas nécessairement connexe, et un connexe n'est pas nécessairement compact ; un ensemble fini à deux points et un intervalle ouvert fournissent les cas opposés.

Soit X=[0,1] avec sa topologie relative usuelle. L'ensemble U=[0,0.5) s'écrit comme l'intersection de X avec (-1,0.5), donc U est ouvert dans X. Son adhérence dans X est [0,0.5], et sa frontière dans X est {0.5} ; zéro est un point intérieur relativement à X. Pour une fonction f continue sur X telle que f(0)<0<f(1), la connexité garantit l'existence d'un zéro, tandis que la compacité garantit séparément l'atteinte des extrema.

Le test fermé-et-borné de Heine–Borel est un théorème de l'espace euclidien. La connexité et la compacité répondent à des questions différentes.

Dans $X=[0,2]$ avec sa topologie relative, trouvez l'intérieur, la fermeture et la frontière de $A=[0,1)$. A est-il ouvert ou fermé dans X ?

Solution détaillée

$A=X\cap(-1,1)$ est ouvert dans X, donc son intérieur relatif est A. Son adhérence est $[0,1]$ et sa frontière est $\{1\}$. Zéro est intérieur relativement à X car une boule suffisamment petite dans X ne contient aucune partie négative. A n'est pas fermé dans X : la suite $1-1/n$ pour $n\ge2$ tend vers le point manquant 1. Dans la droite réelle ambiante, l'intérieur et la frontière seraient respectivement $(0,1)$ et $\{0,1\}$.

Donnez un ensemble réel compact déconnecté et un ensemble réel connexe non compact. Une fonction réelle continue sur ce dernier doit-elle atteindre une valeur extrême ? Expliquez quelle propriété assure le théorème des valeurs intermédiaires.

Vérification après tentative

L'ensemble fini $\{0,2\}$ est compact mais déconnecté. L'intervalle $(0,1)$ est connexe mais non compact. La fonction identité continue sur $(0,1)$ n'atteint ni maximum ni minimum. La connexité fait qu'une image réelle continue est un intervalle et fournit donc les valeurs intermédiaires. La compacité, en revanche, garantit qu'une image réelle continue non vide atteint ses valeurs extrêmes. Aucune de ces propriétés ne remplace l'autre.