Cette feuille couvre le Sujet 2 : Mathématiques Pures 纯数学 2. Elle ajoute la valeur absolue et l'algèbre polynomiale, les logarithmes 对数 et la fonction exponentielle 指数函数, plus de trigonométrie, et de nouvelles façons de dériver et d'intégrer.
Mathématiques Pures 2
Mathématiques A-Level · Sujet 2
12:32
Mathématiques Pures 2
En deux mille onze, un séisme au large du Japon a mesuré neuf à l'échelle de Richter. Un tremblement plus faible en mesurerait six. À peine trois points d'écart — mais le premier…
Narration en anglais · Sous-titres anglais + 中文 incrustés
2.1
Algèbre
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| comprendre la signification de $|x|$, tracer le graphe de $y = |ax + b|$ et utiliser des relations telles que $|a| = |b| \iff a^2 = b^2$ et $|x - a| < b \iff a - b < x < a + b$ lors de la résolution d'équations et d'inégalités | Les graphes de $y = |f(x)|$ et $y = f(|x|)$ pour des fonctions non linéaires $f$ ne sont pas compris. ex. : $|3x - 2| = |2x + 7|$, $2x + 5 < |x + 1|$ |
| diviser un polynôme de degré inférieur ou égal à 4 par un polynôme linéaire ou quadratique, et identifier le quotient et le reste (qui peuvent être nuls) | |
| utiliser le théorème du facteur et le théorème du reste. | ex. : pour trouver des facteurs et des restes, résoudre des équations polynomiales ou évaluer des coefficients inconnus. Inclure des facteurs de la forme $(ax + b)$ où le coefficient de $x$ n'est pas unitaire, et inclure le calcul des restes. |
Source : Programme Cambridge International
La valeur absolue
La valeur absolue 绝对值 $|x|$ est la taille d'un nombre avec son signe retiré, donc $|x| \geqslant 0$ toujours. Le graphique de $y = |ax + b|$ a une forme en "V" qui rebondit sur l'axe des $x$. Deux règles utiles pour résoudre des équations et inéquations sont
$$|a| = |b| \;\Leftrightarrow\; a^2 = b^2, \qquad |x - a| < b \;\Leftrightarrow\; a - b < x < a + b.$$
Exemple résolu. Résoudre $|3x + 8| < 9$.
Utiliser la deuxième règle avec l'inégalité écrite comme $-9 < 3x + 8 < 9$ :
$$-9 < 3x + 8 < 9 \;\Rightarrow\; -17 < 3x < 1 \;\Rightarrow\; -\tfrac{17}{3} < x < \tfrac13.$$
Division polynomiale et théorèmes du facteur et du reste
Un polynôme 多项式 est une somme de puissances de $x$, tel que $2x^4 + 3x^2 - 5$. Son degré 次数 est la plus haute puissance. Quand vous divisez un polynôme par un autre, vous obtenez un quotient 商 et un reste 余数.
- Théorème du reste 余数定理 : le reste lorsque $p(x)$ est divisé par $(x - a)$ est $p(a)$.
- Théorème du facteur 因式定理 : $(x - a)$ est un facteur de $p(x)$ exactement quand $p(a) = 0$.
Exemple résolu. Le polynôme $p(x) = 2x^4 + kx^3 + kx^2 + 17x + 18$ a pour facteur $(x + 2)$. Trouvez $k$.
Par le théorème du facteur $p(-2) = 0$ :
$$2(16) + k(-8) + k(4) + 17(-2) + 18 = 0 \;\Rightarrow\; 16 - 4k = 0 \;\Rightarrow\; k = 4.$$
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La fonction valeur absolue
y = a|x − b| + c
La valeur absolue forme une forme en V. Déplacez son sommet avec b et c ; modifiez la pente des bras avec a.
Vocabulaire
Entrainer
| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| Pure Mathematics/pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | 纯数学 | chún shù xué |
| logarithms/ˈlɒɡərɪθəmz/ | 对数 | duì shù |
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | 指数函数 | zhǐ shù hán shù |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | 绝对值 | jué duì zhí |
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | 多项式 | duō xiàng shì |
| degree/dɪˈɡriː/ | 次数 | cì shù |
| quotient/ˈkwəʊʃənt/ | 商 | shāng |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | 余数 | yú shù |
| remainder theorem/rɪˈmeɪndə ˈθɪərəm/ | 余数定理 | yú shù dìng lǐ |
| factor theorem/ˈfæktə ˈθɪərəm/ | 因式定理 | yīn shì dìng lǐ |
2.2
Fonctions logarithmiques et exponentielles
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| comprendre la relation entre les logarithmes et les puissances, et utiliser les lois des logarithmes (excluant le changement de base) | |
| comprendre la définition et les propriétés de $e^x$ et $\ln x$, y compris leur relation de fonctions réciproques et leurs graphes | Comprendre le graphe de $y = e^{kx}$ pour des valeurs positives et négatives de $k$. |
| utiliser les logarithmes pour résoudre des équations et des inégalités où l'inconnue apparaît en puissance | ex. : $2^x < 5$, $3 \times 2^{3x-1} < 5$, $3^{x+1} = 4^{2x-1}$ |
| utiliser les logarithmes pour transformer une relation donnée sous forme linéaire, et ainsi déterminer des constantes inconnues en considérant la pente et/ou l'ordonnée à l'origine. | ex. : $y = kx^n$ donne $\ln y = \ln k + n \ln x$ qui est linéaire en $\ln x$ et $\ln y$ ; $y = k(a^x)$ donne $\ln y = \ln k + x \ln a$ qui est linéaire en $x$ et $\ln y$. |
Source : Programme Cambridge International
Un logarithme répond à la question « quelle puissance ? ». Si $a^x = y$ alors $x = \log_a y$. Les logarithmes et les indices 指数 (puissances) sont des idées inverses. Les lois des logarithmes 对数定律 sont
$$\log(mn) = \log m + \log n, \qquad \log\!\frac{m}{n} = \log m - \log n, \qquad \log(m^k) = k\log m.$$
La fonction exponentielle $e^x$ et le logarithme naturel 自然对数 $\ln x$ sont des fonctions réciproques, donc $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln x} = x$. Quand l'inconnu est dans la puissance, prenez les logarithmes des deux côtés.
Exemple résolu. Résoudre $4^x < 0.05$.
$$4^x < 0.05 \;\Rightarrow\; x\ln 4 < \ln 0.05 \;\Rightarrow\; x < \frac{\ln 0.05}{\ln 4} = -2.16 \ (\text{3 s.f.}).$$
Forme linéaire 线性形式 : une relation comme $y = Ax^n$ devient une droite si vous prenez les logarithmes : $\ln y = \ln A + n\ln x$. Tracer $\ln y$ contre $\ln x$ donne une droite avec un coefficient directeur de $n$ et une ordonnée à l'origine de $\ln A$, donc vous pouvez trouver les constantes inconnues.
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Croissance exponentielle
y = a·bˣ
Changez la base b : quand b > 1 la courbe croît, quand 0 < b < 1 elle décroît — et elle passe toujours par (0, a).
Vocabulaire
Entrainer
| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| indices/ˈɪndɪsiːz/ | 指数 | zhǐ shù |
| laws of logarithms/lɔːz ɒv ˈlɒɡərɪθəmz/ | 对数定律 | duì shù dìng lǜ |
| natural logarithm/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪθəm/ | 自然对数 | zì rán duì shù |
| linear form/ˈlɪnɪə fɔːm/ | 线性形式 | xiàn xìng xíng shì |
2.3
Trigonométrie
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| comprendre la relation des fonctions sécante, cosécante et cotangente au cosinus, sinus et tangente, et utiliser les propriétés et graphes des six fonctions trigonométriques pour des angles de toute magnitude | |
| utiliser des identités trigonométriques pour simplifier et évaluer exactement des expressions, et dans le cadre de la résolution d'équations, et sélectionner une identité ou des identités adaptées au contexte, en montrant une familiarité particulière avec l'utilisation de : – $\sec^2 \theta \equiv 1 + \tan^2 \theta$ et $\csc^2 \theta \equiv 1 + \cot^2 \theta$ – les développements de $\sin(A \pm B)$, $\cos(A \pm B)$ et $\tan(A \pm B)$ – les formules pour $\sin 2A$, $\cos 2A$ et $\tan 2A$ – l'expression de $a \sin \theta + b \cos \theta$ sous les formes $R \sin(\theta \pm \alpha)$ et $R \cos(\theta \pm \alpha)$. | ex. : simplifier $\cos(x - 30^\circ) - 3 \sin(x - 60^\circ)$. ex. : résoudre $\tan \theta + \cot \theta = 4$, $2 \sec^2 \theta - \tan \theta = 5$, $3 \cos \theta + 2 \sin \theta = 1$. |
Source : Programme Cambridge International
Il y a trois autres fonctions, chacune étant le reciprocal d'une que vous connaissez : la sécante 正割 $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, la cosécante 余割 $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$, et la cotangente 余切 $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}$.
Vous devez connaître ces identités trigonométriques 三角恒等式 et choisir la bonne pour chaque problème :
$$\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta, \qquad \csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta.$$
Vous utilisez aussi les formules d'angle composé 复合角 pour $\sin(A \pm B)$, $\cos(A \pm B)$, $\tan(A \pm B)$, les formules d'angle double 二倍角
$$\sin 2A = 2\sin A\cos A, \quad \cos 2A = 2\cos^2 A - 1, \quad \tan 2A = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A},$$
et la formule R 辅助角公式 $a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)$, où $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ et $\tan\alpha = \dfrac{b}{a}$.
Exemple résolu. Résolvez $2\tan^2\theta + 3\sec\theta = 18$ pour $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.
Remplacez $\tan^2\theta$ par $\sec^2\theta - 1$ pour obtenir une seule fonction :
$$2(\sec^2\theta - 1) + 3\sec\theta = 18 \;\Rightarrow\; 2\sec^2\theta + 3\sec\theta - 20 = 0 \;\Rightarrow\; (2\sec\theta - 5)(\sec\theta + 4) = 0.$$
Donc $\sec\theta = \tfrac52$ ou $\sec\theta = -4$, donnant $\cos\theta = \tfrac25$ ou $\cos\theta = -\tfrac14$. Les solutions sont $\theta = \pm 66.4^\circ$ et $\theta = \pm 104.5^\circ$.
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Le cercle unité
Faites glisser l'angle pour voir comment $\sin$, $\cos$ et $\tan$ sont liés — la clé pour résoudre les équations trigonométriques.
Vocabulaire
Entrainer
| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| secant/ˈsiːkənt/ | 正割 | zhèng gē |
| cosecant/ˈkəʊsekənt/ | 余割 | yú gē |
| cotangent/ˈkəʊtændʒənt/ | 余切 | yú qiē |
| trigonometric identities/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk aɪˈdentɪtiz/ | 三角恒等式 | sān jiǎo héng děng shì |
| compound angle/ˈkɒmpaʊnd ˈæŋɡl/ | 复合角 | fù hé jiǎo |
| double angle/ˈdʌbl ˈæŋɡl/ | 二倍角 | èr bèi jiǎo |
| R-formula/ɑː ˈfɔːmjʊlə/ | 辅助角公式 | fǔ zhù jiǎo gōng shì |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | 乘积法则 | chéng jī fǎ zé |
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | 商法则 | shāng fǎ zé |
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | 参数方程 | cān shù fāng chéng |
| implicitly/ɪmˈplɪsɪtli/ | 隐式 | yǐn shì |
2.4
Dérivation
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| utiliser les dérivées de $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, ainsi que les multiples constants, sommes, différences et compositions | |
| dériver des produits et des quotients | ex. : $\frac{2x - 4}{3x + 2}$, $x^2 \ln x$, $x e^{1 - x^2}$. |
| trouver et utiliser la première dérivée d'une fonction définie paramétriquement ou implicitement. | ex. : $x = t - e^{2t}$, $y = t + e^{2t}$. ex. : $x^2 + y^2 = xy + 7$. Inclure l'utilisation dans des problèmes impliquant des tangentes et des normales. |
Source : Programme Cambridge International
Apprenez ces dérivées standards :
$$\frac{d}{dx}e^x = e^x, \quad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}, \quad \frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \quad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, \quad \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x.$$
Pour un produit ou un quotient de deux fonctions, utilisez :
- la règle du produit 乘积法则 : $(uv)' = u'v + uv'$;
- la règle du quotient 商法则 : $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
Quand une courbe est donnée par des équations paramétriques 参数方程 $x = x(t)$, $y = y(t)$, le coefficient directeur est $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$. Quand $y$ est défini implicitement 隐式 (pas mis en évidence), différenciez chaque terme par rapport à $x$, en utilisant la règle de la chaîne sur les termes $y$, puis résolvez pour $\dfrac{dy}{dx}$.
Exemple résolu. Étant donné $y = 6x\cos(x^2 + 1)$, trouvez $\dfrac{dy}{dx}$.
Utilisez la règle du produit avec $u = 6x$ et $v = \cos(x^2 + 1)$ (et la règle de la chaîne pour $v$) :
$$\frac{dy}{dx} = 6\cos(x^2 + 1) + 6x\cdot\big(-2x\sin(x^2 + 1)\big) = 6\cos(x^2 + 1) - 12x^2\sin(x^2 + 1).$$
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Tangente et gradient
y = ax³ + bx² + cx + d
Déplacez le point : la droite tangente est la dérivée à cet x. Là où la courbe tourne, le gradient est nul.
2.5
Intégration
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| • étendre l'idée de « dérivation inverse » pour inclure l'intégration de $e^{ax + b}$, $\frac{1}{ax + b}$, $\sin(ax + b)$, $\cos(ax + b)$ et $\sec^2(ax + b)$ | La connaissance de la méthode générale d'intégration par substitution n'est pas requise. |
| • utiliser des relations trigonométriques pour effectuer des intégrations | ex. : utilisation des formules d'angle double pour intégrer $\sin^2 x$ ou $\cos^2(2x)$. |
| • comprendre et utiliser la règle des trapèzes pour estimer la valeur d'une intégrale définie. | Inclure l'utilisation de graphes esquissés dans des cas simples pour déterminer si la règle des trapèzes donne une surestimation ou une sous-estimation. |
Source : Programme Cambridge International
L'intégration est une dérivation inverse — inversez chaque nouvelle dérivée ; les intégrales plus difficiles peuvent nécessiter l'intégration par substitution 换元积分 (développé en Mathématiques Pures 3). Pour une fonction linéaire à l'intérieur $(ax + b)$ :
$$\int e^{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax+b} + C, \qquad \int \frac{1}{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}\ln|ax + b| + C,$$
$$\int \sin(ax+b)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax+b) + C, \qquad \int \cos(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax+b) + C, \qquad \int \sec^2(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\tan(ax+b) + C.$$
Pour intégrer une puissance de $\sin$ ou $\cos$, utilisez d'abord une identité pour retirer la puissance. Quand vous ne pouvez pas intégrer exactement, la règle du trapèze 梯形法则 estime une intégrale définie :
$$\int_a^b y\,dx \approx \tfrac{h}{2}\big[y_0 + y_n + 2(y_1 + y_2 + \cdots + y_{n-1})\big].$$
Exemple résolu. Trouver $\displaystyle\int 6\sin^2 x\,dx$.
Utilisez $\sin^2 x = \tfrac12(1 - \cos 2x)$ :
$$\int 6\sin^2 x\,dx = \int (3 - 3\cos 2x)\,dx = 3x - \tfrac32\sin 2x + C.$$
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L'aire sous la courbe
aire = ∫ f(x) dx
L'intégrale mesure toujours l'aire — faites glisser a et b pour additionner les bandes sous la courbe.
Vocabulaire
Entrainer
| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| trapezium rule/trəˈpiːzɪəm ruːl/ | 梯形法则 | tī xíng fǎ zé |
| root/ruːt/ | 根 | gēn |
2.6
Résolution numérique d'équations
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| • localiser approximativement une racine d'une équation, par des considérations graphiques et/ou la recherche d'un changement de signe | ex. : trouver une paire d'entiers consécutifs entre lesquels se trouve une racine. |
| • comprendre l'idée et utiliser la notation d'une suite d'approximations convergeant vers une racine d'une équation | |
| • comprendre comment une formule itérative simple donnée de la forme $x_{n + 1} = \text{F}(x_n)$ se rapporte à l'équation résolue, et utiliser une itération donnée, ou une itération basée sur une réarrangement donné d'une équation, pour déterminer une racine à un degré de précision prescrit. | La connaissance de la condition de convergence n'est pas comprise, mais on s'attend à ce que l'élève comprenne qu'une itération peut échouer à converger. |
Source : Programme Cambridge International
De nombreuses équations ne peuvent pas être résolues exactement. Deux idées vous aident à trouver une racine 根 (une solution).
- Changement de signe 变号 : si $f(a)$ et $f(b)$ ont des signes opposés (et que le graphique n'a pas de discontinuité entre eux), une racine se trouve entre $a$ et $b$.
- Itération 迭代 : réarrangez l'équation sous la forme $x = F(x)$, puis utilisez la formule itérative 迭代公式 $x_{n+1} = F(x_n)$. Commencez par une première approximation $x_0$ et répétez. Si les valeurs sont convergentes, elles se stabilisent et convergent 收敛 vers une racine. Continuez jusqu'à ce que la réponse soit stable à la précision demandée.
Exemple résolu. Une racine $\beta$ d'une équation satisfait $x = \sqrt[3]{-2x - 4.5}$, et $-1.4 < \beta < -1.0$. Utilisez l'itération $x_{n+1} = \sqrt[3]{-2x_n - 4.5}$ avec $x_0 = -1.2$.
$$x_1 = \sqrt[3]{-2(-1.2) - 4.5} = \sqrt[3]{-2.1} = -1.281, \qquad x_2 = \sqrt[3]{-2(-1.281) - 4.5} = -1.247, \quad \ldots$$
Les valeurs se stabilisent près de $-1.26$, donc $\beta = -1.26$ (3 chiffres significatifs).
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Où se trouve la racine ?
y = ax³ + bx² + cx + d
Une racine est là où la courbe traverse zéro. Un changement de signe de f(x) encadre une racine entre deux valeurs de x.
Vocabulaire
Entrainer
| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| sign change/saɪn tʃeɪndʒ/ | 变号 | biàn hào |
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | 迭代 | dié dài |
| iterative formula/ˈɪtərətɪv ˈfɔːmjʊlə/ | 迭代公式 | dié dài gōng shì |
| converge/kənˈvɜːdʒ/ | 收敛 | shōu liǎn |
| integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | 换元积分 | huàn yuán jī fēn |
2.6
Conseils d'examen
- Utilisez les lois des logarithmes pour résoudre des équations ; rappelez-vous que $\ln$ et $e^x$ sont des réciproques.
- Pour les méthodes numériques, montrez un changement de signe pour localiser une racine, présentez clairement l'itération, et donnez la réponse à la précision indiquée.
- Apprenez les règles de la chaîne, du produit et du quotient et identifiez laquelle la fonction nécessite.
- Résoudre les équations de module $|f(x)| = g(x)$ en considérant les cas positifs et négatifs, et tracer pour vérifier.
Leçons interactives sur ce sujet
Traversez-le étape par étape, avec des exercices à vérification instantanée.