Cette fiche couvre le Thème 4 : Mécanique. Elle étudie comment les forces font bouger les objets. Tout au long de ce thème, prendre l’accélération de la chute libre comme $g = 10\ \text{m s}^{-2}$.
Mécanique
Mathématiques A-Level · Sujet 4
12:38
Mécanique
Poussez un chariot de supermarché, et il accélère. Poussez plus fort, et il accélère plus vite. Poussez-en un plus lourd avec le même effort, et il bouge à peine. Toute la mécanique…
Narration en anglais · sous-titres en anglais et en 中文 au choix
4.1
Forces et équilibre
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| identifier les forces agissant dans une situation donnée | ex. : en dessinant un diagramme des forces. |
| comprendre la nature vectorielle de la force, et trouver et utiliser les composantes et les résultantes | Des calculs sont toujours requis, pas des solutions approchées par tracé à l'échelle. |
| utiliser le principe selon lequel, lorsqu'une particule est en équilibre, la somme vectorielle des forces agissant est nulle, ou de manière équivalente, que la somme des composantes dans n'importe quelle direction est nulle | Les solutions par résolution sont généralement attendues, mais des méthodes équivalentes (ex. : triangle des forces, théorème de Lami, là où approprié) sont également acceptables ; ces autres méthodes ne constituent pas un savoir requis et ne seront pas mentionnées dans les questions. |
| comprendre qu'une force de contact entre deux surfaces peut être représentée par deux composantes, la composante normale et la composante de frottement | |
| utiliser le modèle de contact 'lisse', et comprendre les limites de ce modèle | |
| comprendre les concepts de frottement limite et d'équilibre limite, rappeler la définition du coefficient de frottement, et utiliser la relation $F = \mu R$ ou $F \leqslant \mu R$, selon le cas | Des termes comme 'sur le point de glisser' peuvent être utilisés pour signifier 'en équilibre limite' dans les questions. |
| utiliser la troisième loi de Newton. | ex. : la force exercée par une particule sur le sol est égale et opposée à la force exercée par le sol sur la particule. |
Source : Programme Cambridge International
Une force est une poussée ou une traction. C’est un vecteur, donc elle a une grandeur et une direction. En tant que vecteur, on peut décomposer une force en composantes (généralement horizontale et verticale), et additionner plusieurs forces en une seule résultante.
Un point matériel est en équilibre lorsque les forces s’équilibrent : la somme vectorielle des forces est nulle. En pratique, cela signifie que les composantes dans n’importe quelle direction s’annulent.
Tracer un diagramme des forces. Représentez le corps par un point ou un rectangle simple et ajoutez une flèche pour chaque force qui agit sur lui, en indiquant son nom :
- son poids $mg$, dirigé verticalement vers le bas (la masse est en kg ; le poids est une force, en newtons) ;
- une réaction normale $R$ perpendiculaire à chaque surface qu'il touche ;
- une force de frottement $F$ le long d'une surface rugueuse, opposée au mouvement réel ou potentiel du corps ;
- une tension $T$ le long de chaque fil, tirant le corps vers l'extérieur ;
- toute force appliquée, force motrice ou résistance donnée dans l'énoncé.
Les forces que le corps exerce sur d'autres objets ne figurent pas sur son diagramme. Choisissez ensuite deux directions perpendiculaires pour décomposer les forces : horizontale et verticale, ou parallèle et perpendiculaire à une pente.
Frottement
Lorsque deux surfaces se touchent, la force de contact entre elles comporte deux composantes : la réaction normale $R$, perpendiculaire à la surface, et le frottement $F$, parallèle à la surface, qui s'oppose au glissement. Une surface « lisse » est un modèle sans frottement.
Le frottement ne peut croître qu’autant qu’un maximum. À ce maximum, le corps est en équilibre limite, sur le point de glisser, et le frottement est frottement limite. Le maximum est déterminé par le coefficient de frottement $\mu$ :
$$F \leqslant \mu R, \qquad \text{with } F = \mu R \text{ at the point of slipping}.$$
Selon la troisième loi de Newton, les deux surfaces se repoussent mutuellement avec des forces égales et opposées.
Exemple résolu. Un bloc de poids $20\text{ N}$ repose sur une table horizontale rugueuse de coefficient de frottement $\mu = 0.4$. Trouver la plus grande force horizontale pouvant être appliquée avant que le bloc ne glisse.
La réaction normale de la table équilibre le poids, donc $R = 20\text{ N}$. Le bloc est au point de glisser lorsque la friction atteint son maximum $F = \mu R = 0.4 \times 20 = 8\text{ N}$. En équilibre, la force appliquée est égale à la friction, donc la plus grande force qu'il peut résister est $8\text{ N}$.
Exemple résolu : résolution des forces. Un point matériel de poids $20\text{ N}$ est suspendu en équilibre par deux fils. L’un forme un angle $30^\circ$ avec l’horizontale et l’autre $60^\circ$, de part et d’autre. Trouver les deux tensions $T_1$ et $T_2$.
Résoudre horizontalement et verticalement ; chaque direction doit donner une somme nulle :
$$\rightarrow:\ T_2\cos 60^\circ = T_1\cos 30^\circ, \qquad \uparrow:\ T_1\sin 30^\circ + T_2\sin 60^\circ = 20.$$
La première équation donne $T_2 = T_1\dfrac{\cos 30^\circ}{\cos 60^\circ} = \sqrt3\,T_1$. Substitution : $\tfrac12 T_1 + \sqrt3 T_1\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} = 2T_1 = 20$, donc $T_1 = 10\text{ N}$ et $T_2 = 10\sqrt3 = 17.3\text{ N}$. Le fil le plus raide supporte davantage du poids, comme attendu.
Exemple corrigé : va-t-il glisser ? Un bloc de masse $4\ \text{kg}$ est placé sur un plan rugueux incliné de $30^\circ$ par rapport à l'horizontale, avec $\mu = 0.3$. Montrez qu'il glisse, déterminez son accélération et la force minimale parallèle à la pente qui le maintiendrait au repos.
Décomposons les forces perpendiculairement à la pente : $R = 40\cos 30^\circ = 34.64\ \text{N}$, donc le frottement maximal disponible est $\mu R = 0.3 \times 34.64 = 10.39\ \text{N}$. La composante du poids dirigée vers le bas de la pente est $40\sin 30^\circ = 20\ \text{N}$. Elle dépasse $10.39\ \text{N}$, donc le frottement ne peut pas retenir le bloc : il glisse. Vers le bas de la pente, $F = ma$ donne $20 - 10.39 = 4a$, donc $a = 2.40\ \text{m s}^{-2}$.
Pour le maintenir au repos avec la force minimale $P$ dirigée vers le haut de la pente, le frottement aide $P$ et atteint sa valeur limite, en agissant vers le haut de la pente : $P + 10.39 = 20$, donc $P = 9.61\ \text{N}$. (Pour le pousser vers le haut de la pente, le frottement agirait vers le bas et $P$ devrait dépasser $20 + 10.39 = 30.4\ \text{N}$.)
Erreurs fréquentes. Confondre $\sin$ et $\cos$ : la composante adjacente à l'angle utilise $\cos$. Vérifiez avec l'angle que vous avez réellement tracé, et non celui de l'énoncé. Écrire $F = \mu R$ lorsque le corps n'est pas sur le point de glisser : en équilibre ordinaire, le frottement ne prend que la valeur nécessaire, $F < \mu R$.
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Addition des forces
résultante = a + b
Les forces s'additionnent tête-bêche. Elles sont en équilibre lorsque la résultante est nulle.
Vocabulaire
Entrainer
| English | Français |
|---|---|
| Mechanics/mɪˈkænɪks/ | Mécanique |
| force/fɔːs/ | travail |
| components/kəmˈpəʊnənts/ | composantes |
| resultant/rɪˈzʌltənt/ | résultante |
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | équilibre |
| contact force/ˈkɒntækt fɔːs/ | force de contact |
| normal reaction/ˈnɔːml rɪˈækʃn/ | réaction normale |
| friction/ˈfrɪkʃn/ | frottement |
| limiting friction/ˈlɪmɪtɪŋ ˈfrɪkʃn/ | frottement limite |
| coefficient of friction/ˌkəʊɪˈfɪʃənt ɒv ˈfrɪkʃn/ | coefficient de frottement |
| Newton's third law/ˈnjuːtnz θɜːd lɔː/ | Troisième loi de Newton |
| mass/mæs/ | masse |
| weight/weɪt/ | poids |
| tension/ˈtenʃn/ | tension |
4.2
Cinématique du mouvement en ligne droite
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| comprendre les concepts de distance et de vitesse en tant que quantités scalaires, et de déplacement, vitesse (vectorielle) et accélération en tant que quantités vectorielles | Limité au mouvement en une dimension uniquement. Le terme 'décélération' peut parfois être utilisé dans le contexte d'une vitesse décroissante. |
| tracer et interpréter des graphiques position-temps et des graphiques vitesse-temps, et particulièrement comprendre que – l'aire sous un graphique vitesse-temps représente le déplacement, – la pente d'un graphique position-temps représente la vitesse, – la pente d'un graphique vitesse-temps représente l'accélération | |
| utiliser la différentiation et l'intégration par rapport au temps pour résoudre de simples problèmes concernant le déplacement, la vitesse et l'accélération | Les techniques de calcul nécessaires sont limitées à celles du contenu de Paper 1 : Pure Mathematics 1. |
| utiliser les formules appropriées pour un mouvement avec accélération constante en ligne droite. | Les questions peuvent impliquer l'établissement de plus d'une équation, en utilisant des informations sur le mouvement de différentes particules. |
Source : Programme Cambridge International
Distance et vitesse scalaire sont des scalaires (grandeur uniquement). Déplacement, vitesse vectorielle et accélération sont des vecteurs (grandeur et direction).
Sur un graphique vitesse-temps, l’aire sous la courbe représente le déplacement et la pente l’accélération (décélération signifie une accélération opposée à la vitesse, réduisant la rapidité). Sur un graphique déplacement-temps, la pente est la vitesse. De manière générale, dériver par rapport au temps permet de passer du déplacement à la vitesse puis à l’accélération, et intégrer pour revenir en arrière.
Pour un mouvement à accélération constante, utilisez ces formules (les équations « suvat ») :
$$v = u + at, \qquad s = ut + \tfrac12 at^2, \qquad v^2 = u^2 + 2as, \qquad s = \tfrac12(u + v)t.$$
Exemple résolu. Une voiture part du repos et accélère à $2.5\ \text{m s}^{-2}$ pendant $4\ \text{s}$. Trouver sa vitesse finale et la distance parcourue.
$$v = 0 + 2.5\times 4 = 10\ \text{m s}^{-1}, \qquad s = 0 + \tfrac12(2.5)(4^2) = 20\ \text{m}.$$
Exemple corrigé : un graphique vitesse-temps. Un train démarre au repos et accélère uniformément jusqu'à $20\ \text{m s}^{-1}$ en $40\ \text{s}$. Il roule à cette vitesse pendant $T$ secondes, puis décélère uniformément jusqu'à l'arrêt en $20\ \text{s}$. La distance totale est $2.4\ \text{km}$. Déterminez $T$ et la décélération.
Tracez l'allure du graphique : un trapèze. La distance est l'aire située en dessous :
$$\tfrac12(40)(20) + 20T + \tfrac12(20)(20) = 2400 \;\Rightarrow\; 400 + 20T + 200 = 2400 \;\Rightarrow\; T = 90\ \text{s}.$$
La décélération est la valeur absolue du coefficient directeur de la dernière partie : $20 \div 20 = 1\ \text{m s}^{-2}$.
Exemple corrigé : mouvement vertical. Une balle est lancée verticalement vers le haut à $15\ \text{m s}^{-1}$ depuis un point situé à $2\ \text{m}$ au-dessus du sol. Déterminez sa hauteur maximale au-dessus du sol et le temps écoulé avant qu'elle ne touche le sol.
Choisissons le sens vers le haut comme positif, donc $a = -10\ \text{m s}^{-2}$. Au sommet, $v = 0$ : $0 = 15^2 - 20s$, donc $s = 11.25\ \text{m}$, et la hauteur maximale est $11.25 + 2 = 13.25\ \text{m}$. La balle touche le sol lorsque son déplacement est $s = -2$ :
$$-2 = 15t - 5t^2 \;\Rightarrow\; 5t^2 - 15t - 2 = 0 \;\Rightarrow\; t = \frac{15 + \sqrt{265}}{10} = 3.13\ \text{s},$$
en retenant la racine positive. Une seule équation décrit tout le trajet, à la montée comme à la descente, à condition de conserver les signes.
Exemple résolu : accélération variable. Un point matériel se déplace en ligne droite avec une vitesse $v = 6t - t^2\ \text{m s}^{-1}$ pendant $0 \leqslant t \leqslant 6$. Trouver sa vitesse maximale et la distance parcourue.
L’accélération n’est pas constante, donc suvat ne s’applique pas ; utiliser le calcul différentiel. Dérivation : $a = \dfrac{dv}{dt} = 6 - 2t$, qui est nul à $t = 3$, donc la vitesse maximale est $v = 18 - 9 = 9\ \text{m s}^{-1}$. La vitesse étant toujours positive sur cet intervalle, la distance correspond à
$$s = \int_0^6 (6t - t^2)\,dt = \Big[3t^2 - \tfrac13 t^3\Big]_0^6 = 108 - 72 = 36\ \text{m}.$$
Si $v$ changeait de signe, il faudrait intégrer chaque partie séparément et additionner les valeurs absolues.
Exemple corrigé : lorsque la vitesse change de signe. Une particule vérifie $v = t^2 - 4t + 3 = (t - 1)(t - 3)$ pour $0 \leqslant t \leqslant 3$. Déterminez son déplacement et la distance totale parcourue.
La particule s'arrête et change de sens à $t = 1$. Intégrons chaque partie :
$$\int_0^1 (t^2 - 4t + 3)\,dt = \Big[\tfrac13 t^3 - 2t^2 + 3t\Big]_0^1 = \tfrac43, \qquad \int_1^3 (t^2 - 4t + 3)\,dt = 0 - \tfrac43 = -\tfrac43.$$
Le déplacement est $\tfrac43 - \tfrac43 = 0$ : la particule revient à son point de départ. La distance est $\tfrac43 + \tfrac43 = \tfrac83\ \text{m}$. Une seule intégrale de $0$ à $3$ donnerait le déplacement, et non la distance.
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Graphique vitesse–temps
Changez la vitesse initiale et l'accélération. Le gradient est l'accélération ; l'aire sous la ligne est le déplacement.
Vocabulaire
Entrainer
| English | Français |
|---|---|
| distance/ˈdɪstəns/ | distance |
| speed/spiːd/ | vitesse |
| displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | déplacement |
| velocity/vəˈlɒsɪti/ | vitesse |
| acceleration/əkˌseləˈreɪʃn/ | accélération |
| velocity-time graph/vəˈlɒsɪti taɪm ɡræf/ | graphique vitesse-temps |
| constant acceleration/ˈkɒnstənt əkˌseləˈreɪʃn/ | accélération constante |
4.3
Impulsion
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| utiliser la définition de la quantité de mouvement linéaire et montrer la compréhension de sa nature vectorielle | Pour le mouvement en une dimension uniquement. |
| utiliser la conservation de la quantité de mouvement linéaire pour résoudre des problèmes qui peuvent être modélisés comme un choc direct entre deux corps. | Incluant le choc direct entre deux corps qui coalescent lors du choc. La connaissance de l'impulsion et du coefficient de restitution n'est pas requise. |
Source : Programme Cambridge International
La quantité de mouvement linéaire d’un corps est $\text{mass} \times \text{velocity}$. C’est un vecteur. Lors d’une collision directe entre deux corps, la quantité de mouvement totale reste inchangée si l’impulsion externe nette est nulle ou négligeable. C’est la conservation de la quantité de mouvement linéaire :
$$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2.$$
Exemple résolu. Un corps de masse $2\ \text{kg}$ se déplaçant à $3\ \text{m s}^{-1}$ heurte un corps stationnaire de masse $1\ \text{kg}$, et ils restent attachés. Trouver leur vitesse commune ensuite.
$$2(3) + 1(0) = (2 + 1)v \;\Rightarrow\; v = \frac{6}{3} = 2\ \text{m s}^{-1}.$$
Exemple résolu : mouvement vers l'un et l'autre. Un objet $3\ \text{kg}$ se déplaçant à $4\ \text{m s}^{-1}$ rencontre un objet $2\ \text{kg}$ se déplaçant à $5\ \text{m s}^{-1}$ dans la direction opposée. Après la collision, l'objet $3\ \text{kg}$ se déplace à $0.5\ \text{m s}^{-1}$ dans sa direction initiale. Trouver la vitesse de l'objet $2\ \text{kg}$.
Prendre la direction de l'objet $3\ \text{kg}$ comme positive, donc la vitesse de l'autre objet avant est $-5$ :
$$3(4) + 2(-5) = 3(0.5) + 2v \;\Rightarrow\; 2 = 1.5 + 2v \;\Rightarrow\; v = 0.25\ \text{m s}^{-1}.$$
Elle est positive, donc l'objet $2\ \text{kg}$ se déplace maintenant dans la direction initiale de l'objet $3\ \text{kg}$. Oublier le signe moins pour la direction opposée constitue l'erreur la plus fréquente.
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Une collision
Définissez chaque masse et vitesse et faites-les entrer en collision. La quantité de mouvement totale reste identique avant et après.
Vocabulaire
Entrainer
| English | Français |
|---|---|
| momentum/məʊˈmentəm/ | quantité de mouvement |
| conservation of momentum/ˌkɒnsəˈveɪʃn ɒv məʊˈmentəm/ | conservation de la quantité de mouvement |
| Newton's laws of motion/ˈnjuːtnz lɔːz ɒv ˈməʊʃn/ | Lois du mouvement de Newton |
4.4
Les lois de Newton du mouvement
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| • appliquer les lois de Newton du mouvement au mouvement linéaire d'une particule de masse constante se déplaçant sous l'action de forces constantes, qui peuvent inclure le frottement, la tension dans un fil inextensible et la poussée dans une tige de liaison | Si d'autres forces résistant au mouvement doivent être prises en compte (ex. : résistance de l'air), cela sera indiqué dans la question. |
| • utiliser la relation entre la masse et le poids | $W = mg$. Dans cette partie, les questions sont principalement numériques, et l'utilisation de la valeur numérique approximative $10\text{ (ms}^{-2}\text{)}$ pour $g$ est attendue. |
| • résoudre de simples problèmes qui peuvent être modélisés comme le mouvement d'une particule se déplaçant verticalement ou sur un plan incliné avec une accélération constante | Incluant, par exemple, le mouvement d'une particule sur un plan rugueux où l'accélération lors du mouvement vers le haut du plan est différente de celle lors du mouvement vers le bas. |
| • résoudre de simples problèmes qui peuvent être modélisés comme le mouvement de particules connectées. | ex. : particules connectées par un fil léger et inextensible passant sur une poulie lisse, ou une voiture tractant une remorque au moyen d'une corde légère ou d'une barre de traction rigide légère. |
Source : Programme Cambridge International
Les lois du mouvement de Newton relient la force et l'accélération. La principale est : force résultante $=$ masse $\times$ accélération,
$$F = ma.$$
Le poids d'un objet est la force gravitationnelle exercée sur lui : $W = mg$. Les forces dans un problème peuvent inclure le poids, les frottements, la tension dans une corde, la poussée (pression) dans une tige et la résistance de l'air.
Pour un mouvement sur un plan incliné, décomposer chaque force en une composante parallèle à la pente et une composante perpendiculaire à celle-ci, puis appliquer $F = ma$ le long de la pente. Pour des particules liées (reliées par une corde), appliquer $F = ma$ à chaque objet ou à l'ensemble du système.
Exemple résolu. Un bloc de masse $12\ \text{kg}$ est tiré vers le haut d'un plan rugueux par une corde parallèle à la pente. Le plan est incliné à $20^\circ$ par rapport à l'horizontale, le coefficient de frottement est $0.4$, et l'accélération est $2\ \text{m s}^{-2}$. Trouver la tension dans la corde.
La réaction normale est $R = mg\cos 20^\circ = 120\cos 20^\circ = 112.8\ \text{N}$, donc la friction est $F = \mu R = 0.4 \times 112.8 = 45.1\ \text{N}$. Le long de la pente, $T - mg\sin 20^\circ - F = ma$ :
$$T = ma + mg\sin 20^\circ + F = 12(2) + 120\sin 20^\circ + 45.1 = 24 + 41.0 + 45.1 = 110\ \text{N (3 s.f.)}.$$
Exemple corrigé : un ascenseur. Une femme de masse $60\ \text{kg}$ se tient dans un ascenseur qui accélère vers le haut à $0.5\ \text{m s}^{-2}$. Déterminez la réaction normale du plancher. Vers le haut, $R - 600 = 60(0.5)$, donc $R = 630\ \text{N}$. D'après la troisième loi de Newton, elle exerce sur le plancher une force vers le bas de $630\ \text{N}$, supérieure à son poids ; si l'ascenseur accélérait vers le bas à $0.5\ \text{m s}^{-2}$, $R$ serait $570\ \text{N}$.
Exemple résolu : particules liées. Le bloc $A$ de masse $5\ \text{kg}$ repose sur une table horizontale rugueuse ($\mu = 0.2$). Une corde légère et inextensible le relie, passant sur une poulie lisse située au bord de la table, au bloc $B$ de masse $3\ \text{kg}$, qui pend librement. Le système est relâché depuis le repos. Trouver l'accélération et la tension.
Pour $A$, $R = 5g = 50\text{ N}$, donc les frottements sont $0.2 \times 50 = 10\text{ N}$. Écrire $F = ma$ pour chaque bloc selon sa propre direction de mouvement :
$$B:\ 30 - T = 3a, \qquad A:\ T - 10 = 5a.$$
Les additionner : $20 = 8a$, donc $a = 2.5\ \text{m s}^{-2}$, puis $T = 30 - 3(2.5) = 22.5\text{ N}$. Vérifier avec $A$ : $22.5 - 10 = 12.5 = 5(2.5)$. Noter que $T$ est inférieur au poids de $B$ ; s'il était égal, $B$ n'aurait pas accéléré.
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Force résultante
F = ma
La force résultante produit l'accélération. Des forces équilibrées ⇒ aucune accélération.
Vocabulaire
Entrainer
| English | Français |
|---|---|
| inclined plane/ɪnˈklaɪnd pleɪn/ | plan incliné |
| connected particles/kəˈnektɪd ˈpɑːtɪklz/ | particules liées |
| work done/wɜːk dʌn/ | travail effectué |
| kinetic energy/kɪˈnetɪk ˈenədʒi/ | énergie cinétique |
| gravitational potential energy/ˌɡrævɪˈteɪʃənl pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | énergie potentielle gravitationnelle |
| conservation of energy/ˌkɒnsəˈveɪʃn ɒv ˈenədʒi/ | conservation de l'énergie |
| power/ˈpaʊə/ | puissance |
| limiting equilibrium/ˈlɪmɪtɪŋ ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | Équilibre limite |
| deceleration/dɪˌseləˈreɪʃn/ | Décélération |
| thrust/θrʌst/ | Poussée |
| air resistance/eə rɪˈzɪstəns/ | Résistance de l'air |
4.5
Énergie, travail et puissance
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| • comprendre le concept de travail effectué par une force, et calculer le travail effectué par une force constante lorsque son point d'application subit un déplacement non nécessairement parallèle à la force | $W = Fd \cos \theta$ ; L'utilisation du produit scalaire n'est pas requise. |
| • comprendre les concepts d'énergie potentielle gravitationnelle et d'énergie cinétique, et utiliser les formules appropriées | |
| • comprendre et utiliser la relation entre le changement d'énergie d'un système et le travail effectué par les forces extérieures, et utiliser au cas échéant le principe de conservation de l'énergie | Incluant des cas où le mouvement peut ne pas être linéaire (ex. : un enfant sur un 'glissoir' courbe lisse), où seuls les changements globaux d'énergie doivent être pris en compte. |
| • utiliser la définition de la puissance comme le taux au cours duquel une force effectue un travail, et utiliser la relation entre la puissance, la force et la vitesse pour une force agissant dans la direction du mouvement | Y compris le calcul de la (moyenne) puissance en tant que $$\frac{\text{Work done}}{\text{Time taken}}$$ $P = Fv$. |
| • résoudre des problèmes impliquant, par exemple, l'accélération instantanée d'une voiture se déplaçant sur une colline contre une résistance. |
Source : Programme Cambridge International
Le travail effectué par une force constante est le produit scalaire de la force et du déplacement — la force multipliée par la distance parcourue dans la direction de la force : $W = Fd\cos\theta$, où $\theta$ est l'angle entre la force et le mouvement. Le travail se mesure en joules (J).
L'énergie existe sous des formes calculables :
- Énergie cinétique (énergie de mouvement) : $\text{KE} = \tfrac12 mv^2$.
- Énergie potentielle de pesanteur (énergie de hauteur) : $\text{PE} = mgh$.
Le travail net effectué sur une particule est égal à son variation d'énergie cinétique. Lorsqu seule la gravité effectue du travail, l'énergie cinétique plus l'énergie potentielle de pesanteur reste constante. Plus généralement, l'énergie totale est conservée lorsque tous les transferts, y compris le chauffage par frottement et le travail d'autres forces, sont pris en compte — la conservation de l'énergie.
La puissance est le taux de réalisation du travail. Pour une force tirant dans la direction du mouvement, $P = Fv$ (puissance $=$ force $\times$ vitesse). La puissance se mesure en watts (W).
Exemple résolu. Un moteur de voiture fonctionne à $12\ \text{kW}$ tandis que la voiture se déplace à $20\ \text{m s}^{-1}$ sur une route plane. Trouver la force motrice.
$$P = Fv \;\Rightarrow\; F = \frac{P}{v} = \frac{12000}{20} = 600\ \text{N}.$$
Exemple résolu : énergie avec frottement. Une boîte $5\ \text{kg}$ glisse depuis le repos $10\ \text{m}$ sur une pente inclinée à $30^\circ$ par rapport à l'horizontale. Une force de frottement constante de $12\ \text{N}$ s'exerce. Trouver sa vitesse en bas de la pente.
La boîte descend d'une hauteur $h = 10\sin 30^\circ = 5\ \text{m}$, elle perd donc $mgh = 5(10)(5) = 250\ \text{J}$ d'énergie potentielle. Le travail fourni contre les frottements est $12 \times 10 = 120\ \text{J}$. Le reste devient énergie cinétique :
$$\tfrac12(5)v^2 = 250 - 120 = 130 \;\Rightarrow\; v^2 = 52 \;\Rightarrow\; v = 7.21\ \text{m s}^{-1}.$$
Utiliser la hauteur verticale pour l'énergie potentielle ($5$ m) mais la distance le long de la pente pour le travail contre les frottements ($10$ m).
Exemple corrigé : puissance dans une côte. Une voiture de masse $1200\ \text{kg}$ monte une pente inclinée de $\alpha$ par rapport à l'horizontale, où $\sin\alpha = 0.05$. Le moteur fonctionne à $30\ \text{kW}$ et la résistance au mouvement est une constante de $600\ \text{N}$. Déterminez l'accélération instantanée lorsque la vitesse est $15\ \text{m s}^{-1}$, ainsi que la vitesse maximale possible sur cette pente.
À $15\ \text{m s}^{-1}$, la force motrice est $F = \dfrac{P}{v} = \dfrac{30000}{15} = 2000\ \text{N}$. Vers le haut de la pente :
$$2000 - 600 - 1200(10)(0.05) = 1200a \;\Rightarrow\; 800 = 1200a \;\Rightarrow\; a = 0.667\ \text{m s}^{-2}.$$
À mesure que la voiture accélère, $F = P/v$ diminue, donc l'accélération diminue aussi. La vitesse maximale est atteinte lorsque $a = 0$ : alors $F = 600 + 600 = 1200\ \text{N}$, donc $v = \dfrac{30000}{1200} = 25\ \text{m s}^{-1}$.
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Conservation de l'énergie
Laissez tomber l'objet et observez l'énergie changer de forme. Sans frottement, l'EPP + EC reste constante tout au long de la chute.
4.5
Conseils d'examen
- Tracer un diagramme de forces clair et le résoudre en composantes perpendiculaires ; pour l'équilibre, chaque direction somme à zéro.
- Utiliser SUVAT uniquement pour une accélération constante et garder une direction positive cohérente.
- Appliquer $F = ma$ le long de la direction du mouvement, en incluant les frottements : $F\leqslant\mu R$ pour un contact statique, avec égalité au seuil de frottement ; utiliser le modèle de frottement de glissement spécifié pendant le glissement.
- Énoncer vos hypothèses (corde légère inextensible, poulie lisse, particule) — elles valent souvent un point.
- Pour déterminer une distance à partir de $v$ en fonction de $t$, déterminez d'abord où $v = 0$, puis intégrez chaque partie séparément.
- À puissance constante, la force motrice est $P/v$, donc elle varie avec la vitesse ; la vitesse maximale est atteinte lorsque la force motrice équilibre exactement les résistances.
- Dans une question sur un mouvement vertical, choisissez un sens positif et conservez $a = -10$ (ou $+10$) pendant tout le trajet.
Leçons interactives sur ce sujet
Traversez-le étape par étape, avec des exercices à vérification instantanée.