Mathématiques Pures 3

Deux nouveaux outils s'ajoutent à l'algèbre de Pure 2.

Fractions partielles

Une fraction unique avec un dénominateur factorisé peut être décomposée en une somme de fractions plus simples. On appelle cela l'écriture en fraction partielle, et cela rend une fonction rationnelle (une fraction de polynômes) facile à intégrer ou à développer. Adaptez la forme au dénominateur :

Vérifiez d'abord que le numérateur est de degré inférieur à celui du dénominateur. Si ce n'est pas le cas, divisez d'abord le polynôme : la division donne un quotient plus un reste sur le dénominateur initial, et vous ne décomposez que la fraction propre restante.

Exemple résolu. Exprimer $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)}$ en fractions partielles.

Écrire $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x-2}$, donc $x + 4 = A(x-2) + B(x+1)$. Poser $x = 2$ : $6 = 3B$, donc $B = 2$. Poser $x = -1$ : $3 = -3A$, donc $A = -1$. D'où

Exemple résolu : un facteur répété. Exprimer $\dfrac{5x+4}{(x-1)(x+2)^2}$ en fractions partielles.

Un facteur au carré nécessite deux fractions, l'une sur $(x+2)$ et l'autre sur $(x+2)^2$ :

donc $5x+4 = A(x+2)^2 + B(x-1)(x+2) + C(x-1)$. Remplacer $x = 1$ : $9 = 9A$, donc $A = 1$. Remplacer $x = -2$ : $-6 = -3C$, donc $C = 2$. Aucune valeur de $x$ ne supprime simultanément $A$ et $C$, donc comparer les termes en $x^2$ : $0 = A + B$, donc $B = -1$. Par conséquent

Vérifier avec $x = 0$ : le membre de gauche est $\dfrac{4}{(-1)(4)} = -1$ et le membre de droite est $-1 - \tfrac12 + \tfrac12 = -1$.

Erreurs fréquentes. Omettre le terme en $\dfrac{B}{x+2}$ pour un facteur au carré, et décomposer une fraction impropre sans diviser au préalable.

Polynômes et valeur absolue (de Mathématiques pures 2)

Le théorème des facteurs affirme que $(x - a)$ est un facteur de $p(x)$ si et seulement si $p(a) = 0$. Le théorème du reste affirme que la division de $p(x)$ par $(x - a)$ donne le reste $p(a)$.

Exemple corrigé. $p(x) = 2x^3 + ax^2 - 13x + 6$ admet le facteur $(x - 2)$. Déterminez $a$, factorisez entièrement $p(x)$ et déterminez le reste de la division de $p(x)$ par $(x + 1)$.

$p(2) = 16 + 4a - 26 + 6 = 4a - 4 = 0$, donc $a = 1$. La division par $(x - 2)$ donne $p(x) = (x - 2)(2x^2 + 5x - 3) = (x - 2)(2x - 1)(x + 3)$. Le reste de la division par $(x + 1)$ est $p(-1) = -2 + 1 + 13 + 6 = 18$.

Exemple corrigé : une inégalité avec valeur absolue. Résolvez $|2x - 1| < |x + 1|$.

Les deux membres sont toujours positifs ou nuls, donc leur élévation au carré conserve le sens de l'inégalité :

Ainsi, $0 < x < 2$. Un tracé de $y = |2x - 1|$ et $y = |x + 1|$ montre la même chose : les courbes en V se coupent en $x = 0$ et $x = 2$.

Développement binomial pour un exposant rationnel

Le développement binomial fonctionne aussi quand la puissance est une fraction ou négative, tant que $|x| < 1$ :

Exemple résolu. Développer $(4 - x)^{-1/2}$ jusqu'au terme en $x^2$, et indiquer les valeurs de $x$ pour lesquelles il est valide.

La formule nécessite un $1$ devant, donc extraire d'abord le $4$, élevé à la même puissance :

Utiliser maintenant $n = -\tfrac12$ avec $-\tfrac{x}{4}$ à la place de $x$ :

Multiplier par $\tfrac12$ : $(4 - x)^{-1/2} = \dfrac12 + \dfrac{x}{16} + \dfrac{3x^2}{256} + \cdots$. Il est valide lorsque $\left|\tfrac{x}{4}\right| < 1$, c'est-à-dire $|x| < 4$.

Erreurs fréquentes. Écrire $4(1 - \tfrac{x}{4})^{-1/2}$ (le $4$ doit également être élevé à la puissance $-\tfrac12$) ; perdre le signe moins à l'intérieur de $\left(-\tfrac{x}{4}\right)^2$ dans les termes suivants ; et donner comme domaine de validité $|x| < 1$ au lieu de $|x| < 4$.

Les sous-sujets 3.2, 3.3 et 3.6 concernent les mêmes compétences rencontrées dans Pure 2 : les lois des logarithmes avec $e^x$ et $\ln x$ ; les identités $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ et $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$, les formules d'angle composé et double, ainsi que la forme $R$ de $a\sin\theta + b\cos\theta$ ; et la résolution numérique d'une équation par un changement de signe et une formule itérative $x_{n+1} = F(x_n)$. Utilisez-les exactement comme auparavant.

Les trois nouvelles fonctions trigonométriques sont les réciproques des fonctions connues : la sécante $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, la cosécante $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$, et la cotangente $\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$ pour $\sin\theta\ne0$. Elle est égale à $1/\tan\theta$ partout où les deux expressions sont définies. (Astuce mnémotechnique : associer la troisième lettre — sec va avec cosinus.) Les deux identités pythagoriciennes ci-dessus découlent directement de la division de $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ par $\cos^2\theta$ ou $\sin^2\theta$. Pour une méthode numérique, une itération $x_{n+1}=F(x_n)$ converge si ses valeurs tendent vers une limite finie. Des changements successifs plus faibles seuls ne prouvent pas la convergence ; lorsque $F$ est continue à cette limite, celle-ci est un point fixe. Vérifier dans l'équation originale.

Exemple corrigé : réduction à une forme linéaire. On suppose que deux variables vérifient $y = kx^n$. Le graphique de $\ln y$ en fonction de $\ln x$ est une droite passant par $(0.5, 2.1)$ et $(2.0, 4.5)$. Déterminez $k$ et $n$.

Prenons les logarithmes : $\ln y = n\ln x + \ln k$. Il s'agit de $Y = nX + c$ avec $Y = \ln y$ et $X = \ln x$, donc $n$ est le coefficient directeur et $\ln k$ est l'ordonnée à l'origine :

Pour $y = Ab^x$, tracez plutôt $\ln y$ en fonction de $x$ (et non de $\ln x$) : $\ln y = x\ln b + \ln A$, donc le coefficient directeur est $\ln b$ et l'ordonnée à l'origine est $\ln A$.

Exemple corrigé : la forme $R$. Exprimez $3\sin\theta + 4\cos\theta$ sous la forme $R\sin(\theta + \alpha)$ et résolvez $3\sin\theta + 4\cos\theta = 2$ pour $0^\circ < \theta < 360^\circ$.

Développons : $R\sin\theta\cos\alpha + R\cos\theta\sin\alpha$, donc $R\cos\alpha = 3$ et $R\sin\alpha = 4$. Alors $R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ et $\tan\alpha = \tfrac43$, $\alpha = 53.13^\circ$.

On a maintenant $\sin(\theta + 53.13^\circ) = 0.4$. L'ensemble des valeurs de $\theta + 53.13^\circ$ va de $53.13^\circ$ à $413.13^\circ$, donc $\theta + 53.13^\circ = 156.42^\circ$ ou $383.58^\circ$, ce qui donne $\theta = 103.3^\circ$ ou $330.4^\circ$. La plus grande valeur de l'expression est $R = 5$.

Exemple corrigé : localisation d'une racine et itération. Montrez que $x^3 + x - 3 = 0$ possède une racine entre $1$ et $2$, puis utilisez $x_{n+1} = \sqrt[3]{3 - x_n}$ avec $x_1 = 1.2$ pour la déterminer à 3 décimales.

Soit $f(x) = x^3 + x - 3$. $f(1) = -1 < 0$ et $f(2) = 7 > 0$ : $f$ est continue et change de signe, donc il existe une racine entre $1$ et $2$. Les valeurs successives sont $1.2164$, $1.2127$, $1.2136$, $1.2134$, $1.2134$, donc la racine est $1.213$ à 3 décimales. La formule d'itération est une réécriture de l'équation : en élevant $x = \sqrt[3]{3 - x}$ au cube, on obtient $x^3 = 3 - x$.

Les méthodes sont celles de Pure 2 (règles du produit, du quotient et de chaîne, avec courbes paramétriques et implicites). Une dérivée est ajoutée — l'arc tangente :

Exemple résolu. Dériver $y = \tan^{-1}(3x)$.

Utiliser la règle de la chaîne avec le résultat ci-dessus : $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 + (3x)^2} \times 3 = \dfrac{3}{1 + 9x^2}.$

Exemple corrigé : une courbe paramétrée. Une courbe est définie par $x = t^2 + 1$, $y = t^3 - 3t$. Déterminez la tangente en $t = 2$ et les points où la tangente est horizontale.

Pour une courbe définie paramétriquement, $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} = \dfrac{3t^2 - 3}{2t}$. Pour $t = 2$, le point est $(5, 2)$ et le coefficient directeur est $\dfrac{9}{4}$, donc la tangente est $y - 2 = \tfrac94(x - 5)$. La tangente est horizontale lorsque $3t^2 - 3 = 0$, donc $t = \pm1$ : les points sont $(2, -2)$ et $(2, 2)$.

Exemple corrigé : une courbe implicite. Déterminez le coefficient directeur de $x^2 + xy + y^2 = 7$ en $(1, 2)$.

Dérivez implicitement, en utilisant la règle du produit pour $xy$ et la règle de dérivation des fonctions composées pour $y^2$ :

En $(1, 2)$ : $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4}{5}$. (Vérifiez d'abord que le point appartient à la courbe : $1 + 2 + 4 = 7$.)

Pure 3 ajoute plusieurs méthodes puissantes.

• Une nouvelle intégrale standard : $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$.
• Fractions partielles : décomposer une fonction rationnelle, puis intégrer chaque terme comme un logarithme.
• Le motif $\dfrac{k\,f'(x)}{f(x)}$ : cela s'intègre en $k\ln|f(x)| + C$. Par exemple $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + C$.
• Intégration par parties, utilisée pour un produit : $\displaystyle\int u\,\frac{dv}{dx}\,dx = uv - \int v\,\frac{du}{dx}\,dx$.
• Intégration par substitution : un changement de variable donné transforme une intégrale difficile en une intégrale facile.

Exemple résolu. Trouver $\displaystyle\int x\cos x\,dx$.

Utiliser l'intégration par parties avec $u = x$ et $\dfrac{dv}{dx} = \cos x$, donc $\dfrac{du}{dx} = 1$ et $v = \sin x$ :

Exemple résolu : substitution. Utiliser la substitution $u = x + 1$ pour trouver $\displaystyle\int_0^3 \frac{x}{\sqrt{x+1}}\,dx$.

Changer les trois parties : $x = u - 1$, $dx = du$ et les bornes $x = 0$ et $x = 3$ deviennent $u = 1$ et $u = 4$ :

L'erreur courante consiste à conserver les anciennes bornes $0$ et $3$ après avoir changé de variable vers $u$.

Exemple résolu : fractions partielles. Montrer que $\displaystyle\int_3^4 \frac{x+4}{(x+1)(x-2)}\,dx = \ln\frac{16}{5}$.

Utiliser les fractions partielles trouvées précédemment, puis intégrer chaque terme sous forme logarithmique :

Ceci correspond à $2\ln 2 + 2\ln 2 - \ln 5 = \ln 16 - \ln 5 = \ln\dfrac{16}{5}$. Puisque la réponse est donnée, détailler étape par étape l'application des lois du logarithme.

Un vecteur possède à la fois une grandeur et une direction. Écrivez-le sous forme de colonne, ou sous la forme $x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$, ou sous la forme $\overrightarrow{AB}$.

• La grandeur (longueur) de $\mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ est $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
• Un vecteur unitaire a une norme égale à $1$ ; diviser un vecteur non nul par sa norme permet d'en obtenir un.
• Un vecteur position indique l'emplacement d'un point par rapport à l'origine ; un vecteur déplacement $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ va d'un point à un autre. Multiplier par un scalaire (un nombre simple) étire un vecteur.

Additionner des vecteurs consiste à suivre l'un, puis l'autre, en plaçant l'origine du second à l'extrémité du premier. Si $\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{CD}$, les droites $AB$ et $CD$ sont parallèles, et $AB$ est $k$ fois plus long. Le milieu de $AB$ a pour vecteur position $\tfrac12(\mathbf{a} + \mathbf{b})$.

Exemple corrigé : géométrie vectorielle. $OABC$ est un parallélogramme avec $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ et $\overrightarrow{OC} = \mathbf{c}$. Montrez que ses diagonales se coupent en leur milieu.

$\overrightarrow{OB} = \mathbf{a} + \mathbf{c}$ (le long de $OA$, puis de $AB$, ce qui est égal à $OC$). Le milieu $M$ de l'autre diagonale $AC$ vérifie $\overrightarrow{OM} = \mathbf{a} + \tfrac12(\mathbf{c} - \mathbf{a}) = \tfrac12(\mathbf{a} + \mathbf{c}) = \tfrac12\overrightarrow{OB}$. Ainsi, $M$ est aussi le milieu de $OB$ : les diagonales se coupent en leur milieu.

Droites et produit scalaire

Une droite passant par le point $\mathbf{a}$ dans la direction $\mathbf{b}$ a pour équation vectorielle $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$. Deux droites peuvent être parallèles, se coupent en un point, ou être des droites gauches (non parallèles et ne jamais se rencontrer).

Le produit scalaire (produit point) de $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$ est

Exemple résolu. Trouver l'angle entre $\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ et $\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}$.

Exemple résolu : deux droites se coupent-elles ? La droite $l$ est définie par $\mathbf{r} = \mathbf{i} + 3\mathbf{j} + t(\mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k})$ et la droite $m$ par $\mathbf{r} = -\mathbf{j} + \mathbf{k} + s(3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k})$. Montrer qu'elles se coupent et déterminer le point d'intersection.

Les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires, donc les droites ne sont pas parallèles. Utiliser des lettres distinctes pour les paramètres de chaque droite et égaliser les composantes :

Ajouter les équations $x$ et $y$ : on obtient $4 = -1 + 5s$, d'où $s = 1$ et ensuite $t = 2$. Vérifier maintenant avec la troisième équation : elle donne $2(2) = 4$ et $1 + 3(1) = 4$. Elle est vérifiée, donc les droites se coupent en $\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 2(\mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k}) = 3\mathbf{i} + \mathbf{j} + 4\mathbf{k}$, au point $(3, 1, 4)$.

Si la troisième équation n'avait pas été vérifiée, les droites seraient gauches. Toujours utiliser l'équation qui n'a pas été utilisée dans le calcul comme contrôle.

Exemple corrigé : le pied de la perpendiculaire. Déterminez le point $F$ de la droite $\mathbf{r} = \mathbf{i} + \mathbf{k} + t(\mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k})$ le plus proche de $P(4, 1, 3)$, ainsi que la plus courte distance entre $P$ et la droite.

Un point quelconque de la droite est $(1 + t,\ t,\ 1 + t)$, donc $\overrightarrow{PF} = (t - 3)\mathbf{i} + (t - 1)\mathbf{j} + (t - 2)\mathbf{k}$. Au point le plus proche, $\overrightarrow{PF}$ est perpendiculaire à la direction $\mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}$ :

Ainsi, $F = (3, 2, 3)$, $\overrightarrow{PF} = -\mathbf{i} + \mathbf{j}$, et la plus courte distance est $|\overrightarrow{PF}| = \sqrt2$.

Une équation différentielle relie une grandeur à son taux de variation. Pour résoudre une équation du premier ordre dont les variables sont séparables, placez tous les termes $y$ d'un côté et tous les termes $x$ de l'autre, puis intégrez les deux côtés. Cela donne la solution générale, qui contient une constante. Une condition initiale (une valeur connue) fixe cette constante et donne la solution particulière.

Exemple résolu. Résoudre $\dfrac{dy}{dx} = xy$, sachant que $y = 1$ lorsque $x = 0$.

Séparer les variables et intégrer :

Exemple résolu : formation de l'équation. De l'eau fuit d'un réservoir. La profondeur $h$ cm diminue à un taux proportionnel à $\sqrt h$. À $t = 0$ minutes, la profondeur est de $16$ cm, et à $t = 10$ elle est de $9$ cm. Quand le réservoir sera-t-il vide ?

« Diminue à une vitesse proportionnelle à $\sqrt h$ » donne $\dfrac{dh}{dt} = -k\sqrt h$, avec $k > 0$. Séparons les variables et intégrons :

À $t = 0$ : $2\sqrt{16} = c$, donc $c = 8$. À $t = 10$ : $2\sqrt9 = -10k + 8$, donc $k = 0.2$. Le réservoir est vide lorsque $h = 0$ : $0 = -0.2t + 8$, donc $t = 40$ minutes.

Interprétation de la solution. La solution est $\sqrt h = 4 - 0.1t$, donc $h = (4 - 0.1t)^2$ pour $0 \le t \le 40$. La profondeur diminue rapidement au début, puis plus lentement à mesure que le réservoir se vide, car la vitesse dépend de $\sqrt h$. Le modèle s'arrête à $t = 40$ : pour des valeurs plus grandes de $t$, la formule ferait augmenter $h$ à nouveau, ce qui est impossible. Une question d'examen telle que « que devient $h$ lorsque $t$ devient grand ? » appelle une phrase de ce type, dans le contexte du problème.

Erreurs courantes. Omettre le signe moins pour une diminution, et ajouter la constante uniquement après réarrangement (donc écrire $y = e^{x^2/2} + c$ au lieu de $y = Ae^{x^2/2}$ dans l'exemple ci-dessus).

Un nombre complexe a la forme $z = x + iy$, où $i^2 = -1$. Ici, $x$ est la partie réelle et $y$ est la partie imaginaire. Cette $x + iy$ est la forme cartésienne. Deux nombres complexes sont égaux uniquement si leurs parties réelles correspondent et leurs parties imaginaires correspondent.

• Le conjugué de $z = x + iy$ est $z^* = x - iy$. Pour un polynôme à coefficients réels, toute racine non réelle apparaît par paires conjuguées.
• Le module est $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ (sa distance à l'origine) et, pour $z\ne0$, l'argument est l'angle du point, mesuré à partir du demi-axe réel positif. Zéro n'a pas d'argument.
• Vous pouvez tracer $z$ comme un point sur un diagramme d'Argand (le plan complexe).
• La forme polaire est $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$, où $r = |z|$ et $\theta$ est l'argument. Multiplier multiplie les modules et additionne les arguments.
• Les lieux géométriques 轨迹 satisfaisant une condition sur $z$ sont tracés sur le diagramme d'Argand — par exemple $|z - a| = r$ est un cercle, $|z - a| = |z - b|$ une médiatrice, et $\arg(z - a) = \theta$ une demi-droite. Les racines carrées d'un nombre complexe proviennent de la résolution de $w^2 = z$.

Pour diviser, multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Exemple corrigé : forme polaire. $z_1 = 2\left(\cos\tfrac{\pi}{3} + i\sin\tfrac{\pi}{3}\right)$ et $z_2 = 4\left(\cos\tfrac{\pi}{6} + i\sin\tfrac{\pi}{6}\right)$. Déterminez $z_1z_2$ et $\dfrac{z_1}{z_2}$.

Multipliez les modules et additionnez les arguments : $z_1z_2 = 8\left(\cos\tfrac{\pi}{2} + i\sin\tfrac{\pi}{2}\right) = 8i$. Divisez les modules et soustrayez les arguments : $\dfrac{z_1}{z_2} = \tfrac12\left(\cos\tfrac{\pi}{6} + i\sin\tfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt3}{4} + \dfrac14 i$.

Exemple résolu. Écrire $\dfrac{3 + i}{1 - i}$ sous la forme $x + iy$.

Exemple résolu : module et argument. Trouver le module et l'argument de $z = -1 + \sqrt3\,i$.

$|z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt3)^2} = 2$. Le point $(-1, \sqrt3)$ se trouve dans le second quadrant, donc le placer avant d'utiliser la calculatrice. L'angle avec l'axe réel négatif est $\tan^{-1}\sqrt3 = \tfrac{\pi}{3}$, donc $\arg z = \pi - \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{2\pi}{3}$. Par conséquent $z = 2\left(\cos\tfrac{2\pi}{3} + i\sin\tfrac{2\pi}{3}\right)$.

La touche $\tan^{-1}\!\left(\tfrac{\sqrt3}{-1}\right)$ d'une calculatrice donne $-\tfrac{\pi}{3}$, ce qui correspond au mauvais quadrant. De même, utiliser $\arg(-1 - i) = -\tfrac{3\pi}{4}$, et non $\tfrac{\pi}{4}$.

Exemple résolu : racine carrée. Trouver les racines carrées de $3 + 4i$.

Poser $(a + bi)^2 = 3 + 4i$ avec $a$ et $b$ réels. Alors $a^2 - b^2 + 2abi = 3 + 4i$, donc comparer les parties réelle et imaginaire :

Substituer $b = \dfrac{2}{a}$ : $a^2 - \dfrac{4}{a^2} = 3$, donc $a^4 - 3a^2 - 4 = 0$, ce qui donne $(a^2 - 4)(a^2 + 1) = 0$. Puisque $a$ est réel, $a^2 = 4$, donc $a = 2$ avec $b = 1$, ou $a = -2$ avec $b = -1$. Les racines carrées sont $\pm(2 + i)$. Vérification : $(2 + i)^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i$.

Une équation ou une inégalité en $z$ décrit un lieu géométrique (un chemin ou une région) sur le diagramme d'Argand. Par exemple, $|z - a| = r$ est un cercle de rayon $r$ centré en $a$.

• Décomposer une fonction rationnelle en fractions partielles avant d'intégrer ou de développer.
• Choisir la bonne technique d'intégration (substitution, par parties ou fractions partielles) selon la forme de l'intégrande.
• Utiliser le produit scalaire (point) pour l'angle entre vecteurs et tester la perpendicularité ; écrire une droite comme $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$.
• Donner les nombres complexes sous la forme demandée (cartésienne ou module-argument) et les représenter sur un diagramme d'Argand.
• Lorsqu'une réponse est « exacte », conservez $\ln$, $e$, $\pi$ et les radicaux ; ne donnez des décimales que si cela est demandé.
• Pour déterminer $k$ et $n$ à partir d'un graphique logarithmique, écrivez d'abord l'équation logarithmique sous la forme $Y = mX + c$, puis lisez le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine.
• Pour trouver le pied d'une perpendiculaire, écrivez un point quelconque de la droite à l'aide de son paramètre, puis posez que son produit scalaire avec la direction est nul.