Mathématiques Pures 1

Un polynôme du second degré est une expression de la forme $ax^2 + bx + c$, où $a \neq 0$. Les lettres $a$, $b$, $c$ sont les coefficients (les nombres fixes). Une grande partie de cette section porte sur la résolution de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$.

Mise sous forme carrée

Compléter le carré signifie écrire le polynôme du second degré sous la forme

Cette forme est utile : elle indique le sommet (point de retournement) de la courbe en $(-p,\ q)$, et fournit un moyen rapide de résoudre l'équation.

Exemple résolu. Écrire $9x^2 - 36x + 8$ sous la forme $p(x + q)^2 + r$.

Sortir le facteur $9$ des deux premiers termes, puis mettre le carré à l'intérieur :

Donc $p = 9$, $q = -2$, $r = -28$.

Le discriminant

Le discriminant de $ax^2 + bx + c$ est

Il indique combien de racines réelles (solutions réelles) l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ possède :

Discriminant	Racines
$b^2 - 4ac > 0$	deux racines réelles distinctes
$b^2 - 4ac = 0$	une racine réelle double
$b^2 - 4ac < 0$	pas de racines réelles

Exemple résolu. Trouver les valeurs de la constante $k$ pour lesquelles $3kx^2 + (k + 8)x + 3 = 0$ a deux racines réelles distinctes.

Ici $a = 3k$, $b = k + 8$, $c = 3$. Pour deux racines réelles distinctes, il faut $b^2 - 4ac > 0$ :

Factoriser : $(k - 4)(k - 16) > 0$, donc $k < 4$ ou $k > 16$. Il faut aussi $a \neq 0$, donc $k \neq 0$.

Équations et inégalités quadratiques

Pour résoudre une équation du second degré, factoriser, compléter le carré, ou utiliser la formule

Pour résoudre une inéquation quadratique telle que $(k - 4)(k - 16) > 0$, trouver les deux racines, puis décider quel côté de chaque racine rend l'énoncé vrai. Un croquis de la parabole aide : une courbe s'ouvrant vers le haut avec deux racines distinctes est au-dessus de l'axe $x$ (positive) à l'extérieur des racines et en dessous (négative) entre elles.

Inéquation résolue. Résoudre $-x^2+4x-3\geq0$. Multiplier par $-1$ inverse l'inégalité :

Les facteurs ont des signes opposés entre les racines, donc $1\leq x\leq3$. L'égalité est autorisée aux deux extrémités. Tester $x=2$ dans l'expression originale donne $-1$, ce qui satisfait l'inégalité ; un point extérieur, tel que $x=0$, donne $3$, ce qui ne la satisfait pas. Ne choisissez pas automatiquement les intervalles extérieurs lorsque le coefficient directeur original est négatif.

Pour un coefficient dominant négatif, la constante complétée au carré est un maximum : $-2x^2+12x-11=-2(x-3)^2+7$ a un maximum $7$ en $x=3$. La méthode de complétion du carré fonctionne toujours ; le signe change l'interprétation.

Systèmes d'équations simultanées

Pour résoudre un système de deux équations simultanées où l'une est linéaire et l'autre du second degré, utiliser la substitution : réarranger l'équation linéaire pour exprimer une variable, puis substituer dans l'équation du second degré. Cela donne une seule équation du second degré à résoudre.

Substitution résolue. Résoudre $x+2y=7$ et $x^2+4y^2=25$. L'équation linéaire donne $x=7-2y$, donc

Factoriser donne $(2y-3)(y-2)=0$, donc $y=\tfrac32$ ou $2$. Récupérer les valeurs correspondantes de $x$ : les solutions sont $(4,\tfrac32)$ et $(3,2)$. Chaque paire donne $x+2y=7$ et $x^2+4y^2=25$. Conserver l'appariement lors de la présentation des réponses.

Lors de la recherche d'intersections, former d'abord l'équation commune. Pour $y=x^2-2x+3$ et $y=x+k$, l'équation d'intersection est $x^2-3x+3-k=0$ et son discriminant est $4k-3$. Elle n'a pas d'intersection réelle pour $k<\tfrac34$, une intersection double pour $k=\tfrac34$, et deux intersections pour $k>\tfrac34$. Le point limite est $(\tfrac32,\tfrac94)$.

Équations qui sont du second degré par substitution

Certaines équations sont du second degré par rapport à une fonction de $x$. Par exemple $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ est du second degré par rapport à $x^2$ : posons $u = x^2$, résolvons $u^2 - 5u + 4 = 0$, puis revenons à $x$. Vous utiliserez cette idée à nouveau en trigonométrie.

Ici $(u-1)(u-4)=0$, donc $x^2=1$ ou $4$ et $x=\pm1,\pm2$. Toujours revenir de la variable substituée à la variable originale.

Substitution racine carrée résolue. Pour $6x+\sqrt{x}-1=0$, poser $v=\sqrt{x}\geq0$. Alors

Seul $v=\tfrac13$ est autorisé ; $v=-\tfrac12$ ne peut être une racine carrée. Ainsi $x=v^2=\tfrac19$, qui satisfait l'équation originale. Élever au carré une valeur négative rejetée n'est pas une méthode valide pour retrouver une autre solution.

Utilisation des racines données pour trouver les constantes

Une racine est une entrée donnant zéro. Substituer chaque racine indiquée dans le polynôme original pour obtenir des conditions simultanées, ou développer sa forme factorisée et comparer les coefficients. Si les racines sont $\alpha$ et $\beta$, alors

Exemple résolu. Supposons $px^2+6x-8$ a pour racines $2m$ et $-4m$, avec $p,m\ne0$. Développer $p(x-2m)(x+4m)$ donne $px^2+2pmx-8pm^2$. Donc $pm=3$ et $pm^2=1$, donnant $m=\tfrac13$ et $p=9$. Les deux racines réelles $\tfrac23$ et $-\tfrac43$ satisfont $9x^2+6x-8=0$. Ne pas supposer qu'un paramètre est positif sauf si la question stipule cette condition.

Une fonction est une règle qui associe à chaque entrée exactement une sortie. On l'écrit $f(x)$. La composition de fonctions $fg(x)$ signifie appliquer $g$ d'abord, puis appliquer $f$ au résultat.

• Le domaine de définition est l'ensemble des entrées autorisées $x$.
• L'image est l'ensemble des sorties que la fonction produit réellement.

Une fonction est bijective si des entrées différentes donnent toujours des sorties différentes. (Aucune sortie n'est répétée.) Seule une fonction bijective possède une fonction réciproque $f^{-1}$, qui inverse la règle.

La composition de deux fonctions signifie effectuer l'une après l'autre. $fg(x)$ signifie « faire $g$ d'abord, puis $f$ » : $fg(x) = f(g(x))$. La fonction composée $fg$ n'existe que lorsque l'image de $g$ est incluse dans le domaine de $f$.

Cette condition s'applique à tout le domaine déclaré de la fonction interne. Si $f(x)=\sqrt x$ pour $x\geq0$ et $g(x)=x-3$ pour tous les réels $x$, $fg(x)=\sqrt{x-3}$ n'est pas défini sur tout ce domaine interne. Une nouvelle restriction $x\geq3$ rend la formule valide là ; indiquer explicitement ce changement.

Pour trouver une image, vérifier si une borne est atteinte. Pour $x\geq1$, l'image de $1/x$ est $0<y\leq1$ ; zéro est approché mais jamais atteint. Un quadratique restreint nécessite aussi son domaine réel : $(x-1)^2+2$ pour $x\geq3$ a pour image $y\geq6$, car son abscisse de sommet est exclue.

Condition aux bornes ouvertes. Poser $F(x)=1/(x-2)$ pour $x>2$ et $G(x)=3x+2$ pour $x>a$. L'image de $G$ est $(3a+2,\infty)$. Elle est entièrement contenue dans le domaine de $F$ lorsque $3a+2\geq2$, donc $a\geq0$. L'égalité est autorisée car la borne inférieure de cette image n'est pas atteinte. Pour $a<0$, l'entrée autorisée $0$ donne la sortie interdite $G(0)=2$.

Trouver une réciproque

Pour trouver $f^{-1}$ : écrire $y = f(x)$, isoler $x$ comme sujet, puis échanger les lettres.

Exemple commenté. La fonction $f(x) = (x + 3)^2 - 12$ est définie pour $x \geqslant 0$. Trouver $f^{-1}(x)$.

Écrire $y = (x + 3)^2 - 12$ et résoudre pour $x$ :

On prend la racine positive car $x \geqslant 0$ signifie $x + 3 \geqslant 3 > 0$. Donc L'image originale est $[-3,\infty)$, atteinte depuis des entrées originales $x\geq0$. Par conséquent, la réciproque a pour domaine $x\geq-3$ et pour image $f^{-1}(x)\geq0$. Exiger simplement que la racine soit réelle donnerait le plus grand domaine réciproque incorrect $x\geq-12$.

Une restriction différente peut exiger la branche de racine carrée négative. Pour $h(x)=(x+1)^2-5$ avec $x\leq-1$, résoudre $y+5=(x+1)^2$ en utilisant $x+1\leq0$ :

Son image est $h^{-1}(x)\leq-1$. La borne $(-1,-5)$ se reflète en $(-5,-1)$ et le point $(-3,-1)$ se reflète en $(-1,-3)$. Une réponse $\pm$ ne définirait pas une fonction réciproque bijective. La réciproque diffère également de la réciproque arithmétique $1/h(x)$.

Pour inverser une composition de fonctions bijectives compatibles, inverser leur ordre : $(gf)^{-1}=f^{-1}g^{-1}$. Alternativement, former d'abord la règle de composition, puis l'inverser avec la restriction de domaine originale.

Par exemple, $f(x)=(x-1)^2+2$ pour $x\leq1$ et $g(x)=5-x$ donnent $H(x)=gf(x)=3-(x-1)^2$, avec intervalle $H(x)\leq3$. Résoudre $y=3-(x-1)^2$ en utilisant $x-1\leq0$ donne $H^{-1}(x)=1-\sqrt{3-x}$ pour $x\leq3$, avec intervalle $H^{-1}(x)\leq1$. Composer puis inverser conserve la condition de branche complète visible.

Graphes des réciproques et transformations

La courbe de $y = f^{-1}(x)$ est la symétrie de $y = f(x)$ par rapport à la droite $y = x$.

Vous devez connaître ces transformations de $y = f(x)$ : Dans les descriptions d'étirement ci-dessous, prendre $a>0$. Les multiplicateurs négatifs nécessitent aussi une réflexion : $-f(x)$ se reflète par rapport à l'axe $x$ et $f(-x)$ se reflète par rapport à l'axe $y$.

Nouvelle équation	Effet sur le graphe
$y = f(x) + a$	translation vers le haut de $a$
$y = f(x + a)$	translation vers la gauche de $a$
$y = a\,f(x)$	allongement selon la direction $y$, facteur d'échelle $a$
$y = f(ax)$	étirement dans la direction $x$, facteur d'échelle $\tfrac{1}{a}$

Lorsque deux transformations sont combinées, l'ordre peut compter. Indiquez chacune complètement (type, direction et quantité).

Pour $g(x)=2f(x+3)-1$, utiliser deux transformations : étirer verticalement par un facteur $2$, puis translated par $(-3,-1)$ (gauche $3$ et vers le bas $1$ ensemble). Un point $(4,5)$ devient $(4,10)$, puis $(1,9)$. Inverser ces mêmes opérations donne $2(f(x+3)-1)=2f(x+3)-2$, un graphique différent. Si deux transformations sont requises, combiner les translations horizontales et verticales en une seule translation. Pour un multiplicateur horizontal $f(ax)$, un point $(s,t)$ passe à $(s/a,t)$ ; le facteur d'échelle est réciproque, pas $a$.

Géométrie analytique relie les positions, les distances et les intersections à l'algèbre. Une droite peut croiser une frontière circulaire en deux points, la toucher en un seul point ou ne pas la rencontrer. Résolvez leurs équations simultanément pour distinguer exactement ces cas.

Choisir et vérifier une équation de droite

Pour deux points ayant des coordonnées $x$ différentes, la pente est

Les formes utiles d'une équation de droite sont

Par exemple, entre $(2,3)$ et $(6,11)$, la pente est $2$. La même droite s'écrit $y-3=2(x-2)$, $y=2x-1$ ou $2x-y-1=0$. Substituez chaque point donné pour vérifier. Dans $2x-3y+6=0$, en réarrangeant, on obtient $y=\tfrac23x+2$, donc la pente est $2/3$, et non $2$.

Des droites parallèles distinctes non verticales ont des pentes égales. Pour des droites perpendiculaires à pentes finies, $m_1m_2=-1$. Les droites horizontales $y=h$ ont une pente nulle ; les droites verticales $x=k$ ont une pente indéfinie. Elles sont perpendiculaires, mais la règle du produit inverse ne s'applique pas aux droites verticales. Par $(4,-2)$, les droites horizontale et verticale sont $y=-2$ et $x=4$.

Distances, milieux et médiatrices

Le théorème de Pythagore donne la distance entre deux points :

Le point milieu est

Une médiatrice passe par ce point milieu perpendiculairement au segment. Tout point sur celle-ci est équidistant des deux extrémités.

Exemple résolu. Pour $P(-1,2)$ et $Q(5,6)$, $PQ=\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13}$ et $M=(2,4)$. La pente du segment est $2/3$, donc la pente de la médiatrice est $-3/2$. Son équation est

Le point milieu seul ne constitue pas une équation, et une perpendiculaire passant par une extrémité n'est pas une médiatrice. Si $PQ$ est horizontal, sa médiatrice est la droite verticale passant par $M$ ; ne prenez pas l'inverse de zéro.

Lire un cercle sous deux formes

Un cercle de centre $(a,b)$ et de rayon positif $r$ a pour équation

Une équation développée nécessite la complétion des deux carrés :

Le centre est $(3,-5)$ et le rayon $\sqrt{61}$. Plus généralement, $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ donne un centre $(-g,-f)$ et un $r^2=g^2+f^2-c$. Vérifiez que $r^2>0$ correspond à un cercle réel de rayon positif. S'il est négatif, il n'y a aucun point réel ; s'il est nul, il n'y a qu'un seul point. Substituez un point proposé dans l'équation pour le tester.

Utiliser un diamètre, un demi-cercle ou la symétrie

Exemple résolu. Les points $P(1,1)$ et $Q(7,11)$ sont les extrémités d'un diamètre. Son milieu est $(4,6)$ et sa demi-longueur est

Le cercle est $(x-4)^2+(y-6)^2=34$. Le milieu d'une corde quelconque n'est pas nécessairement le centre : la condition de diamètre est essentielle.

L'angle formé en tout autre point de ce cercle par les lignes reliant à $P$ et $Q$ est $90^\circ$ : c'est un angle inscrit dans un demi-cercle. Pour une corde qui n'est pas un diamètre, la ligne reliant le centre à son milieu est perpendiculaire à la corde et constitue un axe de symétrie. Utilisez cela pour retrouver un point d'intersection réfléchi ou une coordonnée manquante.

Par exemple, $(x-2)^2+(y-1)^2=5$ a des extrémités de diamètre $A(0,0)$ et $B(4,2)$. Le point $D(4,0)$ se trouve dessus et $\angle ADB=90^\circ$. La corde $AD$ a pour milieu $(2,0)$, donc sa médiatrice $x=2$ passe par le centre et fait refléter $A$ sur $D$.

Tangentes : points de contact connus et inconnus

Une tangente est perpendiculaire au rayon au point de contact.

Pour le cercle centré en $(2,1)$ ci-dessus, le rayon vers $B(4,2)$ a une pente $1/2$. La tangente a une pente $-2$, donc $y-2=-2(x-4)$, soit $2x+y=10$. Utiliser $B$ dans cette équation, pas le centre. En haut et en bas, les tangentes sont horizontales, $y=1\pm\sqrt5$ ; à gauche et à droite, elles sont verticales, $x=2\pm\sqrt5$.

Exemple résolu : points de contact inconnus. Trouvez les deux points sur ce cercle où la pente de la tangente est $-2$. La pente du rayon doit être $1/2$, et l'équation du rayon passant par le centre est $y-1=\tfrac12(x-2)$. Posez $u=x-2$ et substituez :

Les points de contact sont $(4,2)$ et $(0,0)$, avec les équations de tangente $2x+y=10$ et $2x+y=0$. Une direction de tangente donnée donne normalement deux points de contact opposés. Conservez les racines carrées exactes lorsque les solutions ne sont pas des entiers. La géométrie des rayons et la substitution suffisent ; la dérivation du cercle n'est pas requise ici.

Intersections et limites paramétriques

Substituer une droite dans un cercle pour obtenir une équation du second degré, résoudre pour une coordonnée et retrouver l'autre. En $(x-2)^2+(y-1)^2=5$, la droite $y=0$ donne $(x-2)^2=4$, d'où les points $(0,0)$ et $(4,0)$.

Pour la famille $y=k$, le même cercle donne

Il y a deux points quand $1-\sqrt5<k<1+\sqrt5$, un point tangent à chaque limite, et aucun point hors de cet interval. À chaque limite $x=2$. Pour une droite générale inclinée, le discriminant de l'équation quadratique résultante est positif, nul ou négatif dans ces trois mêmes cas. Une racine double correspond à un seul point.

Pour une droite et une courbe quadratique, égaler les deux expressions de $y$. Pour $y=x^2$ et $y=2x+k$ :

Ainsi, il y a deux intersections pour $k>-1$, une pour $k=-1$ en $(1,1)$, et aucune pour $k<-1$. Montrez la condition algébrique ; un simple croquis ne prouve pas une limite exacte. Certaines familles ont un discriminant positif pour tout paramètre réel, donc elles coupent toujours deux fois. Vérifiez séparément si un paramètre pourrait annuler le coefficient quadratique.

Construire un cercle à partir des écarts aux axes

Un cercle entièrement situé dans le premier quadrant a pour centre $(a,b)$ et pour rayon $r$. Ses distances minimales aux axes $y$ et $x$ sont respectivement $a-r$ et $b-r$.

Exemple résolu. L'écart par rapport à l'axe $y$ est $1$, l'écart par rapport à l'axe $x$ est $3$, et la distance de l'origine au centre est $\sqrt{34}$. Alors le centre est $(r+1,r+3)$, donc

Rejetez le rayon négatif. Par conséquent $r=2$, centre $(3,5)$, et équation $(x-3)^2+(y-5)^2=4$. Le point le plus éloigné de l'origine se trouve le long du rayon partant de l'origine vers le centre : son rayon a pour pente $5/3$, donc sa tangente a pour pente $-3/5$.

Vérification indépendante. Les écarts minimaux d'un autre cercle par rapport aux axes $x$ et $y$ sont $6$ et $2$, et son centre est à $4\sqrt5$ de l'origine. Trouvez le rayon, le centre, l'équation du cercle et la pente de la tangente à son point le plus éloigné de l'origine. Établissez les coordonnées du centre avant de calculer.

Vérification après tentative : le centre $(r+2,r+6)$ donne $(r+2)^2+(r+6)^2=80$. Ainsi $(r+10)(r-2)=0$, $r=2$, centre $(4,8)$ et équation $(x-4)^2+(y-8)^2=4$. La direction du rayon a pour pente $2$, donc la pente de la tangente est $-1/2$.

Une frontière courbe peut contenir un arc et plusieurs segments droits. Identifiez chaque partie avant de calculer. Un secteur, un triangle et une segment circulaire ont des aires et des périmètres différents.

Définir un radian et convertir des angles

Un radian est l'angle au centre qui intercepte un arc de longueur égale au rayon. Puisque $\theta=s/r$, un tour complet correspond à $(2\pi r)/r=2\pi$ radians. Par conséquent

Multipliez les degrés par $\pi/180$ pour obtenir des radians, ou les radians par $180/\pi$ pour obtenir des degrés. Par exemple, $150^\circ=5\pi/6$ radians et $7\pi/4$ radians valent $315^\circ$. Les angles peuvent dépasser un tour complet : $450^\circ=5\pi/2$ radians.

Formules du secteur, périmètre et problèmes inverses

Pour un secteur de rayon $r$ et d'angle $\theta$ en radians,

Ici, $s$ désigne la longueur de l'arc et $A$ l'aire du secteur. Le périmètre total d'un secteur est $s+2r$. Distinuez bien les unités linéaires des unités carrées. Convertissez un angle en degrés avant d'utiliser ces formules, et activez le mode calculatrice en radians pour ses sinus ou cosinus.

Si la longueur de l'arc et l'aire sont données, éliminez l'angle : $A=rs/2$, ce qui donne $r=2A/s$, puis $\theta=s/r$.

Exemple résolu. Une longueur d'arc de $8\text{ cm}$ et une aire de secteur de $24\text{ cm}^2$ fournissent $r=6\text{ cm}$, $\theta=4/3$ radians et un périmètre total de $20\text{ cm}$. L'arc seul ne constitue pas le périmètre.

Cordes et segments circulaires mineurs

Pour un angle central mineur $0<\theta<\pi$, bissectez le triangle isocèle formé par deux rayons et leur corde. Cela permet d'obtenir

Le segment circulaire s'étend entre la corde et l'arc. Le segment mineur correspond au secteur mineur moins le triangle :

Son périmètre est $r\theta+c$, et non $r\theta+2r$.

Pour $r=5\text{ cm}$ et $\theta=2$ radians, la longueur de l'arc est $10\text{ cm}$, l'aire du secteur est $25\text{ cm}^2$, et l'aire du segment mineur est $12.5(2-\sin2)\approx13.6\text{ cm}^2$. Le périmètre du segment mineur est $10+10\sin1\approx18.4\text{ cm}$.

Segments majeurs

Le segment majeur correspond au reste du cercle après retrait du segment mineur :

Son arc utilise l'angle $2\pi-\theta$, donc son périmètre est $r(2\pi-\theta)+c$.

Exemple résolu. Rayon $4\text{ cm}$ et corde $4\sqrt3\text{ cm}$ donnent $\sin(\theta/2)=\sqrt3/2$. L'angle mineur est $2\pi/3$, l'aire du triangle est $4\sqrt3$, et

La longueur de l'arc majeur est $16\pi/3\text{ cm}$. Ajoutez la corde pour obtenir le périmètre de son segment. La région majeure inclut le triangle ; ce n'est pas seulement le secteur majeur.

Frontières composées : nommer les pièces

Exemple résolu. Soit $OA=OB=10\text{ cm}$, $\angle AOB=1$ radian. Retirez le secteur de rayon $4\text{ cm}$, centré en $O$, du triangle $OAB$. Le périmètre restant contient deux lacets droits de longueur $6$, la corde extérieure $AB=20\sin(1/2)$, et un arc intérieur de longueur $4$.

Il n'y a pas d'arc circulaire extérieur : $AB$ est rectiligne. Si une région se trouve entre deux arcs de secteur concentriques, son aire est la différence des aires des secteurs, mais son périmètre inclut les deux arcs et les deux coupes radiales. Pour des rayons $9$ et $5$ et un angle $1.4$ radians, l'aire est de $39.2$ unités carrées et le périmètre est de $27.6$ unités. Soustraire des aires ne signifie pas soustraire des longueurs.

Utiliser deux conditions pour trouver un cercle inconnu

Si un secteur a une aire $8\theta\text{ cm}^2$, alors $(1/2)r^2\theta=8\theta$. Puisque $\theta>0$, $r=4\text{ cm}$. Si l'aire du triangle est $4\text{ cm}^2$, alors $8\sin\theta=4$. La restriction $0<\theta<\pi/2$ sélectionne $\theta=\pi/6$, donnant l'aire du segment mineur $4\pi/3-4\text{ cm}^2$.

Si une partie ultérieure remplace la condition d'aire de secteur, recommencez. Un rapport corde-rayon peut déterminer $\theta$ à l'aide de $c=2r\sin(\theta/2)$, puis l'aire du triangle détermine $r$. Ne conservez pas un rayon ou un angle dont la condition originale ne s'applique plus.

Différents cercles, différents rayons et angles

Le schéma montre un cercle de centre $O$ et de rayon $3$, rencontrant un cercle de centre $C$ et de rayon $5$. Ici $OC=4$ et $PQ$ est le diamètre du petit cercle, perpendiculaire à $OC$.

Soit $\phi=\angle PCQ=2\tan^{-1}(3/4)\approx1.287$ radians. Le triangle $PCQ$ a une aire $\tfrac12(6)(4)=12$. Le segment mineur du grand cercle a une aire $\tfrac{25}{2}\phi-12$. Soustrayez-le du demi-cercle gauche du petit cercle :

Le périmètre utilise deux pièces courbes. Les droites $PQ$ et $OC$ sont des lignes de construction à l'intérieur de la figure, pas des bords extérieurs.

Une corde commune peut diviser une autre région formée par deux cercles en deux segments circulaires. Tracer le côté requis de la corde pour chaque cercle. Calculer chacun secteur et triangle avec son propre rayon et son angle au centre avant de combiner leurs aires. Par exemple, deux cercles de rayon $6$, dont les centres sont distants de $6$, se superposent en deux segments mineurs égaux. Des triangles équilatéraux donnent un angle central de $2\pi/3$ chacun. L'aire de recouvrement est de $2(12\pi-9\sqrt3)=24\pi-18\sqrt3$ et son périmètre correspond aux deux arcs mineurs, soit $8\pi$. La corde commune est interne.

Vérification indépendante. Remplacez le petit rayon par $4$, posez $OC=3$, et gardez le grand rayon $5$, avec la même géométrie de diamètre perpendiculaire. Trouvez l'aire du croissant et le périmètre à trois chiffres significatifs.

Vérifiez après avoir essayé : $\phi=2\tan^{-1}(4/3)$. Le grand triangle a toujours une aire $12$. Ainsi l'aire est $=8\pi-\tfrac{25}{2}\phi+12\approx14.0$ unités carrées et le périmètre $=4\pi+5\phi\approx21.8$ unités.

Un point sur une roue tournante monte et descend. Un modèle trigonométrique décrit ce cycle, mais sa courbe doit avoir l'échelle de hauteur et le timing corrects. Une position angulaire calculée par une calculatrice peut en manquer une autre valide dans le même intervalle.

Valeurs exactes et signes

Sur le cercle unité, un point a pour coordonnées $(\cos\theta,\sin\theta)$. Les signes dépendent du quadrant, y compris pour les angles négatifs et les tours dépassant $360^\circ$. Les graphiques du sinus et du cosinus ont une image $[-1,1]$ et une période de $2\pi$ radians ou $360^\circ$. La fonction tangente se répète après $\pi$ radians ou $180^\circ$ et est indéfinie là où $\cos\theta=0$.

$\theta$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
$\sin\theta$	$1/2$	$1/\sqrt2$	$\sqrt3/2$
$\cos\theta$	$\sqrt3/2$	$1/\sqrt2$	$1/2$
$\tan\theta$	$1/\sqrt3$	$1$	$\sqrt3$

Utilisez l'angle de référence, l'angle aigu par rapport à l'axe des $x$, pour obtenir la grandeur. Puis choisissez le signe. Par exemple, $\cos150^\circ=-\sqrt3/2$, $\sin(-\pi/6)=-1/2$ et $\sin(3\pi/4)=1/\sqrt2$. La notation $\sin^2\theta$ signifie $(\sin\theta)^2$.

Graphiques transformés

Pour $y=d+a\sin(bx+c)$ ou $d+a\cos(bx+c)$, avec $a,b\ne0$, la ligne médiane est $y=d$, l'amplitude est $|a|$, et la période est de $2\pi/|b|$ radians ou $360^\circ/|b|$. Trouvez les points clés en égalisant l'angle à l'intérieur de la fonction à des valeurs familières.

Pour $y=2+3\cos2x$, l'image est $[-1,5]$ et la période est de $\pi$. Sur $[0,2\pi]$, les maxima se situent à $x=0,\pi,2\pi$ et les minima à $x=\pi/2,3\pi/2$. Il y a deux cycles complets.

For $y=\tan(x+\pi/4)$, shift the base tangent graph left by $\pi/4$. In $[-\pi,\pi]$, asymptotes are $x=-3\pi/4,\pi/4$, zeros are $-\pi/4,3\pi/4$ and the $y$-intercept is $1$. Its period is $\pi$ and it has no finite amplitude. Draw separate increasing branches; never join through an asymptote.

Valeurs principales et notation inverse

Les notations $\sin^{-1}u$, $\cos^{-1}u$ et $\tan^{-1}u$ retournent une valeur principale, un angle dans l'intervalle inverse indiqué :

Inverse	Intervalle principal en radians	En degrés
Sinus	$[-\pi/2,\pi/2]$	$[-90^\circ,90^\circ]$
Cosinus	$[0,\pi]$	$[0^\circ,180^\circ]$
Tangente	$(-\pi/2,\pi/2)$	$(-90^\circ,90^\circ)$

Les arcsin/arccos nécessitent une entrée dans $[-1,1]$ ; l’arctan accepte toute valeur réelle. L’exposant $-1$ signifie ici inverse, non reciprocalité. Ainsi $\sin^{-1}(\sin150^\circ)=30^\circ$, mais $\sin\theta=1/2$ possède à la fois $30^\circ$ et $150^\circ$ dans $[0^\circ,360^\circ]$.

Pour résoudre $\tan^{-1}(2x-1)=-\pi/4$, prenez la tangente : $2x-1=-1$, donc $x=0$. La sortie inverse donnée se trouve dans l'intervalle principal.

Prouver des identités avec une algèbre valide

Les deux identités fondamentales sont

Une identité est valide dès que les deux côtés sont définis. Énoncez les restrictions du dénominateur et partez d'un seul côté sans supposer l'égalité à démontrer. Par exemple, là où $\sin\theta\ne0$ :

La condition exclut également $\cos\theta=-1$, donc le facteur simplifié est non nul. Ne pas confondre $\sin^2\theta+\cos^2\theta$ avec $(\sin\theta+\cos\theta)^2$.

Une équation trigonométrique demande de trouver tous les angles dans l'intervalle spécifié.

Réduire les équations à une seule fonction trigonométrique

Exemple résolu. Résoudre $2\cos^2\theta-\sin\theta-1=0$ sur $[0,2\pi]$. Substituer $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$ :

Par conséquent $\sin\theta=1/2$ ou $-1$. La réponse complète est $\theta=\pi/6,5\pi/6,3\pi/2$. La valeur principale $-\pi/2$ n'est pas dans cet intervalle, utiliser donc $3\pi/2$ à la place. Rejeter les valeurs du sinus/cosinus hors de $[-1,1]$. Si l'on cherche $\sin^2\theta$, récupérer les deux signes racine avant de trouver les angles.

Changer l'intervalle intérieur

Pour $\sin2x=1/2$ et $-\pi<x<\pi$, poser $u=2x$. Rechercher dans tout l'intervalle $-2\pi<u<2\pi$, et non seulement un tour complet. Ses solutions sont $u=-11\pi/6,-7\pi/6,\pi/6,5\pi/6$. Diviser par $2$ donne

Pour un angle décalé tel que $2x-\pi/6$, transformer d'abord les bornes de l'intervalle, puis convertir chaque solution d'angle intérieur en $x$. Vérifier les bornes ouvertes/fermées dans l'équation originale.

Conserver les facteurs nuls et exclure les angles non définis

Diviser par une expression trigonométrique peut faire perdre des racines. Écrire $\sin\theta\cos\theta=\sin\theta$ sous la forme $\sin\theta(\cos\theta-1)=0$, en conservant le cas $\sin\theta=0$.

Pour une équation fractionnaire, énoncer d'abord la restriction du dénominateur. Par exemple, résoudre $6\sin\theta=1+2/\sin\theta$ pour $-180^\circ<\theta<180^\circ$. Puisque $\sin\theta\ne0$, la multiplication donne

La valeur $2/3$ donne $41.8^\circ,138.2^\circ$ et $-1/2$ donne $-150^\circ,-30^\circ$. Les quatre sont valides dans l'équation originale. Garder la précision de la calculatrice jusqu'aux angles finaux.

Vérifications graphiques indépendantes et équationnelles

Tracer $y=1+\sin x$ et $y=x/2$ ensemble pour $0\le x\le2\pi$. Étiqueter les cinq points clés de la courbe sinusoïdale et compter les solutions de $1+\sin x=x/2$.

Vérifier après avoir tenté : la courbe passe par $(0,1),(\pi/2,2),(\pi,1),(3\pi/2,0),(2\pi,1)$. Il y a une intersection, entre $\pi/2$ et $\pi$. À cet endroit, la courbe descend et la droite monte. Avant $\pi/2$, la courbe est au moins $1$ et la droite en dessous de $1$ ; après $\pi$, la courbe est au plus $1$ et la droite au-dessus de $1$.

Résoudre aussi $\sin(2x-\pi/6)=-1/2$ sur $[-\pi,\pi]$. L'intervalle intérieur est $[-13\pi/6,11\pi/6]$, donnant $x=-\pi,-\pi/3,0,2\pi/3,\pi$. Les deux bornes sont valides. Une liste correcte de propriétés ne remplace pas un graphique réel, et une valeur inverse principale unique ne remplace pas toutes les solutions de l'équation.

Développement binomial

Pour un entier positif $n$, le développement binomial est

où $\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n - r)!}$ est un coefficient binomial.

Exemple commenté. Trouver les trois premiers termes, en puissances croissantes de $x$, de $(2 - px)^5$.

Suites arithmétiques et géométriques

Une suite est une liste de termes suivant une règle.

• Une suite arithmétique (SA) ajoute une différence commune fixe $d$ à chaque étape. Le $n$-ième terme est $u_n = a + (n - 1)d$, et la somme des $n$ premiers termes est $S_n = \tfrac{n}{2}\big(2a + (n - 1)d\big)$.
• Une suite géométrique (SG) multiplie par un rapport commun fixe $r$ à chaque étape. Le $n$-ième terme est $u_n = ar^{\,n-1}$, et $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$.

Pour un premier terme non nul, une série géométrique est convergente — ses sommes partielles convergent (se stabilisent vers une limite) — exactement lorsque $|r| < 1$. Elle admet alors une somme à l'infini

Exemple commenté. Le troisième terme d'une SG est $18$ et la somme des trois premiers termes est $26$. Le rapport est négatif. Trouver la somme à l'infini.

De $ar^2 = 18$ on tire $a = \dfrac{18}{r^2}$. Insérer cela dans $a(1 + r + r^2) = 26$ :

Le rapport est négatif, donc $r = -\tfrac34$ et $a = \dfrac{18}{(3/4)^2} = 32$. Ensuite

Sélectionner un terme binomial ou un coefficient dans un produit

Le terme numéroté $k+1$ dans $(a+b)^n$ est $\binom nk a^{n-k}b^k$, avec $k=0,\ldots,n$ et $0!=1$. Le puissance $n$ est ici un entier positif. Conserver le signe à l'intérieur de la deuxième partie élevée à la puissance.

Exemple résolu. Dans $(x^2+2/x)^6$, le terme général est $\binom6k2^kx^{12-3k}$. Le terme constant nécessite $12-3k=0$, donc $k=4$ et la réponse est $15\times16=240$.

Pour le coefficient de $x^2$ dans $(1+3x)(2-x)^4$, seuls deux appariements contribuent : le terme constant 1 multiplié par $24x^2$, et $3x$ multiplié par $-32x$. Le coefficient est $24-96=-72$. Lorsque des puissances négatives apparaissent, lister tous les appariements possibles avant de sélectionner les termes.

Trouver une suite arithmétique inconnue et sélectionner ses termes

Si $u_3=13$ et $u_8=33$, alors $a+2d=13$ et $a+7d=33$. La soustraction donne $d=4$ et $a=5$. Par conséquent $u_{10}=41$ et $S_{10}=\frac{10}{2}(5+41)=230$.

Pour $a=4,d=3$, les termes strictement compris entre 20 et 41 satisfont $20<3n+1<41$. Leurs positions sont 7 à 13 : il y a $13-7+1=7$ termes, de 22 à 40. La somme est $\frac72(22+40)=217$, soit aussi $S_{13}-S_6$. Vérifier si les bornes sont incluses dans l'énoncé.

Relier les suites et vérifier la convergence

Trois termes consécutifs d'une suite arithmétique $p,q,s$ satisfont $2q=p+s$. Trois termes consécutifs d'une suite géométrique satisfont $q^2=ps$. Si $p,q,s$ sont des termes géométriques tandis que $p,q,-2s$ sont des termes arithmétiques, substituer $q=pr,s=pr^2$ dans $2q=p-2s$. Pour $p\ne0$, cela donne $2r^2+2r-1=0$. Résoudre, puis appliquer toute restriction de signe ou de convergence.

Pour une suite géométrique finie avec $r=1$, utiliser $S_n=na$ ; la formule fractionnaire présente un dénominateur nul. Pour un premier terme non nul, une série géométrique infinie a une somme finie exactement lorsque $|r|<1$. Un rapport négatif peut converger : les signes alternent et les sommes partielles approchent une limite des deux côtés. Pour $r=-1$, elles continuent d'osciller au lieu de cela.

Après que les premiers $n$ termes ont été retirés, la somme restante est

Exemple résolu. Un deuxième terme de $-12$ et une somme infinie de 16 donnent $ar=-12$ et $a=16(1-r)$. Ainsi $4r^2-4r-3=0$. Rejeter $r=3/2$ car elle ne peut pas converger, laissant $r=-1/2,a=24$. Après trois termes, la somme infinie restante est $24(-1/2)^3/(3/2)=-2$. Une queue négative est valide : le total fini était supérieur à la somme limite.

La dérivation permet de trouver la pente d'une courbe en chaque point. Cette pente est la limite des pentes de cordes de plus en plus courtes, appelée dérivée.

Les règles

Écrivez la dérivée comme $f'(x)$ ou $\dfrac{dy}{dx}$. La règle de base est

Différenciez les sommes terme par terme, et utilisez la règle de la chaîne pour une fonction contenue dans une autre : Dériver à nouveau donne la dérivée seconde $f''(x)$ ou $\dfrac{d^2y}{dx^2}$.

Utilisation de la dérivée

• Tangente et normale. La pente de la courbe en un point est la pente de la tangente en ce point. La normale est perpendiculaire à la tangente, donc sa pente est $-\dfrac{1}{\text{(tangent gradient)}}$ lorsque la pente de la tangente est non nulle. Une tangente horizontale a une normale verticale.
• Croissante ou décroissante. La fonction est une fonction croissante où $\dfrac{dy}{dx} > 0$, et une fonction décroissante où $\dfrac{dy}{dx} < 0$.
• Taux de variation. Une dérivée est un taux de variation. Les taux liés utilisent la règle de composition, par ex. $\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}$.

Points stationnaires

Un point stationnaire est où $\dfrac{dy}{dx} = 0$. Tester sa nature avec la dérivée seconde : $f''(x) > 0$ donne un point minimum, et $f''(x) < 0$ donne un point maximum. Quand $f''(x) = 0$, le test est inconclusive. Vérifier le signe de la dérivée première des deux côtés : passage de négatif à positif prouve un minimum, et passage de positif à négatif prouve un maximum. Par exemple, $y=x^4$ a un minimum à zéro malgré le fait que les deux dérivées soient nulles là.

Exemple résolu. La courbe $y = 4x^{1/2} - x$ a un point maximum en $x = a$. Trouvez $a$.

Donc $a = 4$.

Cordes, puissances rationnelles et racine imbriquée

Pour $y=x^3$, la pente de la corde reliant $x=2$ à $x=2+h$ est $[(2+h)^3-8]/h=12+6h+h^2$ pour $h\ne0$. Quand $h\to0$, cela tend vers 12, la pente de la tangente. Il s'agit d'une explication informelle de la dérivée ; ne pas substituer zéro dans le quotient original.

Pour $x>0$, $f=3\sqrt x+2/x$ donne $f'=\frac32x^{-1/2}-2x^{-2}$ et $f''=-\frac34x^{-3/2}+4x^{-3}$. Pour une fonction composée $y=\sqrt{2x^3+5}$, utiliser la règle de dérivation en chaîne pour obtenir $dy/dx=3x^2/\sqrt{2x^3+5}$ là où l'argument de la racine est positif.

Écrire l'équation de la tangente et de la normale

Trouver le point ainsi que la pente. En $y=x^2$ en $(1,1)$, $dy/dx=2$, donnant la tangente $y-1=2(x-1)$ et la normale $y-1=-\frac12(x-1)$. Si un point $(p,q)$ a une pente nulle, sa tangente est $y=q$ et sa normale est $x=p$.

De points stationnaires à un croquis

Pour $f=x^3-6x^2+9x+2$, $f'=3(x-1)(x-3)$, donc les points stationnaires ont $x=1,3$. Substituer dans la fonction originale : $(1,6)$ est un maximum car $f''(1)=-6$ ; $(3,2)$ est un minimum car $f''(3)=6$. La dérivée est positive pour $x<1$ et $x>3$, et négative pour $1<x<3$. Un croquis nécessite également des intercepts et toute restriction de domaine.

Taux liés et optimisation

Si $A=\pi r^2$, alors $dA/dt=(dA/dr)(dr/dt)=2\pi r\,dr/dt$. À $r=5$ cm et $dr/dt=0.3$ cm/s, $dA/dt=3\pi$ cm²/s. Commencer par un taux négatif pour une quantité décroissante. Les dérivées par rapport à une longueur et par rapport au temps sont des taux différents.

Pour un rectangle contre un mur, 60 m de clôture couvrent deux largeurs $x$ et une longueur $y$. La contrainte est $2x+y=60$. Donc $A=x(60-2x)$ avec $0<x<30$. Résoudre $A'=60-4x=0$, donnant $x=15,y=30$. Puisque $A''=-4<0$, l'aire maximale est $450$ m². Vérifier le domaine physique et ses bornes avant d'accepter un optimum.

L'intégration est l'inverse de la dérivation. Inverser la règle des puissances donne

La $+\,C$ est la constante d'intégration. Si vous connaissez un point sur la courbe, substituez-le pour trouver $C$.

Intégrales définies et aire

Une intégrale définie a des bornes et donne un nombre :

Pour $p<q$, une intégrale définie compte positivement les contributions au-dessus de l’axe $x$ et négativement celles en dessous. Elle correspond à l’aire géométrique uniquement si la courbe reste positive sur tout l’intervalle. Pour l’aire totale, découpez aux racines et additionnez les valeurs absolues de chaque intégrale. Pour l’aire entre deux courbes, intégrez (courbe du haut $-$ courbe du bas), en découpant chaque fois que leur ordre change. Inverser les limites inverse le signe de l’intégrale.

Exemple résolu. La courbe $y = 4x^{1/2} - x$ recoupe l'axe des $x$ en $x = 16$. Trouvez l'aire entre la courbe et l'axe des $x$ de $x = 0$ à $x = 4$.

Une intégrale impropre a une borne infinie ou une extrémité où l'intégrande n'est pas défini ; évaluez-la comme une limite. Par exemple,

et $\displaystyle\int_0^{1}x^{-1/2}\, dx=\lim_{a\to0^+}\left[2x^{1/2}\right]_a^{1}=2$, qui est fini bien que l'intégrande explose en $x=0$.

Volume de révolution

Quand une région est tournée tout autour d'un axe, elle balaye un solide. Le volume de révolution autour de l'axe des $x$ est

et autour de l'axe des $y$ c'est $V = \pi \displaystyle\int x^2 \, dy$. Par exemple, la zone sous $y = \sqrt{x}$ de $x = 0$ à $x = 4$, tournée autour de l'axe des $x$, a un volume de $\pi\displaystyle\int_0^4 x\, dx = \pi\big[\tfrac{x^2}{2}\big]_0^4 = 8\pi$.

Une courbe à partir de deux conditions

Si $y''=6x$ et $(1,4)$ est un point stationnaire, intégrer une fois pour obtenir $y'=3x^2+A$. La pente y étant nulle, $A=-3$. Intégrer à nouveau pour obtenir $y=x^3-3x+B$ ; utiliser le point donne $B=6$. Deux intégrations nécessitent deux constantes déterminées séparément. Vérifier le résultat en dérivant.

Aire signée totale et aire géométrique

Pour $y=x^2-1$ de $x=-1$ à 2, l'intégrale signée est nulle. Découper en $x=1$ : la contribution sur $[-1,1]$ est $-4/3$, et celle sur $[1,2]$ est $4/3$. L'aire géométrique est $4/3+4/3=8/3$ unités carrées.

Une intégrale impropre est finie uniquement si sa valeur limite existe comme nombre réel. Par exemple, $\int_0^1x^{-2}dx=\lim_{a\to0^+}(1/a-1)$ n'a pas de valeur finie. Le symbole de l'infini est une borne décrite par une limite, pas un nombre à substituer.

Un espace entre courbes ou une tangente et une courbe

Les courbes $y=2x$ et $y=x^2$ se coupent en $x=0,2$. La droite est au-dessus de la parabole entre elles, donc l'aire enclose est $\int_0^2(2x-x^2)dx=4/3$ unités carrées. Si les courbes supérieure et inférieure échangent leurs places, découper l'intégrale à cette intersection.

Pour $y=2x-x^2$, la tangente en $(1,1)$ est $y=1$. Sur $0\le x\le1$, l'aire sous la courbe est $2/3$ et le rectangle sous la tangente a une aire de 1. L'espace est $1-2/3=1/3$. Trouver l'équation d'une tangente et ses intercepts pertinents avant de sélectionner les bornes dans une question d'aire composée.

Rotation avec un trou et rotation autour de chaque axe

Une région ne doit pas nécessairement toucher l'axe de rotation. Une tranche a alors un rayon extérieur $R$ et un rayon intérieur $r$ ; son aire de section transversale est $\pi(R^2-r^2)$, et non $\pi(R-r)^2$.

Entre $y=4-x^2$ et $y=1$, les intersections se produisent à $x=\pm\sqrt3$. La rotation autour de l'axe $x$ donne

Autour de l'axe $y$, utiliser des tranches horizontales et exprimer les rayons en fonction de $y$ : $V=\pi\int(R(y)^2-r(y)^2)dy$. La région délimitée par $0\le x\le\sqrt y$ et $0\le y\le4$ produit $V=\pi\int_0^4y\,dy=8\pi$. Les bornes doivent être des valeurs $y$ lors de l'intégration par rapport à $y$. Inclure tout rayon intérieur et indiquer les unités cubiques.

• Montrez chaque ligne d'algèbre — les points de méthode sont perdus en sautant des étapes ; utilisez le discriminant $b^2 - 4ac$ pour déterminer le nombre de racines réelles.
• Travailler en radians pour la mesure circulaire (arc $= r\theta$, aire du secteur $= \frac{1}{2}r^2\theta$).
• Pour la dérivation, posez $\frac{dy}{dx} = 0$ pour les points stationnaires et utilisez la dérivée seconde pour les classifier.
• Pour l'intégration, ajoutez $+ c$ à une intégrale indéfinie et utilisez des bornes pour l'aire ; une aire sous l'axe donne une intégrale négative.