T.4 · Suites, séries et convergence uniforme

Préparation GRE niveau universitaire. Objectifs locaux dans le périmètre ETS examiné ; il s'agit d'un enseignement original, pas d'un test officiel ni d'un prédicteur de score.

Prérequis : Limites de suites, supremum, continuité et séries numériques.

• Utiliser les critères de Cauchy, convergence monotone et sous-suites
• Distinguer la convergence simple de la convergence uniforme des fonctions
• Vérifier les hypothèses avant d'intervertir les limites et les intégrales

suite de Cauchy : Une suite dont les termes suffisamment tardifs sont arbitrairement proches les uns des autres.

convergence uniforme : Convergence avec un seul seuil d'erreur valide en tout point du domaine.

Toute suite réelle convergente est de Cauchy, et toute suite de Cauchy réelle converge car ℝ est complet. Dans ℚ, une suite de Cauchy peut tendre vers un nombre irrationnel et ne pas converger dans ℚ. Une suite réelle bornée et monotone converge. Une suite bornée n'est pas nécessairement convergente, mais Bolzano–Weierstrass garantit une sous-suite convergente ; (−1)^n a deux limites de sous-suites distinctes.

Pour une série numérique, la convergence absolue implique la convergence ; la convergence conditionnelle ne permet pas de réarrangement arbitraire sans modifier la somme. La série harmonique alternée converge, mais sa série des valeurs absolues diverge. Dans le test du rapport, une limite inférieure à 1 prouve la convergence absolue et une supérieure à 1 prouve la divergence ; une limite égale à 1 est inconclusive, comme le montrent les séries ∑1/n et ∑1/n².

La convergence ponctuelle choisit un rang N séparément pour chaque x et tolérance. La convergence uniforme choisit un même N fonctionnant pour tout x du domaine. Pour des fonctions à valeurs réelles, vérifier le supremum de |f_n − f| sur l'ensemble du domaine. Une limite ponctuelle continue ne suffit pas à prouver la convergence uniforme. Les extrémités du domaine et les pics rétrécissants distinguent souvent ces deux notions.

Une limite uniforme de fonctions continues est continue. Sur un intervalle fermé et borné, la convergence uniforme de fonctions Riemann-intégrables permet d'échanger limite et intégrale. Échanger les dérivées nécessite des hypothèses supplémentaires ; la seule convergence uniforme des fonctions est insuffisante. Le critère de Weierstrass établit la convergence absolue uniforme d'une série de fonctions si chaque terme est majoré par M_n sur tout le domaine et que ∑M_n converge.

Sur [0,1], f_n(x)=x^n tend vers 0 pour x<1 et vers 1 en x=1. La limite est discontinue, donc la convergence ne peut pas être uniforme ; directement, l'erreur maximale est 1, atteinte en dessous de 1. Sur [0,a] avec 0≤a<1, la limite est nulle et le supremum est a^n, qui tend vers zéro, donc la convergence est uniforme. Changer le domaine change la conclusion.

Vérifier plusieurs valeurs fixes de x prouve ni une borne de supremum ni la convergence uniforme. Le point produisant la plus grande erreur peut varier avec n.

Déterminer la convergence ponctuelle et uniforme de $f_n(x)=x^n$ sur $[0,1]$ et sur $[0,a]$ pour un $0<a<1$ fixé. Comparer $\sum1/n^2$ avec la série harmonique alternée pour la convergence absolue.

Solution détaillée

Sur $[0,1]$, la limite est zéro pour $x<1$ et un en 1. Cette limite étant discontinue, des fonctions continues $f_n$ ne peuvent converger uniformément. Plus directement, l'erreur maximale sur $[0,1)$ vaut un. Sur $[0,a]$, le supremum est $a^n\to0$, donc la convergence vers zéro est uniforme. La série p avec p=2 converge absolument. La série harmonique alternée converge par décroissance des termes vers zéro, mais la série absolue diverge ; sa convergence est conditionnelle.

Soit $g_n(x)=\sin(nx)/n$ sur $\mathbb R$. La convergence est-elle uniforme ? Ses dérivées peuvent-elles converger vers la dérivée de sa limite ? Utiliser un point explicite pour trancher.

Vérification après tentative

$\sup_{x\in\mathbb R}|g_n(x)|=1/n\to0$, donc les fonctions convergent uniformément vers zéro. Mais $g_n'(x)=\cos(nx)$, et en $x=0$ ces dérivées valent toutes 1. La dérivée de la limite nulle est 0. Ainsi, la seule convergence uniforme des fonctions ne justifie pas la dérivation d'une limite ; des hypothèses supplémentaires sur la convergence des dérivées sont nécessaires.