Cette fiche couvre le Topic 1 : Mathématiques Pures 纯数学 1. C'est le cœur algébrique 代数 et calcul 微积分 du cours. Chaque ## section est un sous-thème du programme.
Mathématiques Pures 1
Mathématiques A-Level · Sujet 1
28:42
Mathématiques Pures 1
Regardez un grand pont suspendu. Son câble immense n'a pas une forme aléatoire — il pend dans une parabole parfaite, une courbe que vous pouvez écrire avec une seule équation. Le…
Narration en anglais · Sous-titres anglais + 中文 incrustés
1.1
Quadratiques
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| effectuer le processus de mise en carré complet pour un polynôme quadratique $ax^2 + bx + c$ et utiliser une forme complétée | ex. : pour localiser le sommet de la courbe de $y = ax^2 + bx + c$ ou pour tracer la courbe |
| trouver le discriminant d'un polynôme quadratique $ax^2 + bx + c$ et utiliser le discriminant | ex. : pour déterminer le nombre de racines réelles de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$. La connaissance du terme « racine double » est incluse. |
| résoudre des équations quadratiques et des inéquations quadratiques à une inconnue | Par factorisation, mise en carré complet et utilisation de la formule. |
| résoudre par substitution un système de deux équations simultanées dont l'une est linéaire et l'autre quadratique | ex. : $x + y + 1 = 0$ et $x^2 + y^2 = 25$, $2x + 3y = 7$ et $3x^2 = 4 + 4xy$. |
| reconnaître et résoudre des équations en $x$ qui sont quadratiques par rapport à une fonction de $x$. | ex. : $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$, $6x + \sqrt{x} - 1 = 0$, $\tan^2 x = 1 + \tan x$. |
Source : Programme Cambridge International
Un quadratique 二次式 est une expression de la forme $ax^2 + bx + c$, où $a \neq 0$. Les lettres $a$, $b$, $c$ sont les coefficients 系数 (les nombres fixes). Une grande partie de cette section porte sur la résolution de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$.
Mise sous forme carrée
Mettre sous forme carrée 配方 signifie écrire le quadratique sous la forme
$$a(x + p)^2 + q.$$
Cette forme est utile : elle montre le sommet 顶点 (point de retournement) de la courbe en $(-p,\ q)$, et fournit un moyen rapide de résoudre l'équation.
Exemple résolu. Écrire $9x^2 - 36x + 8$ sous la forme $p(x + q)^2 + r$.
Sortir le facteur $9$ des deux premiers termes, puis mettre le carré à l'intérieur :
$$\begin{aligned}
9x^2 - 36x + 8 &= 9\left(x^2 - 4x\right) + 8 \\
&= 9\left((x - 2)^2 - 4\right) + 8 \\
&= 9(x - 2)^2 - 36 + 8 = 9(x - 2)^2 - 28.
\end{aligned}$$
Donc $p = 9$, $q = -2$, $r = -28$.
Le discriminant
Le discriminant 判别式 de $ax^2 + bx + c$ est
$$\Delta = b^2 - 4ac.$$
Il vous dit combien de racines réelles 实根 (solutions réelles) l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ possède :
| Discriminant | Racines |
|---|---|
| $b^2 - 4ac > 0$ | deux racines réelles distinctes 相异 |
| $b^2 - 4ac = 0$ | une racine réelle double |
| $b^2 - 4ac < 0$ | pas de racines réelles |
Exemple résolu. Trouver les valeurs de la constante $k$ pour lesquelles $3kx^2 + (k + 8)x + 3 = 0$ a deux racines réelles distinctes.
Ici $a = 3k$, $b = k + 8$, $c = 3$. Pour deux racines réelles distinctes, il faut $b^2 - 4ac > 0$ :
$$(k + 8)^2 - 4(3k)(3) > 0 \;\Rightarrow\; k^2 + 16k + 64 - 36k > 0 \;\Rightarrow\; k^2 - 20k + 64 > 0.$$
Factoriser : $(k - 4)(k - 16) > 0$, donc $k < 4$ ou $k > 16$. Il faut aussi $a \neq 0$, donc $k \neq 0$.
Équations et inégalités quadratiques
Pour résoudre une équation du second degré 二次方程, factoriser, mettre sous forme de carré parfait, ou utiliser la formule
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$
Pour résoudre une inéquation du second degré 二次不等式 telle que $(k - 4)(k - 16) > 0$, trouver les deux racines, puis déterminer quel côté de chaque racine rend l'inégalité vraie. Un croquis de la parabole 抛物line aide : la courbe est au-dessus de l'axe $x$ (positif) à l'extérieur des racines et en dessous (négatif) entre elles.
Systèmes d'équations simultanées
Pour résoudre un système de deux équations simultanées 联立方程 où l'une est linéaire et l'autre quadratique, utiliser la substitution 代入 : réarranger l'équation linéaire pour exprimer une variable, puis substituer cette expression dans l'équation quadratique. Cela donne une seule équation du second degré à résoudre.
Équations qui sont du second degré par substitution
Certaines équations sont du second degré par rapport à une fonction de $x$. Par exemple $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ est du second degré par rapport à $x^2$ : posons $u = x^2$, résolvons $u^2 - 5u + 4 = 0$, puis revenons à $x$. Vous utiliserez cette idée à nouveau en trigonométrie.
Explorer
La forme d'un polynôme du second degré
y = ax² + bx + c
Faites glisser a, b et c. Observez le sommet, l'axe de symétrie et les racines (où il coupe l'axe x) bouger lorsque les coefficients changent.
Vocabulaire
Entrainer
| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| Pure Mathematics/pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | 纯数学 | chún shù xué |
| quadratic/kwɒˈdrætɪk/ | 二次式 | èr cì shì |
| complete the square/kəmˈpliːt ðə skweə/ | 配方 | pèi fāng |
| vertex/ˈvɜːteks/ | 顶点 | dǐng diǎn |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | 判别式 | pàn bié shì |
| real roots/rɪəl ruːts/ | 实根 | shí gēn |
| distinct/dɪˈstɪŋkt/ | 相异 | xiāng yì |
| quadratic equation/kwɒˈdrætɪk ɪˈkweɪʒn/ | 二次方程 | èr cì fāng chéng |
| quadratic inequality/kwɒˈdrætɪk ɪniːˈkwɒlɪti/ | 二次不等式 | èr cì bù děng shì |
| simultaneous equations/ˌsɪməlˈteɪnɪəs ɪˈkweɪʒnz/ | 联立方程 | lián lì fāng chéng |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | 代入 | dài rù |
| function/ˈfʌŋkʃn/ | 函数 | hán shù |
| composition of functions/ˌkɒmpəˈzɪʃn ɒv ˈfʌŋkʃnz/ | 复合函数 | fù hé hán shù |
| range/reɪndʒ/ | 值域 | zhí yù |
| one-one/wʌn wʌn/ | 一一对应 | yī yī duì yìng |
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | 反函数 | fǎn hán shù |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | 系数 | xì shù |
| parabola/pəˈræbələ/ | 抛物线 | pāo wù xiàn |
1.2
Fonctions
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| comprendre les termes fonction, domaine, ensemble image, fonction bijective, fonction réciproque et composition de fonctions | |
| identifier l'ensemble image d'une fonction donnée dans des cas simples, et trouver la composition de deux fonctions données | ex. : ensemble image de $f : x \mapsto \frac{1}{x}$ pour $x \geqslant 1$ et ensemble image de $g : x \mapsto x^2 + 1$ pour $x \in \mathbb{R}$. Y compris la condition qu'une fonction composée $gf$ ne peut être formée que lorsque l'image de $f$ est contenue dans le domaine de $g$. |
| déterminer si une fonction donnée est bijective et trouver la réciproque d'une fonction bijective dans des cas simples | ex. : trouver la réciproque de $h : x \mapsto (2x + 3)^2 - 4$ pour $x < -\frac{3}{2}$. |
| illustrer graphiquement la relation entre une fonction bijective et sa réciproque | Les croquis doivent indiquer la droite de symétrie $y = x$. |
| comprendre et utiliser les transformations de la courbe de $y = f(x)$ données par $y = f(x) + a$, $y = f(x + a)$, $y = af(x)$, $y = f(ax)$ et leurs combinaisons simples. | Y compris l'utilisation des termes « translation », « réflexion » et « étirement » pour décrire les transformations. Les questions peuvent porter sur des fonctions algébriques ou trigonométriques, ou d'autres courbes présentant des caractéristiques données. |
Source : Programme Cambridge International
Une fonction 函数 est une règle qui associe à chaque entrée exactement une sortie. On l'écrit sous la forme $f(x)$. La composition de fonctions 复合函数 $fg(x)$ signifie appliquer $g$ en premier, puis appliquer $f$ au résultat.
- Le domaine 定义域 est l'ensemble des entrées autorisées $x$.
- L'image 值域 est l'ensemble des sorties que la produit réellement la fonction.
Une fonction est bijective (ou un-à-un) 一一对应 si différentes entrées donnent toujours des sorties différentes. (Aucune sortie n'est répétée.) Seule une fonction bijective admet une fonction réciproque 反函数 $f^{-1}$, qui inverse la règle.
La composition 复合 de deux fonctions consiste à en effectuer une après l'autre. $fg(x)$ signifie "faire $g$ en premier, puis $f$" : $fg(x) = f(g(x))$. La fonction composée $fg$ n'existe que si l'image de $g$ est incluse dans le domaine de $f$.
Trouver une réciproque
Pour trouver $f^{-1}$ : écrire $y = f(x)$, isoler $x$ comme sujet, puis échanger les lettres.
Exemple commenté. La fonction $f(x) = (x + 3)^2 - 12$ est définie pour $x \geqslant 0$. Trouver $f^{-1}(x)$.
Écrire $y = (x + 3)^2 - 12$ et résoudre pour $x$ :
$$(x + 3)^2 = y + 12 \;\Rightarrow\; x + 3 = \sqrt{y + 12} \;\Rightarrow\; x = \sqrt{y + 12} - 3.$$
On prend la racine positif car $x \geqslant 0$ signifie $x + 3 \geqslant 3 > 0$. Donc
$$f^{-1}(x) = \sqrt{x + 12} - 3.$$
Graphes des réciproques et transformations
Le graphe de $y = f^{-1}(x)$ est la réflexion 反射 de $y = f(x)$ par rapport à la droite $y = x$.
Vous devez connaître ces transformations 变换 de $y = f(x)$ :
| Nouvelle équation | Effet sur le graphe |
|---|---|
| $y = f(x) + a$ | translation 平移 vers le haut de $a$ |
| $y = f(x + a)$ | translation vers la gauche de $a$ |
| $y = a\,f(x)$ | étirement 伸缩 dans la direction $y$, facteur d'échelle $a$ |
| $y = f(ax)$ | étirement dans la direction $x$, facteur d'échelle $\tfrac{1}{a}$ |
Lorsque deux transformations sont combinées, l'ordre peut compter. Indiquez chacune complètement (type, direction et quantité).
Explorer
Explorer une fonction
y = ax³ + bx² + cx + d
Une fonction transforme chaque entrée en exactement une sortie — faites glisser les coefficients et observez où la courbe monte et descend.
Vocabulaire
Entrainer
| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| domain/dəˈmeɪn/ | 定义域 | dìng yì yù |
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | 复合 | fù hé |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | 反射 | fǎn shè |
| transformations/trænsfɔːˈmeɪʃnz/ | 变换 | biàn huàn |
| translation/trænˈsleɪʃn/ | 平移 | píng yí |
| stretch/stretʃ/ | 伸缩 | shēn suō |
| Coordinate geometry/kəʊˈɔːdɪnət dʒiˈɒmətri/ | 坐标几何 | zuò biāo jǐ hé |
1.3
Géométrie analytique
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| trouver l'équation d'une droite étant donné suffisamment d'informations | ex. : étant donné deux points, ou un point et la pente. |
| interpréter et utiliser n'importe quelle des formes $y = mx + c$, $y - y_1 = m(x - x_1)$, $ax + by + c = 0$ pour résoudre des problèmes | Y compris les calculs de distances, de pentes, de milieux, de points d'intersection et l'utilisation de la relation entre les pentes de droites parallèles et perpendiculaires. |
| comprendre que l'équation $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ représente le cercle de centre $(a, b)$ et de rayon $r$ | Y compris l'utilisation de la forme développée $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$. |
| utiliser des méthodes algébriques pour résoudre des problèmes impliquant des droites et des cercles | Y compris l'utilisation de propriétés géométriques élémentaires des cercles, ex. : tangente perpendiculaire au rayon, angle dans un demi-cercle, symétrie. La différentiation implicite n'est pas incluse. |
| comprendre la relation entre une courbe et son équation algébrique associée, et utiliser la relation entre les points d'intersection des courbes et les solutions d'équations. | ex. : pour déterminer l'ensemble des valeurs de $k$ pour lesquelles la droite $y = x + k$ coupe, touche ou ne rencontre pas une courbe quadratique. |
Source : Programme Cambridge International
Géométrie analytique 坐标几何 étudie les droites et les cercles via leurs équations.
Droites
Le coefficient directeur (pente) 斜率 de la droite reliant $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ est
$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.$$
On peut écrire l'équation d'une droite 直线方程 de plusieurs manières :
$$y = mx + c, \qquad y - y_1 = m(x - x_1), \qquad ax + by + c = 0.$$
Deux droites sont parallèles 平行 quand leurs coefficients directeurs sont égaux, et perpendiculaires 垂直 (à angle droit) quand le produit de leurs coefficients directeurs est $-1$.
Cercles
Le cercle 圆 de centre 圆心 $(a, b)$ et de rayon 半径 $r$ a pour équation
$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.$$
Une forme développée comme $x^2 + y^2 - 6x + 10y - 27 = 0$ représente le même cercle : mettre sous forme de carré complet en $x$ et en $y$ pour trouver le centre et le rayon.
Une tangente 切线 à un cercle le touche en un seul point et est perpendiculaire au rayon en ce point. Cette propriété d'angle droit résout la plupart des problèmes de géométrie circulaire.
Exemple commenté. Les points $P(1, 1)$ et $Q(7, 11)$ sont les extrémités d'un diamètre 直径 d'un cercle. Trouver l'équation du cercle.
Le centre est le milieu de $PQ$ :
$$\left(\frac{1 + 7}{2},\ \frac{1 + 11}{2}\right) = (4, 6).$$
Le rayon est la moitié de la longueur de $PQ$ :
$$r = \tfrac12\sqrt{(7 - 1)^2 + (11 - 1)^2} = \tfrac12\sqrt{36 + 100} = \tfrac12\sqrt{136} = \sqrt{34}.$$
Donc le cercle est $(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 34$.
Explorer
La droite
y = ax + b
La pente a incline la droite ; l'ordonnée à l'origine b la déplace verticalement.
Vocabulaire
Entrainer
| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| circle/ˈsɜːkl/ | 圆 | yuán |
| centre/ˈsentə/ | 圆心 | yuán xīn |
| radius/ˈreɪdɪəs/ | 半径 | bàn jìng |
| tangent/ˈtændʒənt/ | 切线 | qiè xiàn |
| diameter/daɪˈæmɪtə/ | 直径 | zhí jìng |
1.4
Mesure circulaire
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| comprendre la définition d'un radian, et utiliser la relation entre radians et degrés | |
| utiliser les formules $s = r\theta$ et $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ dans la résolution de problèmes concernant la longueur d'arc et l'aire de secteur d'un cercle. | Y compris le calcul de longueurs et d'angles dans des triangles et d'aires de triangles. |
Source : Programme Cambridge International
Radians
Un radian 弧度 est une autre manière de mesurer les angles. Un radian est l'angle au centre d'un cercle qui intercepte un arc 弧 dont la longueur est égale au rayon. Le lien entre radians et degrés 度 est
$$\pi \text{ radians} = 180^\circ.$$
Donc pour convertir des degrés en radians, multiplier par $\dfrac{\pi}{180}$ ; pour convertir des radians en degrés, multiplier par $\dfrac{180}{\pi}$.
Longueur d'arc et aire de secteur
Pour un secteur 扇形 de rayon $r$ et d'angle $\theta$ en radians :
$$\text{arc length} = s = r\theta, \qquad \text{sector area} = A = \tfrac12 r^2 \theta.$$
Une corde 弦 divise le secteur en un triangle et un segment 弓形. L'aire du segment est celle du secteur moins celle du triangle :
$$\text{segment} = \tfrac12 r^2 \theta - \tfrac12 r^2 \sin\theta = \tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta).$$
Exemple commenté. Un secteur a pour centre $O$ et l'angle en $O$ mesure $\tfrac{2}{3}\pi$ radians. Montrer que le segment coupé par la corde a une aire d'environ $0.614 r^2$.
$$\text{segment} = \tfrac12 r^2\left(\tfrac{2}{3}\pi - \sin\tfrac{2}{3}\pi\right) = \tfrac12 r^2(2.0944 - 0.8660) = \tfrac12 r^2(1.2284) \approx 0.614 r^2.$$
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Radians, arcs et secteurs
Changez l'angle (en radians) et le rayon. Voyez la longueur de l'arc $s = r\theta$ et l'aire du secteur $\tfrac12 r^2\theta$ se mettre à jour.
Vocabulaire
Entrainer
| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| radian/ˈreɪdɪən/ | 弧度 | hú dù |
| arc/ɑːk/ | 弧 | hú |
| degrees/dɪˈɡriːz/ | 度 | dù |
| sector/ˈsektə/ | 扇形 | shàn xíng |
| chord/kɔːd/ | 弦 | xián |
| segment/ˈseɡmənt/ | 弓形 | gōng xíng |
1.5
Trigonométrie
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| tracer et utiliser les graphes des fonctions sinus, cosinus et tangente (pour des angles de toute taille, et en utilisant soit des degrés soit des radians) | Y compris ex. : $y = 3 \sin x$, $y = 1 - \cos 2x$, $y = \tan(x + \frac{1}{4}\pi)$. |
| utiliser les valeurs exactes du sinus, du cosinus et de la tangente de $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, et des angles associés | ex. : $\cos 150^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3}$, $\sin \frac{3}{4}\pi = \frac{1}{\sqrt{2}}$. |
| utiliser les notations $\sin^{-1} x$, $\cos^{-1} x$, $\tan^{-1} x$ pour désigner les valeurs principales des relations trigonométriques inverses | Aucune connaissance spécialisée de ces fonctions n'est requise, mais la compréhension de celles-ci comme exemples de fonctions réciproques est attendue. |
| utiliser les identités $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \equiv \tan \theta$ et $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \equiv 1$ | ex. : dans la preuve d'identités, la simplification d'expressions et la résolution d'équations. |
| trouver toutes les solutions d'équations trigonométriques simples situées dans un intervalle spécifié (les formes générales de solution ne sont pas comprises). | ex. : résoudre $3 \sin 2x + 1 = 0$ pour $-\pi < x < \pi$, $3 \sin^2 \theta - 5 \cos \theta - 1 = 0$ pour $0^\circ \leqslant \theta \leqslant 360^\circ$. |
Source : Programme Cambridge International
Graphes et valeurs exactes
Vous devez connaître la forme des graphes des fonctions sinus 正弦, cosinus 余弦 et tangente 正tan (notées $\sin$, $\cos$, $\tan$). Les graphes du sinus et du cosinus oscillent entre $-1$ et $1$ et se répètent tous les $360^\circ$ ($2\pi$). Apprenez ces valeurs exactes :
| $\theta$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ |
|---|---|---|---|
| $\sin\theta$ | $\tfrac12$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ |
| $\cos\theta$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac12$ |
| $\tan\theta$ | $\tfrac{1}{\sqrt3}$ | $1$ | $\sqrt3$ |
Les notations $\sin^{-1}x$, $\cos^{-1}x$, $\tan^{-1}x$ désignent l'angle inverse (la valeur principale 主值).
Identités
Une identité 恒等式 est vraie pour toute valeur de l'angle. Les deux que vous devez connaître sont
$$\tan\theta \equiv \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \qquad \sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1.$$
Utilisez-les pour réécrire une équation afin qu'elle ne contienne qu'une seule fonction trigonométrique.
Résolution d'équations trigonométriques
Pour résoudre une équation trigonométrique 三角方程, réduisez-la d'abord à une seule fonction, puis trouvez toutes les solutions dans l'intervalle donné.
Exemple résolu. Résolvez $6\sin\theta = 1 + \dfrac{2}{\sin\theta}$ pour $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.
Multiplier par $\sin\theta$ pour supprimer la fraction. Cela donne une équation du second degré en $\sin\theta$ :
$$6\sin^2\theta - \sin\theta - 2 = 0 \;\Rightarrow\; (3\sin\theta - 2)(2\sin\theta + 1) = 0.$$
Donc $\sin\theta = \tfrac23$ ou $\sin\theta = -\tfrac12$.
- $\sin\theta = \tfrac23$ : $\theta = 41.8^\circ$ ou $\theta = 180^\circ - 41.8^\circ = 138.2^\circ$.
- $\sin\theta = -\tfrac12$ : $\theta = -30^\circ$ ou $\theta = -150^\circ$.
Les quatre solutions sont $\theta = -150^\circ,\ -30^\circ,\ 41.8^\circ,\ 138.2^\circ$.
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Graphiques du sinus et du cosinus
Faites glisser l'amplitude, la période et les décalages de y = a·sin(bx + c) + d et observez comment la courbe change par rapport à l'onde de base.
Explorer
Sinus et cosinus sur le cercle trigonométrique
Faites glisser l'angle autour du cercle trigonométrique. La hauteur est $\sin\theta$, la distance horizontale est $\cos\theta$ — c'est de là que viennent les graphiques.
Vocabulaire
Entrainer
| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| sine/saɪn/ | 正弦 | zhèng xián |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | 余弦 | yú xián |
| tangent function/ˈtændʒənt ˈfʌŋkʃn/ | 正切 | zhèng qiē |
| principal value/ˈprɪnsɪpl ˈvæljuː/ | 主值 | zhǔ zhí |
| identity/aɪˈdentɪti/ | 恒等式 | héng děng shì |
| trigonometric equation/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ɪˈkweɪʒn/ | 三角方程 | sān jiǎo fāng chéng |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | 二项展开式 | èr xiàng zhǎn kāi shì |
| binomial coefficient/baɪˈnəʊmɪəl ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | 二项式系数 | èr xiàng shì xì shù |
1.6
Suites
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| utiliser le développement de $(a + b)^n$, où $n$ est un entier positif | Comprendre les notations $\begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix}$ et $n!$. La connaissance du terme de plus grand module et des propriétés des coefficients n'est pas requise. |
| reconnaître les suites arithmétiques et géométriques | |
| utiliser les formules du $n$ terme et de la somme des premiers $n$ termes pour résoudre des problèmes impliquant des suites arithmétiques ou géométriques | Comprendre que les nombres $a$, $b$, $c$ sont « en suite arithmétique » si $2b = a + c$ (ou équivalent) et « en suite géométrique » si $b^2 = ac$ (ou équivalent). Les questions peuvent impliquer plusieurs suites. |
| utiliser la condition de convergence d'une suite géométrique, et la formule de la somme à l'infini d'une suite géométrique convergente. |
Source : Programme Cambridge International
Développement binomial
Pour un entier positif $n$, le développement binomial 二项展开式 est
$$(a + b)^n = a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \cdots + b^n,$$
où $\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n - r)!}$ est un coefficient binomial 二项式系数.
Exemple commenté. Trouver les trois premiers termes, en puissances croissantes de $x$, de $(2 - px)^5$.
$$(2 - px)^5 = 2^5 + \binom{5}{1}2^4(-px) + \binom{5}{2}2^3(-px)^2 + \cdots = 32 - 80px + 80p^2x^2 + \cdots$$
Suites arithmétiques et géométriques
Une suite 数列 est une liste de termes suivant une règle.
- Une progression arithmétique 等差数列 (PA) ajoute une différence commune 公差 fixe $d$ à chaque étape. Le $n$ème terme 项 est $u_n = a + (n - 1)d$, et la somme des $n$ premiers termes est $S_n = \tfrac{n}{2}\big(2a + (n - 1)d\big)$.
- Une progression géométrique 等比数列 (PG) multiplie par un rapport commun 公比 fixe $r$ à chaque étape. Le $n$ème terme est $u_n = ar^{\,n-1}$, et $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$.
Une SG est convergente — elle converge 收敛 (se stabilise vers une limite) — lorsque $|r| < 1$. Elle possède alors une somme à l'infini 无穷和
$$S_\infty = \frac{a}{1 - r}.$$
Exemple commenté. Le troisième terme d'une SG est $18$ et la somme des trois premiers termes est $26$. Le rapport est négatif. Trouver la somme à l'infini.
De $ar^2 = 18$ on tire $a = \dfrac{18}{r^2}$. Insérer cela dans $a(1 + r + r^2) = 26$ :
$$18(1 + r + r^2) = 26r^2 \;\Rightarrow\; 8r^2 - 18r - 18 = 0 \;\Rightarrow\; (4r + 3)(r - 3) = 0.$$
Le rapport est négatif, donc $r = -\tfrac34$ et $a = \dfrac{18}{(3/4)^2} = 32$. Ensuite
$$S_\infty = \frac{32}{1 - (-\tfrac34)} = \frac{32}{\tfrac74} = \frac{128}{7}.$$
Explorer
Suites arithmétiques et géométriques
Basculez entre une suite arithmétique (ajouter d) et une suite géométrique (multiplier par r) et observez les termes et leur somme se construire.
Vocabulaire
Entrainer
| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| progression/prəˈɡreʃn/ | 数列 | shù liè |
| arithmetic progression/əˈrɪθmətɪk prəˈɡreʃn/ | 等差数列 | děng chā shù liè |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | 公差 | gōng chāi |
| term/tɜːm/ | 项 | xiàng |
| geometric progression/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk prəˈɡreʃn/ | 等比数列 | děng bǐ shù liè |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | 公比 | gōng bǐ |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | 收敛 | shōu liǎn |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | 无穷和 | wú qióng hé |
| Differentiation/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | 微分 | wēi fēn |
| gradient of a curve/ˈɡreɪdɪənt əvə kɜːv/ | 曲线斜率 | qū xiàn xié lǜ |
1.7
Dérivation
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| comprendre la pente d'une courbe en un point comme limite des pentes d'une suite appropriée de cordes, et utiliser les notations $f'(x)$, $f''(x)$, $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ et $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ pour les premières et secondes dérivées | Seule une compréhension informelle de la notion de limite est attendue. ex. : inclut l'étude de la pente de la corde reliant les points de coordonnées $x$ $2$ et $(2 + h)$ sur la courbe $y = x^3$. L'utilisation formelle de la méthode générale de dérivation par définition n'est pas requise. |
| utiliser la dérivée de $x^n$ (pour tout $n$ rationnel), ainsi que les multiples constants, sommes et différences de fonctions, et des fonctions composées en utilisant la règle de la chaîne | ex. : trouver $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$, sachant que $y = \sqrt{2x^3 + 5}$. |
| appliquer la dérivation aux pentes, tangentes et normales, aux fonctions croissantes et décroissantes, ainsi qu'aux taux de variation | Inclure les taux de variation liés, ex. : étant donné le taux d'augmentation du rayon d'un cercle, trouver le taux d'augmentation de l'aire pour une valeur spécifique de l'une des variables. |
| localiser les points stationnaires et déterminer leur nature, et utiliser ces informations pour tracer des graphes. | Inclure l'utilisation de la dérivée seconde pour identifier maxima et minima ; des alternatives peuvent être utilisées si aucune méthode n'est spécifiée. La connaissance des points d'inflexion n'est pas comprise. |
Source : Programme Cambridge International
La différentiation 微分 trouve le coefficient directeur d'une courbe 曲线斜率 à chaque point. Ce coefficient est la limite 极限 des pentes de cordes de plus en plus courtes, appelée dérivée 导数.
Les règles
Écrivez la dérivée comme $f'(x)$ ou $\dfrac{dy}{dx}$. La règle de base est
$$\frac{d}{dx}\left(x^n\right) = n x^{n-1} \quad \text{for any rational } n.$$
Différenciez les sommes terme par terme, et utilisez la règle de la chaîne 链式法则 pour une fonction à l'intérieur d'une autre:
$$\frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x).$$
Différencier à nouveau donne la dérivée seconde 二阶导数 $f''(x)$ ou $\dfrac{d^2y}{dx^2}$.
Utilisation de la dérivée
- Tangente et normale. Le coefficient directeur de la courbe en un point est le coefficient directeur de la tangente à ce point. La normale 法线 est perpendiculaire à la tangente, donc son coefficient directeur est $-\dfrac{1}{\text{(tangent gradient)}}$.
- Croissante ou décroissante. La fonction est une fonction croissante 增函数 où $\dfrac{dy}{dx} > 0$, et une fonction décroissante 减函数 où $\dfrac{dy}{dx} < 0$.
- Taux de variation. Une dérivée est un taux de variation 变化率. Les taux liés utilisent la règle de la chaîne, par ex. $\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}$.
Points stationnaires
Un point stationnaire 驻点 est là où $\dfrac{dy}{dx} = 0$. Testez sa nature avec la dérivée seconde : $f''(x) > 0$ donne un point minimum 极小值点, et $f''(x) < 0$ donne un point maximum 极大值点. Quand $f''(x) = 0$, le test est sans conclusion : le point peut être un point d'inflexion 拐点, où la courbe change de concavité (la façon dont elle se courbe) – vérifiez le signe de $\dfrac{dy}{dx}$ juste avant et après pour décider.
Exemple résolu. La courbe $y = 4x^{1/2} - x$ a un point maximum en $x = a$. Trouvez $a$.
$$\frac{dy}{dx} = 2x^{-1/2} - 1 = 0 \;\Rightarrow\; \frac{2}{\sqrt{x}} = 1 \;\Rightarrow\; \sqrt{x} = 2 \;\Rightarrow\; x = 4.$$
Donc $a = 4$.
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La pente en un point
y = ax³ + bx² + cx + d
Faites glisser le point le long de la courbe. La tangente montre le gradient $\frac{dy}{dx}$ à cet endroit — plus raide où la courbe se courbe davantage.
Vocabulaire
Entrainer
| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | 斜率 | xié lǜ |
| equation of a straight line/ɪˈkweɪʒn əvə streɪt laɪn/ | 直线方程 | zhí xiàn fāng chéng |
| parallel/ˈpærəlel/ | 平行 | píng xíng |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | 垂直 | chuí zhí |
| limit/ˈlɪmɪt/ | 极限 | jí xiàn |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | 导数 | dǎo shù |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | 链式法则 | liàn shì fǎ zé |
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | 二阶导数 | èr jiē dǎo shù |
| normal/ˈnɔːml/ | 法线 | fǎ xiàn |
| increasing function/ɪnˈkriːsɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | 增函数 | zēng hán shù |
| decreasing function/ˈdiːkriːsɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | 减函数 | jiǎn hán shù |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | 变化率 | biàn huà lǜ |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | 驻点 | zhù diǎn |
| minimum point/ˈmɪnɪməm pɔɪnt/ | 极小值点 | jí xiǎo zhí diǎn |
| maximum point/ˈmæksɪməm pɔɪnt/ | 极大值点 | jí dà zhí diǎn |
| point of inflexion/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/ | 拐点 | guǎi diǎn |
| Integration/ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | 积分 | jī fēn |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | 积分常数 | jī fēn cháng shù |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | 定积分 | dìng jī fēn |
| region/ˈriːdʒn/ | 区域 | qū yù |
| improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/ | 广义积分 | guǎng yì jī fēn |
| volume of revolution/ˈvɒljuːm ɒv ˌrevəˈluːʃn/ | 旋转体体积 | xuán zhuǎn tǐ tǐ jī |
| algebra/ˈældʒɪbrə/ | 代数 | dài shù |
| calculus/ˈkælkjʊləs/ | 微积分 | wēi jī fēn |
1.8
Intégration
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| comprendre l'intégration comme l'opération inverse de la dérivation, et intégrer $(ax + b)^n$ (pour tout $n$ rationnel sauf $-1$), ainsi que les multiples constants, sommes et différences | ex. : $\int (2x^3 - 5x + 1) \text{d}x$, $\int \frac{1}{(2x + 3)^2} \text{d}x$. |
| résoudre des problèmes impliquant l'évaluation d'une constante d'intégration | ex. : trouver l'équation de la courbe passant par $(1, -2)$ telle que $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \sqrt{2x + 1}$. |
| évaluer les intégrales définies | Inclure des cas simples d'intégrales « impropres », telles que $\int_{0}^{1} x^{-\frac{1}{2}} \text{d}x$ et $\int_{1}^{\infty} x^{-2} \text{d}x$. |
| utiliser l'intégration définie pour trouver : - l'aire d'une région bornée par une courbe et des droites parallèles aux axes, ou entre une courbe et une droite, ou entre deux courbes - un volume de révolution autour d'un des axes. | Un volume de révolution peut concerner une région non bornée par l'axe de rotation, ex. : la région entre $y = 9 - x^2$ et $y = 5$ tournant autour de l'axe $x$. |
Source : Programme Cambridge International
L'intégration 积分 est l'opposé de la dérivation. En inversant la règle de puissance, on obtient
$$\int (ax + b)^n \, dx = \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n + 1)} + C \quad (n \neq -1).$$
La $+\,C$ est la constante d'intégration 积分常数. Si vous connaissez un point sur la courbe, substituez-le pour trouver $C$.
Intégrales définies et aire
Une intégrale définie 定积分 a des bornes et donne un nombre :
$$\int_p^q f(x)\, dx = \big[F(x)\big]_p^q = F(q) - F(p).$$
L'aire de la zone 区域 entre une courbe et l'axe des $x$, de $x = p$ à $x = q$, est $\displaystyle\int_p^q y \, dx$. Pour l'aire entre deux courbes, intégrez (courbe du haut $-$ courbe du bas).
Exemple résolu. La courbe $y = 4x^{1/2} - x$ recoupe l'axe des $x$ en $x = 16$. Trouvez l'aire entre la courbe et l'axe des $x$ de $x = 0$ à $x = 4$.
$$\int_0^4 \left(4x^{1/2} - x\right) dx = \left[\frac{8}{3}x^{3/2} - \frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \frac{8}{3}(8) - \frac{16}{2} = \frac{64}{3} - 8 = \frac{40}{3}.$$
Une intégrale impropre 广义积分 a une borne infinie ou une extrémité où l'intégrande n'est pas défini ; évaluez-la comme une limite. Par exemple,
$$\int_1^{\infty}x^{-2}\, dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^{b}=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right)=1,$$
et $\displaystyle\int_0^{1}x^{-1/2}\, dx=\left[2x^{1/2}\right]_0^{1}=2$, qui est fini bien que l'intégrande explose en $x=0$.
Volume de révolution
Quand une zone est tournée tout autour d'un axe, elle balaye un solide. Le volume de révolution 旋转体体积 autour de l'axe des $x$ est
$$V = \pi \int_p^q y^2 \, dx,$$
et autour de l'axe des $y$ c'est $V = \pi \displaystyle\int x^2 \, dy$. Par exemple, la zone sous $y = \sqrt{x}$ de $x = 0$ à $x = 4$, tournée autour de l'axe des $x$, a un volume de $\pi\displaystyle\int_0^4 x\, dx = \pi\big[\tfrac{x^2}{2}\big]_0^4 = 8\pi$.
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Aire sous une courbe
y = ax³ + bx² + cx + d
Faites glisser les limites. L'intégrale définie est l'aire ombragée entre la courbe et l'axe x.
1.8
Conseils d'examen
- Montrez chaque ligne d'algèbre — les points de méthode sont perdus en sautant des étapes ; utilisez le discriminant $b^2 - 4ac$ pour déterminer le nombre de racines réelles.
- Travaillez en radians pour la mesure circulaire (arc $= r\theta$, aire de secteur $= \frac{1}{2}r^2\theta$) et pour le calcul des fonctions trigonométriques.
- Pour la dérivation, posez $\frac{dy}{dx} = 0$ pour les points stationnaires et utilisez la dérivée seconde pour les classifier.
- Pour l'intégration, ajoutez $+ c$ à une intégrale indéfinie et utilisez des bornes pour l'aire ; une aire sous l'axe donne une intégrale négative.
Leçons interactives sur ce sujet
Traversez-le étape par étape, avec des exercices à vérification instantanée.