Mathématiques A-Level

Un quadratique 二次式 est une expression de la forme $ax^2 + bx + c$, où $a \neq 0$. Les lettres $a$, $b$, $c$ sont les coefficients 系数 (les nombres fixes). Une grande partie de cette section porte sur la résolution de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$.

Mise sous forme carrée

Mettre sous forme carrée 配方 signifie écrire le quadratique sous la forme

Cette forme est utile : elle montre le sommet 顶点 (point de retournement) de la courbe en $(-p,\ q)$, et fournit un moyen rapide de résoudre l'équation.

Exemple résolu. Écrire $9x^2 - 36x + 8$ sous la forme $p(x + q)^2 + r$.

Sortir le facteur $9$ des deux premiers termes, puis mettre le carré à l'intérieur :

Donc $p = 9$, $q = -2$, $r = -28$.

Le discriminant

Le discriminant 判别式 de $ax^2 + bx + c$ est

Il vous dit combien de racines réelles 实根 (solutions réelles) l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ possède :

Discriminant	Racines
$b^2 - 4ac > 0$	deux racines réelles distinctes 相异
$b^2 - 4ac = 0$	une racine réelle double
$b^2 - 4ac < 0$	pas de racines réelles

Exemple résolu. Trouver les valeurs de la constante $k$ pour lesquelles $3kx^2 + (k + 8)x + 3 = 0$ a deux racines réelles distinctes.

Ici $a = 3k$, $b = k + 8$, $c = 3$. Pour deux racines réelles distinctes, il faut $b^2 - 4ac > 0$ :

Factoriser : $(k - 4)(k - 16) > 0$, donc $k < 4$ ou $k > 16$. Il faut aussi $a \neq 0$, donc $k \neq 0$.

Équations et inégalités quadratiques

Pour résoudre une équation du second degré 二次方程, factoriser, mettre sous forme de carré parfait, ou utiliser la formule

Pour résoudre une inéquation du second degré 二次不等式 telle que $(k - 4)(k - 16) > 0$, trouver les deux racines, puis déterminer quel côté de chaque racine rend l'inégalité vraie. Un croquis de la parabole 抛物line aide : la courbe est au-dessus de l'axe $x$ (positif) à l'extérieur des racines et en dessous (négatif) entre elles.

Systèmes d'équations simultanées

Pour résoudre un système de deux équations simultanées 联立方程 où l'une est linéaire et l'autre quadratique, utiliser la substitution 代入 : réarranger l'équation linéaire pour exprimer une variable, puis substituer cette expression dans l'équation quadratique. Cela donne une seule équation du second degré à résoudre.

Équations qui sont du second degré par substitution

Certaines équations sont du second degré par rapport à une fonction de $x$. Par exemple $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ est du second degré par rapport à $x^2$ : posons $u = x^2$, résolvons $u^2 - 5u + 4 = 0$, puis revenons à $x$. Vous utiliserez cette idée à nouveau en trigonométrie.

Une fonction 函数 est une règle qui associe à chaque entrée exactement une sortie. On l'écrit sous la forme $f(x)$. La composition de fonctions 复合函数 $fg(x)$ signifie appliquer $g$ en premier, puis appliquer $f$ au résultat.

• Le domaine 定义域 est l'ensemble des entrées autorisées $x$.
• L'image 值域 est l'ensemble des sorties que la produit réellement la fonction.

Une fonction est bijective (ou un-à-un) 一一对应 si différentes entrées donnent toujours des sorties différentes. (Aucune sortie n'est répétée.) Seule une fonction bijective admet une fonction réciproque 反函数 $f^{-1}$, qui inverse la règle.

La composition 复合 de deux fonctions consiste à en effectuer une après l'autre. $fg(x)$ signifie "faire $g$ en premier, puis $f$" : $fg(x) = f(g(x))$. La fonction composée $fg$ n'existe que si l'image de $g$ est incluse dans le domaine de $f$.

Trouver une réciproque

Pour trouver $f^{-1}$ : écrire $y = f(x)$, isoler $x$ comme sujet, puis échanger les lettres.

Exemple commenté. La fonction $f(x) = (x + 3)^2 - 12$ est définie pour $x \geqslant 0$. Trouver $f^{-1}(x)$.

Écrire $y = (x + 3)^2 - 12$ et résoudre pour $x$ :

On prend la racine positif car $x \geqslant 0$ signifie $x + 3 \geqslant 3 > 0$. Donc

Graphes des réciproques et transformations

Le graphe de $y = f^{-1}(x)$ est la réflexion 反射 de $y = f(x)$ par rapport à la droite $y = x$.

Vous devez connaître ces transformations 变换 de $y = f(x)$ :

Nouvelle équation	Effet sur le graphe
$y = f(x) + a$	translation 平移 vers le haut de $a$
$y = f(x + a)$	translation vers la gauche de $a$
$y = a\,f(x)$	étirement 伸缩 dans la direction $y$, facteur d'échelle $a$
$y = f(ax)$	étirement dans la direction $x$, facteur d'échelle $\tfrac{1}{a}$

Lorsque deux transformations sont combinées, l'ordre peut compter. Indiquez chacune complètement (type, direction et quantité).

Géométrie analytique 坐标几何 étudie les droites et les cercles via leurs équations.

Droites

Le coefficient directeur (pente) 斜率 de la droite reliant $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ est

On peut écrire l'équation d'une droite 直线方程 de plusieurs manières : Deux droites sont parallèles 平行 quand leurs coefficients directeurs sont égaux, et perpendiculaires 垂直 (à angle droit) quand le produit de leurs coefficients directeurs est $-1$.

Cercles

Le cercle 圆 de centre 圆心 $(a, b)$ et de rayon 半径 $r$ a pour équation

Une forme développée comme $x^2 + y^2 - 6x + 10y - 27 = 0$ représente le même cercle : mettre sous forme de carré complet en $x$ et en $y$ pour trouver le centre et le rayon.

Une tangente 切线 à un cercle le touche en un seul point et est perpendiculaire au rayon en ce point. Cette propriété d'angle droit résout la plupart des problèmes de géométrie circulaire.

Exemple commenté. Les points $P(1, 1)$ et $Q(7, 11)$ sont les extrémités d'un diamètre 直径 d'un cercle. Trouver l'équation du cercle.

Le centre est le milieu de $PQ$ :

Le rayon est la moitié de la longueur de $PQ$ : Donc le cercle est $(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 34$.

Radians

Un radian 弧度 est une autre manière de mesurer les angles. Un radian est l'angle au centre d'un cercle qui intercepte un arc 弧 dont la longueur est égale au rayon. Le lien entre radians et degrés 度 est

Donc pour convertir des degrés en radians, multiplier par $\dfrac{\pi}{180}$ ; pour convertir des radians en degrés, multiplier par $\dfrac{180}{\pi}$.

Longueur d'arc et aire de secteur

Pour un secteur 扇形 de rayon $r$ et d'angle $\theta$ en radians :

Une corde 弦 divise le secteur en un triangle et un segment 弓形. L'aire du segment est celle du secteur moins celle du triangle :

Exemple commenté. Un secteur a pour centre $O$ et l'angle en $O$ mesure $\tfrac{2}{3}\pi$ radians. Montrer que le segment coupé par la corde a une aire d'environ $0.614 r^2$.

Graphes et valeurs exactes

Vous devez connaître la forme des graphes des fonctions sinus 正弦, cosinus 余弦 et tangente 正tan (notées $\sin$, $\cos$, $\tan$). Les graphes du sinus et du cosinus oscillent entre $-1$ et $1$ et se répètent tous les $360^\circ$ ($2\pi$). Apprenez ces valeurs exactes :

$\theta$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
$\sin\theta$	$\tfrac12$	$\tfrac{1}{\sqrt2}$	$\tfrac{\sqrt3}{2}$
$\cos\theta$	$\tfrac{\sqrt3}{2}$	$\tfrac{1}{\sqrt2}$	$\tfrac12$
$\tan\theta$	$\tfrac{1}{\sqrt3}$	$1$	$\sqrt3$

Les notations $\sin^{-1}x$, $\cos^{-1}x$, $\tan^{-1}x$ désignent l'angle inverse (la valeur principale 主值).

Identités

Une identité 恒等式 est vraie pour toute valeur de l'angle. Les deux que vous devez connaître sont

Utilisez-les pour réécrire une équation afin qu'elle ne contienne qu'une seule fonction trigonométrique.

Résolution d'équations trigonométriques

Pour résoudre une équation trigonométrique 三角方程, réduisez-la d'abord à une seule fonction, puis trouvez toutes les solutions dans l'intervalle donné.

Exemple résolu. Résolvez $6\sin\theta = 1 + \dfrac{2}{\sin\theta}$ pour $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.

Multiplier par $\sin\theta$ pour supprimer la fraction. Cela donne une équation du second degré en $\sin\theta$ :

Donc $\sin\theta = \tfrac23$ ou $\sin\theta = -\tfrac12$.

• $\sin\theta = \tfrac23$ : $\theta = 41.8^\circ$ ou $\theta = 180^\circ - 41.8^\circ = 138.2^\circ$.
• $\sin\theta = -\tfrac12$ : $\theta = -30^\circ$ ou $\theta = -150^\circ$.

Les quatre solutions sont $\theta = -150^\circ,\ -30^\circ,\ 41.8^\circ,\ 138.2^\circ$.

Développement binomial

Pour un entier positif $n$, le développement binomial 二项展开式 est

où $\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n - r)!}$ est un coefficient binomial 二项式系数.

Exemple commenté. Trouver les trois premiers termes, en puissances croissantes de $x$, de $(2 - px)^5$.

Suites arithmétiques et géométriques

Une suite 数列 est une liste de termes suivant une règle.

• Une progression arithmétique 等差数列 (PA) ajoute une différence commune 公差 fixe $d$ à chaque étape. Le $n$ème terme 项 est $u_n = a + (n - 1)d$, et la somme des $n$ premiers termes est $S_n = \tfrac{n}{2}\big(2a + (n - 1)d\big)$.
• Une progression géométrique 等比数列 (PG) multiplie par un rapport commun 公比 fixe $r$ à chaque étape. Le $n$ème terme est $u_n = ar^{\,n-1}$, et $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$.

Une SG est convergente — elle converge 收敛 (se stabilise vers une limite) — lorsque $|r| < 1$. Elle possède alors une somme à l'infini 无穷和

Exemple commenté. Le troisième terme d'une SG est $18$ et la somme des trois premiers termes est $26$. Le rapport est négatif. Trouver la somme à l'infini.

De $ar^2 = 18$ on tire $a = \dfrac{18}{r^2}$. Insérer cela dans $a(1 + r + r^2) = 26$ :

Le rapport est négatif, donc $r = -\tfrac34$ et $a = \dfrac{18}{(3/4)^2} = 32$. Ensuite

La différentiation 微分 trouve le coefficient directeur d'une courbe 曲线斜率 à chaque point. Ce coefficient est la limite 极限 des pentes de cordes de plus en plus courtes, appelée dérivée 导数.

Les règles

Écrivez la dérivée comme $f'(x)$ ou $\dfrac{dy}{dx}$. La règle de base est

Différenciez les sommes terme par terme, et utilisez la règle de la chaîne 链式法则 pour une fonction à l'intérieur d'une autre: Différencier à nouveau donne la dérivée seconde 二阶导数 $f''(x)$ ou $\dfrac{d^2y}{dx^2}$.

Utilisation de la dérivée

• Tangente et normale. Le coefficient directeur de la courbe en un point est le coefficient directeur de la tangente à ce point. La normale 法线 est perpendiculaire à la tangente, donc son coefficient directeur est $-\dfrac{1}{\text{(tangent gradient)}}$.
• Croissante ou décroissante. La fonction est une fonction croissante 增函数 où $\dfrac{dy}{dx} > 0$, et une fonction décroissante 减函数 où $\dfrac{dy}{dx} < 0$.
• Taux de variation. Une dérivée est un taux de variation 变化率. Les taux liés utilisent la règle de la chaîne, par ex. $\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}$.

Points stationnaires

Un point stationnaire 驻点 est là où $\dfrac{dy}{dx} = 0$. Testez sa nature avec la dérivée seconde : $f''(x) > 0$ donne un point minimum 极小值点, et $f''(x) < 0$ donne un point maximum 极大值点. Quand $f''(x) = 0$, le test est sans conclusion : le point peut être un point d'inflexion 拐点, où la courbe change de concavité (la façon dont elle se courbe) – vérifiez le signe de $\dfrac{dy}{dx}$ juste avant et après pour décider.

Exemple résolu. La courbe $y = 4x^{1/2} - x$ a un point maximum en $x = a$. Trouvez $a$.

Donc $a = 4$.

L'intégration 积分 est l'opposé de la dérivation. En inversant la règle de puissance, on obtient

La $+\,C$ est la constante d'intégration 积分常数. Si vous connaissez un point sur la courbe, substituez-le pour trouver $C$.

Intégrales définies et aire

Une intégrale définie 定积分 a des bornes et donne un nombre :

L'aire de la zone 区域 entre une courbe et l'axe des $x$, de $x = p$ à $x = q$, est $\displaystyle\int_p^q y \, dx$. Pour l'aire entre deux courbes, intégrez (courbe du haut $-$ courbe du bas).

Exemple résolu. La courbe $y = 4x^{1/2} - x$ recoupe l'axe des $x$ en $x = 16$. Trouvez l'aire entre la courbe et l'axe des $x$ de $x = 0$ à $x = 4$.

Une intégrale impropre 广义积分 a une borne infinie ou une extrémité où l'intégrande n'est pas défini ; évaluez-la comme une limite. Par exemple,

et $\displaystyle\int_0^{1}x^{-1/2}\, dx=\left[2x^{1/2}\right]_0^{1}=2$, qui est fini bien que l'intégrande explose en $x=0$.

Volume de révolution

Quand une zone est tournée tout autour d'un axe, elle balaye un solide. Le volume de révolution 旋转体体积 autour de l'axe des $x$ est

et autour de l'axe des $y$ c'est $V = \pi \displaystyle\int x^2 \, dy$. Par exemple, la zone sous $y = \sqrt{x}$ de $x = 0$ à $x = 4$, tournée autour de l'axe des $x$, a un volume de $\pi\displaystyle\int_0^4 x\, dx = \pi\big[\tfrac{x^2}{2}\big]_0^4 = 8\pi$.

• Montrez chaque ligne d'algèbre — les points de méthode sont perdus en sautant des étapes ; utilisez le discriminant $b^2 - 4ac$ pour déterminer le nombre de racines réelles.
• Travaillez en radians pour la mesure circulaire (arc $= r\theta$, aire de secteur $= \frac{1}{2}r^2\theta$) et pour le calcul des fonctions trigonométriques.
• Pour la dérivation, posez $\frac{dy}{dx} = 0$ pour les points stationnaires et utilisez la dérivée seconde pour les classifier.
• Pour l'intégration, ajoutez $+ c$ à une intégrale indéfinie et utilisez des bornes pour l'aire ; une aire sous l'axe donne une intégrale négative.

La valeur absolue

La valeur absolue 绝对值 $|x|$ est la taille d'un nombre avec son signe retiré, donc $|x| \geqslant 0$ toujours. Le graphique de $y = |ax + b|$ a une forme en "V" qui rebondit sur l'axe des $x$. Deux règles utiles pour résoudre des équations et inéquations sont

Exemple résolu. Résoudre $|3x + 8| < 9$.

Utiliser la deuxième règle avec l'inégalité écrite comme $-9 < 3x + 8 < 9$ :

Division polynomiale et théorèmes du facteur et du reste

Un polynôme 多项式 est une somme de puissances de $x$, tel que $2x^4 + 3x^2 - 5$. Son degré 次数 est la plus haute puissance. Quand vous divisez un polynôme par un autre, vous obtenez un quotient 商 et un reste 余数.

• Théorème du reste 余数定理 : le reste lorsque $p(x)$ est divisé par $(x - a)$ est $p(a)$.
• Théorème du facteur 因式定理 : $(x - a)$ est un facteur de $p(x)$ exactement quand $p(a) = 0$.

Exemple résolu. Le polynôme $p(x) = 2x^4 + kx^3 + kx^2 + 17x + 18$ a pour facteur $(x + 2)$. Trouvez $k$.

Par le théorème du facteur $p(-2) = 0$ :

Un logarithme répond à la question « quelle puissance ? ». Si $a^x = y$ alors $x = \log_a y$. Les logarithmes et les indices 指数 (puissances) sont des idées inverses. Les lois des logarithmes 对数定律 sont

La fonction exponentielle $e^x$ et le logarithme naturel 自然对数 $\ln x$ sont des fonctions réciproques, donc $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln x} = x$. Quand l'inconnu est dans la puissance, prenez les logarithmes des deux côtés.

Exemple résolu. Résoudre $4^x < 0.05$.

Forme linéaire 线性形式 : une relation comme $y = Ax^n$ devient une droite si vous prenez les logarithmes : $\ln y = \ln A + n\ln x$. Tracer $\ln y$ contre $\ln x$ donne une droite avec un coefficient directeur de $n$ et une ordonnée à l'origine de $\ln A$, donc vous pouvez trouver les constantes inconnues.

Il y a trois autres fonctions, chacune étant le reciprocal d'une que vous connaissez : la sécante 正割 $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, la cosécante 余割 $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$, et la cotangente 余切 $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}$.

Vous devez connaître ces identités trigonométriques 三角恒等式 et choisir la bonne pour chaque problème :

Vous utilisez aussi les formules d'angle composé 复合角 pour $\sin(A \pm B)$, $\cos(A \pm B)$, $\tan(A \pm B)$, les formules d'angle double 二倍角 et la formule R 辅助角公式 $a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)$, où $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ et $\tan\alpha = \dfrac{b}{a}$.

Exemple résolu. Résolvez $2\tan^2\theta + 3\sec\theta = 18$ pour $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.

Remplacez $\tan^2\theta$ par $\sec^2\theta - 1$ pour obtenir une seule fonction :

Donc $\sec\theta = \tfrac52$ ou $\sec\theta = -4$, donnant $\cos\theta = \tfrac25$ ou $\cos\theta = -\tfrac14$. Les solutions sont $\theta = \pm 66.4^\circ$ et $\theta = \pm 104.5^\circ$.

Apprenez ces dérivées standards :

Pour un produit ou un quotient de deux fonctions, utilisez :

• la règle du produit 乘积法则 : $(uv)' = u'v + uv'$;
• la règle du quotient 商法则 : $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.

Quand une courbe est donnée par des équations paramétriques 参数方程 $x = x(t)$, $y = y(t)$, le coefficient directeur est $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$. Quand $y$ est défini implicitement 隐式 (pas mis en évidence), différenciez chaque terme par rapport à $x$, en utilisant la règle de la chaîne sur les termes $y$, puis résolvez pour $\dfrac{dy}{dx}$.

Exemple résolu. Étant donné $y = 6x\cos(x^2 + 1)$, trouvez $\dfrac{dy}{dx}$.

Utilisez la règle du produit avec $u = 6x$ et $v = \cos(x^2 + 1)$ (et la règle de la chaîne pour $v$) :

L'intégration est une dérivation inverse — inversez chaque nouvelle dérivée ; les intégrales plus difficiles peuvent nécessiter l'intégration par substitution 换元积分 (développé en Mathématiques Pures 3). Pour une fonction linéaire à l'intérieur $(ax + b)$ :

Pour intégrer une puissance de $\sin$ ou $\cos$, utilisez d'abord une identité pour retirer la puissance. Quand vous ne pouvez pas intégrer exactement, la règle du trapèze 梯形法则 estime une intégrale définie :

Exemple résolu. Trouver $\displaystyle\int 6\sin^2 x\,dx$.

Utilisez $\sin^2 x = \tfrac12(1 - \cos 2x)$ :

De nombreuses équations ne peuvent pas être résolues exactement. Deux idées vous aident à trouver une racine 根 (une solution).

• Changement de signe 变号 : si $f(a)$ et $f(b)$ ont des signes opposés (et que le graphique n'a pas de discontinuité entre eux), une racine se trouve entre $a$ et $b$.
• Itération 迭代 : réarrangez l'équation sous la forme $x = F(x)$, puis utilisez la formule itérative 迭代公式 $x_{n+1} = F(x_n)$. Commencez par une première approximation $x_0$ et répétez. Si les valeurs sont convergentes, elles se stabilisent et convergent 收敛 vers une racine. Continuez jusqu'à ce que la réponse soit stable à la précision demandée.

Exemple résolu. Une racine $\beta$ d'une équation satisfait $x = \sqrt[3]{-2x - 4.5}$, et $-1.4 < \beta < -1.0$. Utilisez l'itération $x_{n+1} = \sqrt[3]{-2x_n - 4.5}$ avec $x_0 = -1.2$.

Les valeurs se stabilisent près de $-1.26$, donc $\beta = -1.26$ (3 chiffres significatifs).

• Utilisez les lois des logarithmes pour résoudre des équations ; rappelez-vous que $\ln$ et $e^x$ sont des réciproques.
• Pour les méthodes numériques, montrez un changement de signe pour localiser une racine, présentez clairement l'itération, et donnez la réponse à la précision indiquée.
• Apprenez les règles de la chaîne, du produit et du quotient et identifiez laquelle la fonction nécessite.
• Résoudre les équations de module $|f(x)| = g(x)$ en considérant les cas positifs et négatifs, et tracer pour vérifier.

Deux nouveaux outils s'ajoutent à l'algèbre de Pure 2.

Fractions partielles

Une fraction unique avec un dénominateur factorisable peut être décomposée en une somme de fractions plus simples. On appelle cela l'écriture en fractions partielles 部分分式, et cela rend une fonction rationnelle 有理函数 (une fraction de polynômes) facile à intégrer ou à développer. Associer la forme au dénominateur :

Vérifier d'abord que le numérateur est de degré inférieur à celui du dénominateur. Si ce n'est pas le cas (« trop haut »), diviser le polynôme d'abord : la division donne un quotient 商 plus un reste 余数 sur le dénominateur initial, et on ne décompose que cette fraction propre restante.

Une fraction avec un dénominateur factorisable se décompose en une somme de fractions plus simples.

Exemple résolu. Exprimer $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)}$ en fractions partielles.

Écrire $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x-2}$, donc $x + 4 = A(x-2) + B(x+1)$. Poser $x = 2$ : $6 = 3B$, donc $B = 2$. Poser $x = -1$ : $3 = -3A$, donc $A = -1$. D'où

Développement binomial pour un exposant rationnel

Le développement binomial 二项展开式 fonctionne aussi lorsque l'exposant est une fraction ou négatif, à condition que $|x| < 1$ :

Par exemple $(1 + x)^{1/2} = 1 + \tfrac12 x - \tfrac18 x^2 + \cdots$ pour $|x| < 1$.

Les sous-thèmes 3.2, 3.3 et 3.6 sont les mêmes compétences rencontrées en Pure 2 : les lois des logarithmes avec $e^x$ et $\ln x$ ; les identités $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ et $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$, les formules d'angle double et composé, et la forme $R$ de $a\sin\theta + b\cos\theta$ ; et la résolution numérique d'une équation par un changement de signe 变号 et une formule itérative 迭代公式 $x_{n+1} = F(x_n)$. Les utiliser exactement comme auparavant.

Les trois nouvelles fonctions trigonométriques sont les inversees 倒数 des connues : la sécante 正割 $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, la cosécante 余割 $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$, et la tangente cotangente 余切 $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$. (Astuce mnémotechnique : associer la troisième lettre — sec va avec cosinus.) Les deux identités pythagoriciennes ci-dessus proviennent directement de la division de $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ par $\cos^2\theta$ ou $\sin^2\theta$. Pour une méthode numérique, une itération $x_{n+1}=F(x_n)$ converge 收敛 vers la racine lorsque les valeurs successives se rapprochent.

Les méthodes sont celles de Pure 2 (règle du produit, du quotient et de la chaîne, courbes paramétriques et implicites). Une dérivée est ajoutée — l'arctangente 反正切 :

Exemple résolu. Dériver $y = \tan^{-1}(3x)$.

Utiliser la règle de la chaîne avec le résultat ci-dessus : $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 + (3x)^2} \times 3 = \dfrac{3}{1 + 9x^2}.$

Pure 3 ajoute plusieurs méthodes puissantes.

• Une nouvelle intégrale standard : $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$.
• Fractions partielles : décomposer une fonction rationnelle, puis intégrer chaque terme comme un logarithme.
• Le motif $\dfrac{k\,f'(x)}{f(x)}$ : cela s'intègre en $k\ln|f(x)| + C$. Par exemple $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + C$.
• Intégration par parties 分部积分, utilisée pour un produit : $\displaystyle\int u\,\frac{dv}{dx}\,dx = uv - \int v\,\frac{du}{dx}\,dx$.
• Intégration par substitution 换元积分 : un changement de variable donné transforme une intégrale difficile en une intégrale facile.

Exemple résolu. Trouver $\displaystyle\int x\cos x\,dx$.

Utiliser l'intégration par parties avec $u = x$ et $\dfrac{dv}{dx} = \cos x$, donc $\dfrac{du}{dx} = 1$ et $v = \sin x$ :

Un vecteur 向量 a à la fois une grandeur et une direction. L'écrire sous forme de colonne, ou comme $x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$, ou comme $\overrightarrow{AB}$.

• La norme 模长 (longueur) de $\mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ est $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
• Un vecteur unitaire 单位向量 a une norme $1$ ; diviser un vecteur par sa norme permet d'en obtenir un.
• Un vecteur position 位置向量 indique l'emplacement d'un point par rapport à l'origine ; un vecteur déplacement 位移向量 $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ va d'un point à un autre. Multiplier par un scalaire 标量 (un nombre simple) étire un vecteur.

Droites et produit scalaire

Une droite passant par le point $\mathbf{a}$ dans la direction $\mathbf{b}$ a pour équation vectorielle $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$. Deux droites peuvent être parallèles 平行, se coupent 相交 en un point, ou être gauches 异面直线 (non parallèles et jamais sécantes).

Le produit scalaire 数量积 de $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$ est

où $\theta$ est l'angle entre eux. Donc $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ signifie que les vecteurs sont perpendiculaires.

Exemple résolu. Trouver l'angle entre $\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ et $\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}$.

Donc $\cos\theta = \dfrac{8}{3\times 3} = \dfrac{8}{9}$, donnant $\theta = 27.3^\circ$.

Une équation différentielle 微分方程 relie une quantité à sa vitesse de variation. Pour résoudre une équation du premier ordre dont les variables sont séparables 可分离变量, placer tous les termes $y$ d'un côté et tous les termes $x$ de l'autre, puis intégrer les deux côtés. Cela donne la solution générale 通解, qui contient une constante. Une condition initiale 初始条件 (une valeur connue) fixe la constante et donne la solution particulière 特解.

Exemple résolu. Résoudre $\dfrac{dy}{dx} = xy$, sachant que $y = 1$ lorsque $x = 0$.

Séparer les variables et intégrer :

En utilisant $y = 1$ à $x = 0$, on obtient $A = 1$, donc $y = e^{x^2/2}$.

Un nombre complexe 复数 a la forme $z = x + iy$, où $i^2 = -1$. Ici $x$ est la partie réelle 实部 et $y$ est la partie imaginaire 虚部. Cette $x + iy$ est la forme cartésienne 直角坐标形式. Deux nombres complexes sont égaux uniquement si leurs parties réelles correspondent et leurs parties imaginaires correspondent.

• Le conjugué 共轭 de $z = x + iy$ est $z^* = x - iy$. Pour un polynôme à coefficients réels, toute racine non réelle apparaît par paires conjuguées.
• Le module 模 est $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ (sa distance à l'origine) et l'argument 辐角 est l'angle que fait le point, mesuré à partir de l'axe réel positif.
• Vous pouvez tracer $z$ comme un point sur un diagramme d'Argand 阿干图 (le plan complexe).
• La forme polaire 极坐标形式 est $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$, où $r = |z|$ et $\theta$ est l'argument. Multiplier multiplie les modules et additionne les arguments.
• Les lieux géométriques 轨迹 satisfaisant une condition sur $z$ sont tracés sur le diagramme d'Argand — par exemple $|z - a| = r$ est un cercle, $|z - a| = |z - b|$ une médiatrice, et $\arg(z - a) = \theta$ une demi-droite. Les racines carrées d'un nombre complexe proviennent de la résolution de $w^2 = z$.

Pour diviser, multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Exemple résolu. Écrire $\dfrac{3 + i}{1 - i}$ sous la forme $x + iy$.

Une équation ou inégalité en $z$ décrit un lieu géométrique 轨迹 (un chemin ou une région) sur le diagramme d'Argand. Par exemple $|z - a| = r$ est un cercle de rayon $r$ centré en $a$.

• Décomposer une fonction rationnelle en fractions partielles avant d'intégrer ou de développer.
• Choisir la bonne technique d'intégration (substitution, par parties ou fractions partielles) selon la forme de l'intégrande.
• Utiliser le produit scalaire (point) pour l'angle entre vecteurs et tester la perpendicularité ; écrire une droite comme $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$.
• Donner les nombres complexes sous la forme demandée (cartésienne ou module-argument) et les représenter sur un diagramme d'Argand.

Une travail 力 est une poussée ou une traction. C'est un vecteur, donc elle a une grandeur et une direction. En tant que vecteur, on peut décomposer une force en composantes 分量 (généralement horizontales et verticales), et on peut additionner plusieurs forces en une seule résultante 合力.

Une particule est en équilibre 平衡 lorsque les forces sont compensées : la somme vectorielle des forces est nulle. En pratique, cela signifie que les composantes dans n'importe quelle direction s'additionnent à zéro.

Frottement

Lorsque deux surfaces se touchent, la force de contact 接触力 entre elles a deux parties : la réaction normale 法向反作用力 $R$, perpendiculaire à la surface, et la frottement 摩擦力 $F$, le long de la surface, qui s'oppose au glissement. Une surface « lisse » est un modèle sans frottement.

La friction ne peut croître jusqu'à un maximum. À ce maximum, le corps est en équilibre limite 极限平衡, sur le point de glisser, et la friction est une friction limite 最大静摩擦力. Le maximum est déterminé par le coefficient de frottement 摩擦系数 $\mu$ :

Selon la troisième loi de Newton 牛顿第三定律, les deux surfaces s'exercent mutuellement des forces égales et opposées.

Exemple résolu. Un bloc de poids $20\text{ N}$ repose sur une table horizontale rugueuse de coefficient de frottement $\mu = 0.4$. Trouver la plus grande force horizontale pouvant être appliquée avant que le bloc ne glisse.

La réaction normale de la table équilibre le poids, donc $R = 20\text{ N}$. Le bloc est au point de glisser lorsque la friction atteint son maximum $F = \mu R = 0.4 \times 20 = 8\text{ N}$. En équilibre, la force appliquée est égale à la friction, donc la plus grande force qu'il peut résister est $8\text{ N}$.

Distance 距离 et vitesse 速率 sont des scalaires (grandeur seule). Déplacement 位移, vitesse vectorielle 速度 et accélération 加速度 sont des vecteurs (grandeur et direction).

Sur un graphique vitesse-temps 速度时间图, l'aire sous la courbe représente le déplacement et la pente représente l'accélération (une accélération négative est une décelération 减速度). Sur un graphique déplacement-temps, la pente représente la vitesse. Plus généralement, dériver par rapport au temps permet de passer du déplacement à la vitesse puis à l'accélération, et intégrer pour revenir en arrière.

Pour un mouvement à accélération constante 匀加速, utiliser ces formules (les équations "suvat") :

Exemple résolu. Une voiture part du repos et accélère à $2.5\ \text{m s}^{-2}$ pendant $4\ \text{s}$. Trouver sa vitesse finale et la distance parcourue.

La quantité de mouvement linéaire 动量 d'un corps est $\text{mass} \times \text{velocity}$. C'est un vecteur. Lors d'une collision directe entre deux corps, la quantité de mouvement totale reste inchangée. C'est la conservation de la quantité de mouvement linéaire 动量守恒 :

Exemple résolu. Un corps de masse $2\ \text{kg}$ se déplaçant à $3\ \text{m s}^{-1}$ heurte un corps stationnaire de masse $1\ \text{kg}$, et ils restent attachés. Trouver leur vitesse commune ensuite.

Les lois de Newton du mouvement 牛顿运动定律 relient la force et l'accélération. La loi principale est : force résultante $=$ masse 质量 $\times$ accélération,

Le poids 重力 d'un corps est la force de gravité exercée sur lui : $W = mg$. Les forces dans un problème peuvent inclure le poids, le frottement, la tension 张力 dans une corde, la poussée 推力 (push) dans une tige, et la résistance de l'air 空气阻力.

Pour un mouvement sur un plan incliné 斜面, décomposer chaque force en une composante parallèle à la pente et une composante perpendiculaire, puis appliquer $F = ma$ le long de la pente. Pour des particules liées 连接质点 (reliées par une corde), appliquer $F = ma$ à chaque corps ou à tout le système.

Exemple résolu. Un bloc de masse $12\ \text{kg}$ est tiré vers le haut d'un plan rugueux par une corde parallèle à la pente. Le plan est incliné à $20^\circ$ par rapport à l'horizontale, le coefficient de frottement est $0.4$, et l'accélération est $2\ \text{m s}^{-2}$. Trouver la tension dans la corde.

La réaction normale est $R = mg\cos 20^\circ = 120\cos 20^\circ = 112.8\ \text{N}$, donc la friction est $F = \mu R = 0.4 \times 112.8 = 45.1\ \text{N}$. Le long de la pente, $T - mg\sin 20^\circ - F = ma$ :

Le travail effectué 功 par une force constante est le produit scalaire de la force et du déplacement — la force multipliée par la distance parcourue dans la direction de la force : $W = Fd\cos\theta$, où $\theta$ est l'angle entre la force et le mouvement. Le travail est mesuré en joules (J).

L'énergie existe sous des formes calculables :

• Énergie cinétique 动能 (énergie de mouvement) : $\text{KE} = \tfrac12 mv^2$.
• Énergie potentielle gravitationnelle 重力势能 (énergie de hauteur) : $\text{PE} = mgh$.

Le travail des forces extérieures est égal à la variation de l'énergie totale. Lorsqu'aucun frottement n'agit, l'énergie totale reste constante — la conservation de l'énergie 能量守恒.

Puissance 功率 est le taux de réalisation du travail. Pour une force tirant dans la direction du mouvement, $P = Fv$ (puissance $=$ travail $\times$ vitesse). La puissance est mesurée en watts (W).

Exemple résolu. Un moteur de voiture fonctionne à $12\ \text{kW}$ tandis que la voiture se déplace à $20\ \text{m s}^{-1}$ sur une route plane. Trouver la force motrice.

• Tracer un diagramme de forces clair et le résoudre en composantes perpendiculaires ; pour l'équilibre, chaque direction somme à zéro.
• Utiliser SUVAT uniquement pour une accélération constante et garder une direction positive cohérente.
• Appliquer $F = ma$ le long de la direction du mouvement, y compris le frottement ($F = \mu R$) sur une surface rugueuse.
• Énoncer vos hypothèses (corde légère inextensible, poulie lisse, particule) — elles valent souvent un point.

Choisissez un diagramme adapté aux données. Vous devez être capable de dessiner et de lire :

• non diagramme tiges et feuilles 茎叶图 (conserve les valeurs originales et montre la forme) ; deux ensembles de données sont comparés avec une version dos à dos 背靠背 – une tige centrale partagée, les feuilles d'un ensemble augmentant vers la gauche et celles de l'autre vers la droite, permettant de comparer leurs médianes et étendues d'un coup d'œil;
• non diagramme en boîte à moustaches 箱线图 (montre la valeur minimale, les trois quartiles et la valeur maximale);
• non histogramme 直方图 (pour des données groupées, où l'aire de chaque barre représente la fréquence);
• non graphique de fréquence cumulative 累积频数 (total cumulatif, utilisé pour estimer la médiane et les quartiles).

Moyennes et dispersion

Une mesure de tendance centrale 集中趋势 est une seule valeur "centrale" :

• la moyenne 平均数 $\bar{x} = \dfrac{\sum x}{n}$ (la moyenne arithmétique);
• la médiane 中位数 (la valeur centrale lorsque les données sont ordonnées);
• le mode 众数 (la valeur la plus fréquente).

Une mesure de variation 离散程度 montre à quel point les données sont dispersées :

• l'étendue (des données) 极差 (max $-$ min);
• l'étendue interquartile 四分位距 (quartile supérieur $-$ quartile inférieur);
• l'écart-type 标准差 $\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum x^2}{n} - \bar{x}^2}$.

On travaille souvent à partir des totaux $\sum x$ et $\sum x^2$. Le carré de l'écart-type est la variance 方差.

Exemple résolu. Pour $10$ valeurs, $\sum x = 50$ et $\sum x^2 = 300$. Trouvez la moyenne et l'écart type.

Codage 编码 rend les grands nombres plus faciles. Remplacer chaque valeur par $t=x-a$ pour une moyenne supposée 假定平均数 convenable $a$. Ensuite $\bar{x}=a+\bar{t}$, tandis que l'écart-type reste inchangé (décaler toutes les valeurs ne disperse pas les données). Donc, à partir des totaux codés $\sum(x-a)$ et $\sum(x-a)^2$, on obtient directement $\bar x$ et $\sigma$, et deux ensembles de données peuvent être comparés via leurs totaux codés.

Une permutation 排列 est un arrangement où l'ordre compte ; une combinaison 组合 est une sélection où l'ordre ne compte pas. Les nombres sont

Pour disposer des objets en ligne quand certains sont répétés, diviser par la factorielle de chaque compteur de répétition.

Exemple résolu. Combien y a-t-il de dispositions différentes des lettres du mot NEEDLESS ?

Il y a $8$ lettres, avec E répété $3$ fois et S répété $2$ fois :

Trouver une probabilité en comptant les issues également probables, ou en utilisant des permutations et combinaisons. Combiner les probabilités avec ces règles :

• addition pour "ou" : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$;
• multiplication pour "et" lorsque les événements sont indépendants : $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$.

Deux événements sont des événements mutuellement exclusifs 互斥事件 si ils ne peuvent pas se produire tous les deux, et des événements indépendants 独立事件 si la survenue de l'un ne change pas la chance de l'autre. Pour tester l'indépendance, vérifier si $P(A \cap B) = P(A)\times P(B)$. Une probabilité conditionnelle 条件概率 est la chance de $A$ sachant que $B$ s'est produit : $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

Exemple résolu. Des événements ont $P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.4$ et $P(A \cap B) = 0.2$. $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Test : $P(A)\times P(B) = 0.5 \times 0.4 = 0.2 = P(A \cap B)$. Les valeurs sont égales, donc $A$ et $B$ sont indépendants.

Une variable aléatoire discrète 离散型随机变量 $X$ prend des valeurs distinctes, chacune avec une probabilité. Les lister dans un tableau de distribution de probabilité 概率分布表 ; les probabilités doivent additionner à $1$. Ensuite l'espérance 期望 (moyenne) et la variance sont

Deux modèles spéciaux :

• la distribution binomiale 二项分布 $X \sim B(n, p)$, pour le nombre de succès en $n$ essais indépendants : $P(X = r) = \binom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}$, avec $E(X) = np$ et $\mathrm{Var}(X) = np(1-p)$;
• la distribution géométrique 几何分布, pour l'essai sur lequel le premier succès survient : $P(X = r) = (1-p)^{r-1}p$, avec $E(X) = \dfrac{1}{p}$.

Exemple résolu. $X \sim B(10, 0.3)$. Trouver $P(X = 2)$ et $E(X)$.

La distribution normale 正态分布 modélise une variable aléatoire continue 连续型随机变量 avec une forme de cloche symétrique. Écrivez $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, où $\mu$ est la moyenne et $\sigma$ l'écart-type. Pour utiliser les tableaux, par standardisation 标准化, convertissez en la variable $Z \sim N(0, 1)$ :

Puis $P(X < x) = P\!\left(Z < \dfrac{x - \mu}{\sigma}\right)$, que vous lisez dans le tableau normal $\Phi$.

La distribution normale est aussi une bonne approximation 近似 de la binomiale lorsque $n$ est grand. Comme vous remplacez une variable discrète par une continue, appliquez une correction de continuité 连续性校正 (ajustez de $0.5$).

Exemple résolu. Les sacs de riz ont une masse $X \sim N(\mu, 0.14^2)$. Sachant que $P(X < 1.48) = 0.22$, trouvez $\mu$.

D'après le tableau, $P(Z < z) = 0.22$ donne $z = -0.772$. Donc

• Décidez si l'ordre importe : permutations ($^nP_r$) s'il compte, combinaisons ($^nC_r$) s'il ne compte pas.
• Pour une variable aléatoire discrète, vérifiez que les probabilités s'additionnent à $1$ et utilisez $E(X) = \sum x\,P(X=x)$.
• Pour la distribution normale, standardisez avec $z = (x - \mu)/\sigma$, dessinez et hachez, puis lisez le tableau.
• Appliquez une correction de continuité lors de l'approximation d'une variable discrète par la normale.

La distribution de Poisson 泊松分布 $X \sim \mathrm{Po}(\lambda)$ modélise le nombre d'événements aléatoires dans un intervalle fixe, quand ils se produisent à un taux moyen stable $\lambda$ :

Pour une variable de Poisson, la moyenne et la variance sont toutes deux égales à $\lambda$. La distribution de Poisson est une bonne approximation 近似 de la distribution binomiale lorsque $n$ est grand et $p$ est petit. La distribution normale (avec correction de continuité) approxime la Poisson lorsque $\lambda$ est grand.

Exemple résolu. $X \sim \mathrm{Po}(3)$. Trouvez $P(X = 2)$.

Quand vous transformez une variable selon une règle linéaire, l'espérance 期望 (moyenne) et la variance 方差 suivent ces règles :

Pour deux variables indépendantes $X$ et $Y$ : Deux faits utiles : si $X$ suit une distribution normale 正态分布, alors $aX + b$ aussi ; et la somme de variables de Poisson indépendantes est encore de Poisson.

Exemple résolu. $X$ a pour moyenne $5$ et variance $4$. Trouvez $E(3X - 1)$ et $\mathrm{Var}(3X - 1)$.

Une variable aléatoire continue 连续型随机变量 peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle. Ses probabilités proviennent d'une fonction de densité de probabilité 概率密度函数 $f(x)$, avec deux propriétés clés :

Une probabilité est l'aire sous $f$, et la moyenne se trouve par intégration :

La fonction de répartition 累积分布函数 est $F(x) = P(X \leqslant x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$ ; la médiane 中位数 résout $F(m) = 0.5$, et d'autres percentiles 百分位数 résolvent $F(x) = p$.

Exemple résolu. Une variable continue a $f(x) = \tfrac12 x$ pour $0 \leqslant x \leqslant 2$ (et $0$ ailleurs). Trouvez $E(X)$.

La variance utilise la même idée, $\mathrm{Var}(X)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2 f(x)\,dx-\big(E(X)\big)^2$. Pour les mêmes $f(x)=\tfrac12 x$ sur $[0,2]$ : $\displaystyle\int_0^2 x^2\cdot\tfrac12 x\,dx=\left[\tfrac{x^4}{8}\right]_0^2=2$, donc $\mathrm{Var}(X)=2-\left(\tfrac43\right)^2=2-\tfrac{16}{9}=\tfrac{2}{9}$.

Un échantillon 样本 est un petit groupe choisi parmi toute la population 总体. Un échantillon aléatoire nécessite de la randomisation 随机性, afin que chaque membre ait une chance équitable d'être sélectionné.

Certaines méthodes sont insatisfaisantes car elles sont biaisées 有偏 : prélever uniquement des volontaires ou les 20 premières personnes arrivées sureprésente certains types de personnes. Un véritable échantillon aléatoire utilise des nombres aléatoires – numérotez chaque membre de la population, puis tirez des nombres (à partir d'un tableau ou d'un générateur) pour décider qui est dans l'échantillon.

La moyenne de l'échantillon $\bar{X}$ est elle-même une variable aléatoire, avec

Par le Théorème Central Limite 中心极限定理, pour un grand échantillon $\bar{X}$ est approximativement normale, quelle que soit la forme de la population.

À partir d'un échantillon, vous pouvez trouver des estimations sans biais 无偏估计 de la moyenne et de la variance de la population. Un intervalle de confiance 置信区间 fournit une plage qui contient probablement la vraie moyenne. Quand la population est normale avec une variance connue $\sigma$ (ou l'échantillon est grand), un intervalle $95\%$ est

Vous pouvez également trouver un intervalle de confiance pour une proportion de population 总体比例 à partir d'un grand échantillon.

Exemple résolu. Un échantillon de $n = 64$ a pour moyenne $\bar{x} = 50$, provenant d'une population avec $\sigma = 8$. Trouvez un intervalle de confiance $95\%$ pour la moyenne de la population.

Un test d'hypothèse 假设检验 utilise des données d'échantillon pour juger d'une affirmation. Vous établissez deux énoncés : l'hypothèse nulle 原假设 $H_0$ (l'affirmation testée, généralement "aucun changement") et l'hypothèse alternative 备择假设 $H_1$ (ce que vous soupçonnez à la place). Le test est unilatéral 单尾 si $H_1$ pointe dans un sens (ex. $\mu > 50$) et bilatéral 双尾 s'il permet les deux sens ($\mu \neq 50$).

Vous fixez un niveau de signification 显著性水平 (souvent $5\%$), calculez une statistique de test 检验统计量 à partir des données, et voyez si elle tombe dans la zone de rejet 拒绝域 (aussi appelée zone critique) ; si c'est le cas, vous rejetez $H_0$, sinon la statistique est dans la zone d'acceptation.

Deux erreurs sont possibles : une erreur de Type I 第一类 erreur consiste à rejeter $H_0$ quand elle est en fait vraie ; une erreur de Type II 第二类 erreur consiste à accepter $H_0$ quand elle est en fait fausse. Vous pouvez trouver leurs probabilités depuis la zone de rejet : $P(\text{Type I})=P(\text{statistic in the rejection region}\mid H_0)$ – cela équivaut au niveau de signification – et $P(\text{Type II})=P(\text{statistic in the acceptance region}\mid H_1$ vrai pour une valeur donnée$)$, calculé à partir de la binomiale, de Poisson ou de la normale.

Exemple résolu. On prétend qu'une population a une moyenne $50$, avec $\sigma = 8$. Un échantillon de $n = 64$ donne $\bar{x} = 52$. Testez au niveau $5\%$ si la moyenne a changé.

$H_0\!: \mu = 50$ et $H_1\!: \mu \neq 50$ (bilatéral). La statistique de test est

La valeur critique à $5\%$ (bilatéral) est $1.96$. Puisque $2 > 1.96$, vous rejetez $H_0$ : il y a des preuves que la moyenne a changé.

Exemple résolu (test binomial). Une pièce est censée être juste mais suspectée de tomber trop rarement pile : $H_0\!:p=0.5$, $H_1\!:p<0.5$. En $n=30$ lancers, vous observez $X=9$ têtes. Sous $H_0$, $X\sim B(30,0.5)$, donc la probabilité de queue unilatérale est

Puisque $0.021<0.05$, rejetez $H_0$ : la pièce semble bien biaisée contre les têtes. (Pour un grand $n$, la binomiale est approximée par une normale ; un test Poisson fonctionne de la même manière pour les événements rares. Et ici, si la règle est "rejeter lorsque $X\leqslant 9$", alors $P(\text{Type I})=P(X\leqslant 9\mid p=0.5)\approx0.021$.)

• Utilisez la distribution de Poisson pour des événements rares, aléatoires et indépendants ; sa moyenne est égale à sa variance ($= \lambda$).
• Lors de la combinaison de variables aléatoires indépendantes, les variances s'additionnent (elles ne se soustraient jamais).
• Pour un test d'hypothèse, énoncez $H_0$ et $H_1$, le niveau de signification, la statistique de test, et une conclusion dans le contexte.
• Pour un intervalle de confiance, utilisez la bonne valeur $z$ (ou $t$) et interprétez-la en mots.