Cette fiche couvre le Thème 3 : Mathématiques pures 纯数学 3. Les sous-thèmes 3.1–3.6 s'appuient sur l'algèbre, les logarithmes, la trigonométrie, la dérivation, l'intégration et les méthodes numériques des Mathématiques pures 2 ; cette fiche explique donc ce qui est nouveau dans Pure 3, puis traite des trois grands nouveaux domaines : les vecteurs, les équations différentielles et les nombres complexes.
Mathématiques Pures 3
Mathématiques A-Level · Sujet 3
13:36
Mathématiques Pures 3
Pendant des siècles, les mathématiciens ont heurté un mur : quelle est la racine carrée de moins un ? Aucun nombre ordinaire, élevé au carré, ne donne un négatif. Ils l'ont jugé impossible, et…
Narration en anglais · Sous-titres anglais + 中文 incrustés
3.1
Algèbre
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| • comprendre la signification de $|x|$, tracer le graphe de $y = |ax + b|$ et utiliser des relations telles que $|a| = |b| \iff a^2 = b^2$ et $|x - a| < b \iff a - b < x < a + b$ lors de la résolution d'équations et d'inégalités | Les graphes de $y = |\text{f}(x)|$ et $y = \text{f}(|x|)$ pour des fonctions non linéaires $\text{f}$ ne sont pas compris. ex. : $|3x - 2| = |2x + 7|$, $2x + 5 < |x + 1|$. |
| • diviser un polynôme de degré inférieur ou égal à 4 par un polynôme linéaire ou quadratique, et identifier le quotient et le reste (qui peuvent être nuls) | |
| • utiliser le théorème du facteur et le théorème du reste | ex. : pour trouver des facteurs et des restes, résoudre des équations polynomiales ou évaluer des coefficients inconnus. Inclure des facteurs de la forme $(ax + b)$ où le coefficient de $x$ n'est pas unitaire, et inclure le calcul des restes. |
| • rappel d'une forme appropriée pour exprimer des fractions rationnelles en parties fractionnaires, et effectuer la décomposition, lorsque le dénominateur n'est pas plus compliqué que – $(ax + b)(cx + d)(ex + f)$ – $(ax + b)(cx + d)^2$ – $(ax + b)(cx^2 + d)$ | Exclure les cas où le degré du numérateur dépasse celui du dénominateur |
| • utiliser le développement de $(1 + x)^n$, où $n$ est un nombre rationnel et $|x| < 1$. | Trouver le terme général d'un développement n'est pas compris. Adapter la série standard pour développer ex. : $(2 - \frac{1}{2}x)^{-1}$ est compris, et déterminer l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles le développement est valide dans de tels cas est également compris. |
Source : Programme Cambridge International
Deux nouveaux outils s'ajoutent à l'algèbre de Pure 2.
Fractions partielles
Une fraction unique avec un dénominateur factorisable peut être décomposée en une somme de fractions plus simples. On appelle cela l'écriture en fractions partielles 部分分式, et cela rend une fonction rationnelle 有理函数 (une fraction de polynômes) facile à intégrer ou à développer. Associer la forme au dénominateur :
Vérifier d'abord que le numérateur est de degré inférieur à celui du dénominateur. Si ce n'est pas le cas (« trop haut »), diviser le polynôme d'abord : la division donne un quotient 商 plus un reste 余数 sur le dénominateur initial, et on ne décompose que cette fraction propre restante.
Une fraction avec un dénominateur factorisable se décompose en une somme de fractions plus simples.
$$\frac{1}{(ax+b)(cx+d)} = \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{cx+d}, \qquad \frac{1}{(ax+b)(cx+d)^2} = \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{cx+d} + \frac{C}{(cx+d)^2}.$$
Exemple résolu. Exprimer $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)}$ en fractions partielles.
Écrire $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x-2}$, donc $x + 4 = A(x-2) + B(x+1)$. Poser $x = 2$ : $6 = 3B$, donc $B = 2$. Poser $x = -1$ : $3 = -3A$, donc $A = -1$. D'où
$$\frac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+1}.$$
Développement binomial pour un exposant rationnel
Le développement binomial 二项展开式 fonctionne aussi lorsque l'exposant est une fraction ou négatif, à condition que $|x| < 1$ :
$$(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots$$
Par exemple $(1 + x)^{1/2} = 1 + \tfrac12 x - \tfrac18 x^2 + \cdots$ pour $|x| < 1$.
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Courbes réciproques
y = a/(x − b) + c
Les fractions partielles décomposent une fraction difficile en pièces simples réciproques — chacune possédant une asymptote verticale et une asymptote horizontale.
Vocabulaire
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| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| Pure Mathematics/pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | 纯数学 | chún shù xué |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | 部分分式 | bù fèn fēn shì |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | 有理函数 | yǒu lǐ hán shù |
| quotient/ˈkwəʊʃənt/ | 商 | shāng |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | 余数 | yú shù |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | 二项展开式 | èr xiàng zhǎn kāi shì |
| sign change/saɪn tʃeɪndʒ/ | 变号 | biàn hào |
| iterative formula/ˈɪtərətɪv ˈfɔːmjʊlə/ | 迭代公式 | dié dài gōng shì |
| reciprocals/rɪˈsɪprəklz/ | 倒数 | dào shǔ |
| secant/ˈsiːkənt/ | 正割 | zhèng gē |
| cosecant/ˈkəʊsekənt/ | 余割 | yú gē |
3.2 3.3 3.6
Logarithmes, trigonométrie et méthodes numériques (de Pure 2)
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| comprendre la relation entre les logarithmes et les puissances, et utiliser les lois des logarithmes (excluant le changement de base) | |
| comprendre la définition et les propriétés de $e^x$ et $\ln x$, y compris leur relation de fonctions réciproques et leurs graphes | Comprendre le graphe de $y = e^{kx}$ pour des valeurs positives et négatives de $k$. |
| utiliser les logarithmes pour résoudre des équations et des inégalités où l'inconnue apparaît en puissance | ex. : $2^x < 5$, $3 \times 2^{3x-1} < 5$, $3^{x+1} = 4^{2x-1}$. |
| utiliser les logarithmes pour transformer une relation donnée sous forme linéaire, et déterminer ainsi des constantes inconnues en considérant la pente et/ou l'ordonnée à l'origine. | ex. $y = kx^n$ donne $\ln y = \ln k + n \ln x$ qui est linéaire en $\ln x$ et $\ln y$. $y = k(a^x)$ donne $\ln y = \ln k + x \ln a$ qui est linéaire en $x$ et $\ln y$. |
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| comprendre la relation des fonctions sécante, cosécante et cotangente au cosinus, sinus et tangente, et utiliser les propriétés et graphes des six fonctions trigonométriques pour des angles de toute magnitude | |
| utiliser des identités trigonométriques pour simplifier et évaluer exactement des expressions, et dans le cadre de la résolution d'équations, et sélectionner une identité ou des identités adaptées au contexte, en montrant une familiarité particulière avec l'utilisation de : – $\sec^2 \theta \equiv 1 + \tan^2 \theta$ et $\cosec^2 \theta \equiv 1 + \cot^2 \theta$ – les développements de $\sin(A \pm B)$, $\cos(A \pm B)$ et $\tan(A \pm B)$ – les formules pour $\sin 2A$, $\cos 2A$ et $\tan 2A$ – l'expression de $a \sin \theta + b \cos \theta$ sous les formes $R \sin(\theta \pm \alpha)$ et $R \cos(\theta \pm \alpha)$. | ex. : simplifier $\cos(x - 30^\circ) - 3 \sin(x - 60^\circ)$. ex. : résoudre $\tan \theta + \cot \theta = 4$, $2 \sec^2 \theta - \tan \theta = 5$, $3 \cos \theta + 2 \sin \theta = 1$. |
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| • localiser approximativement une racine d'une équation, au moyen de considérations graphiques et/ou en cherchant un changement de signe | ex. : trouver une paire d'entiers consécutifs entre lesquels se trouve une racine. |
| • comprendre l'idée de, et utiliser la notation pour, une suite d'approximations qui converge vers une racine d'une équation | |
| • comprendre comment une simple formule itérative donnée de la forme $x_{n+1} = \text{F}(x_n)$ est liée à l'équation résolue, et utiliser une itération donnée, ou une itération basée sur un réarrangement donné d'une équation, pour déterminer une racine avec une précision prescrite. | La connaissance de la condition de convergence n'est pas requise, mais on s'attend à ce que les candidats comprennent qu'une itération peut ne pas converger. |
Source : Programme Cambridge International
Les sous-thèmes 3.2, 3.3 et 3.6 sont les mêmes compétences rencontrées en Pure 2 : les lois des logarithmes avec $e^x$ et $\ln x$ ; les identités $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ et $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$, les formules d'angle double et composé, et la forme $R$ de $a\sin\theta + b\cos\theta$ ; et la résolution numérique d'une équation par un changement de signe 变号 et une formule itérative 迭代公式 $x_{n+1} = F(x_n)$. Les utiliser exactement comme auparavant.
Les trois nouvelles fonctions trigonométriques sont les inversees 倒数 des connues : la sécante 正割 $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, la cosécante 余割 $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$, et la tangente cotangente 余切 $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$. (Astuce mnémotechnique : associer la troisième lettre — sec va avec cosinus.) Les deux identités pythagoriciennes ci-dessus proviennent directement de la division de $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ par $\cos^2\theta$ ou $\sin^2\theta$. Pour une méthode numérique, une itération $x_{n+1}=F(x_n)$ converge 收敛 vers la racine lorsque les valeurs successives se rapprochent.
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Le cercle unité
(cos θ, sin θ)
La formule R réécrit a sin θ + b cos θ sous la forme d'une onde unique — et tout cela repose sur ce cercle.
Vocabulaire
Entrainer
| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| cotangent/ˈkəʊtændʒənt/ | 余切 | yú qiē |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | 收敛 | shōu liǎn |
| inverse tangent/ɪnˈvɜːs ˈtændʒənt/ | 反正切 | fǎn zhèng qiè |
| Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | 分部积分 | fēn bù jī fēn |
| Integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | 换元积分 | huàn yuán jī fēn |
3.4
Dérivation
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| utiliser les dérivées de $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, $\tan^{-1} x$, ainsi que les multiples constants, sommes, différences et compositions | Les dérivées de $\sin^{-1} x$ et $\cos^{-1} x$ ne sont pas requises. |
| dériver des produits et des quotients | ex. : $\frac{2x - 4}{3x + 2}$, $x^2 \ln x$, $x e^{1-x^2}$. |
| trouver et utiliser la première dérivée d'une fonction définie paramétriquement ou implicitement. | ex. : $x = t - e^{2t}$, $y = t + e^{2t}$. ex. : $x^2 + y^2 = xy + 7$. Inclure l'utilisation dans des problèmes impliquant des tangentes et des normales. |
Source : Programme Cambridge International
Les méthodes sont celles de Pure 2 (règle du produit, du quotient et de la chaîne, courbes paramétriques et implicites). Une dérivée est ajoutée — l'arctangente 反正切 :
$$\frac{d}{dx}\tan^{-1} x = \frac{1}{1 + x^2}.$$
Exemple résolu. Dériver $y = \tan^{-1}(3x)$.
Utiliser la règle de la chaîne avec le résultat ci-dessus : $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 + (3x)^2} \times 3 = \dfrac{3}{1 + 9x^2}.$
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La pente en un point
pente = dy/dx
Implícite ou non, la dérivée reste la pente de la tangente — faites glisser le point pour le voir.
3.5
Intégration
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| étendre l'idée de « dérivation inverse » pour inclure l'intégration de $e^{ax + b}$, $\frac{1}{ax + b}$, $\sin(ax + b)$, $\cos(ax + b)$, $\sec^2(ax + b)$ et $\frac{1}{x^2 + a^2}$ | Inclure des exemples tels que $\frac{1}{2 + 3x^2}$. |
| utiliser des relations trigonométriques pour effectuer des intégrations | ex. : utilisation des formules d'angle double pour intégrer $\sin^2 x$ ou $\cos^2(2x)$. |
| intégrer des fonctions rationnelles au moyen de la décomposition en fractions partielles | Limité aux types de fractions partielles spécifiés dans le sujet 3.1 ci-dessus. |
| reconnaître un intégrande de la forme $\frac{k f'(x)}{f(x)}$, et intégrer de telles fonctions | ex. : intégration de $\frac{x}{x^2 + 1}$, $\tan x$. |
| reconnaître quand un intégrande peut utilement être considéré comme un produit, et utiliser l'intégration par parties | ex. : intégration de $x \sin 2x$, $x^2 e^{-x}$, $\ln x$, $x \tan^{-1} x$. |
| utiliser une substitution donnée pour simplifier et évaluer soit une intégrale définie, soit une intégrale indéfinie. | ex. : pour intégrer $\sin^2 2x \cos x$ en utilisant la substitution $u = \sin x$. |
Source : Programme Cambridge International
Pure 3 ajoute plusieurs méthodes puissantes.
- Une nouvelle intégrale standard : $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$.
- Fractions partielles : décomposer une fonction rationnelle, puis intégrer chaque terme comme un logarithme.
- Le motif $\dfrac{k\,f'(x)}{f(x)}$ : cela s'intègre en $k\ln|f(x)| + C$. Par exemple $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + C$.
- Intégration par parties 分部积分, utilisée pour un produit : $\displaystyle\int u\,\frac{dv}{dx}\,dx = uv - \int v\,\frac{du}{dx}\,dx$.
- Intégration par substitution 换元积分 : un changement de variable donné transforme une intégrale difficile en une intégrale facile.
Exemple résolu. Trouver $\displaystyle\int x\cos x\,dx$.
Utiliser l'intégration par parties avec $u = x$ et $\dfrac{dv}{dx} = \cos x$, donc $\dfrac{du}{dx} = 1$ et $v = \sin x$ :
$$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C.$$
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L'aire sous la courbe
aire = ∫ f(x) dx
Chaque méthode d'intégration mesure simplement cette aire — faites glisser les limites pour l'additionner.
3.7
Vecteurs
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| • utiliser les notations standards pour les vecteurs, c.-à-d. $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $x\mathbf{i} + y\mathbf{j}$, $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, $x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$, $\overrightarrow{AB}$, $\mathbf{a}$ | |
| • effectuer l'addition et la soustraction de vecteurs et la multiplication d'un vecteur par un scalaire, et interpréter ces opérations en termes géométriques | ex. « $OABC$ est un parallélogramme » est équivalent à $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}$. La forme générale du théorème du rapport n'est pas incluse, mais on attend la compréhension que le milieu de $AB$ a pour vecteur position $\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$. |
| • calculer la norme (ou grandeur) d'un vecteur, et utiliser des vecteurs unitaires, des vecteurs déplacement et des vecteurs position | En 2 ou 3 dimensions. |
| • comprendre la signification de tous les symboles utilisés lorsque l'équation d'une droite est exprimée sous la forme $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$, et trouver l'équation d'une droite, étant donné suffisamment d'informations | ex. : trouver l'équation d'une droite étant donné le vecteur position d'un point sur la droite et un vecteur directeur, ou les vecteurs position de deux points sur la droite. |
| • déterminer si deux droites sont parallèles, sécantes ou gauches, et trouver le point d'intersection de deux droites lorsqu'il existe | Le calcul de la distance minimale entre deux droites gauches n'est pas requis. Trouver l'équation de la perpendiculaire commune à deux droites gauches n'est pas non plus requis. |
| • utiliser des formules pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs, et utiliser les produits scalaires dans des problèmes impliquant des droites et des points. | ex. : trouver l'angle entre deux droites, et trouver le pied de la perpendiculaire abaissée d'un point sur une droite ; les questions peuvent impliquer des objets en 3D tels que des parallélépipèdes rectangles, des tétraèdres (pyramides), etc. La connaissance du produit vectoriel n'est pas requise. |
Source : Programme Cambridge International
Un vecteur 向量 a à la fois une grandeur et une direction. L'écrire sous forme de colonne, ou comme $x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$, ou comme $\overrightarrow{AB}$.
- La norme 模长 (longueur) de $\mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ est $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
- Un vecteur unitaire 单位向量 a une norme $1$ ; diviser un vecteur par sa norme permet d'en obtenir un.
- Un vecteur position 位置向量 indique l'emplacement d'un point par rapport à l'origine ; un vecteur déplacement 位移向量 $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ va d'un point à un autre. Multiplier par un scalaire 标量 (un nombre simple) étire un vecteur.
Droites et produit scalaire
Une droite passant par le point $\mathbf{a}$ dans la direction $\mathbf{b}$ a pour équation vectorielle $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$. Deux droites peuvent être parallèles 平行, se coupent 相交 en un point, ou être gauches 异面直线 (non parallèles et jamais sécantes).
Le produit scalaire 数量积 de $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$ est
$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta,$$
où $\theta$ est l'angle entre eux. Donc $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ signifie que les vecteurs sont perpendiculaires.
Exemple résolu. Trouver l'angle entre $\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ et $\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}$.
$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = (1)(2) + (2)(2) + (2)(1) = 8, \qquad |\mathbf{a}| = |\mathbf{b}| = 3.$$
Donc $\cos\theta = \dfrac{8}{3\times 3} = \dfrac{8}{9}$, donnant $\theta = 27.3^\circ$.
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Addition de vecteurs et produit scalaire
Faites glisser les deux vecteurs. Voyez le résultant (bout à tête) et le produit scalaire, qui est nul lorsqu'ils sont perpendiculaires.
Vocabulaire
Entrainer
| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| vector/ˈvektə/ | 向量 | xiàng liàng |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | 模长 | mó zhǎng |
| unit vector/ˈjuːnɪt ˈvektə/ | 单位向量 | dān wèi xiàng liàng |
| position vector/pəˈzɪʃn ˈvektə/ | 位置向量 | wèi zhì xiàng liàng |
| displacement vector/dɪˈspleɪsmənt ˈvektə/ | 位移向量 | wèi yí xiàng liàng |
| scalar/ˈskeɪlə/ | 标量 | biāo liàng |
| parallel/ˈpærəlel/ | 平行 | píng xíng |
| intersect/ˌɪntəˈsekt/ | 相交 | xiāng jiāo |
| skew lines/skjuː laɪnz/ | 异面直线 | yì miàn zhí xiàn |
| scalar product/ˈskeɪlə ˈprɒdʌkt/ | 数量积 | shù liàng jī |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | 微分方程 | wēi fēn fāng chéng |
| separable/ˈsepərəbl/ | 可分离变量 | kě fēn lí biàn liàng |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | 通解 | tōng jiě |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | 初始条件 | chū shǐ tiáo jiàn |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | 特解 | tè jiě |
| complex number/ˈkɒmpleks ˈnʌmbə/ | 复数 | fù shù |
| real part/rɪəl pɑːt/ | 实部 | shí bù |
| imaginary part/ɪˈmædʒɪnəri pɑːt/ | 虚部 | xū bù |
| Cartesian form/kɑːˈtiːzɪən fɔːm/ | 直角坐标形式 | zhí jiǎo zuò biāo xíng shì |
| conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/ | 共轭 | gòng è |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | 模 | mó |
3.8
Équations différentielles
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| formuler une simple affirmation impliquant un taux de variation sous forme d'équation différentielle | L'introduction et l'évaluation d'une constante de proportionnalité, si nécessaire, sont incluses. |
| trouver par intégration une forme générale de solution pour une équation différentielle du premier ordre dont les variables sont séparables | Incluant toutes les techniques d'intégration du sujet 3.5 ci-dessus. |
| utiliser une condition initiale pour trouver une solution particulière | |
| interpréter la solution d'une équation différentielle dans le contexte d'un problème modélisé par cette équation. | Lorsqu'une équation différentielle est utilisée pour modéliser une situation réelle, aucune connaissance spécialisée du contexte ne sera requise. |
Source : Programme Cambridge International
Une équation différentielle 微分方程 relie une quantité à sa vitesse de variation. Pour résoudre une équation du premier ordre dont les variables sont séparables 可分离变量, placer tous les termes $y$ d'un côté et tous les termes $x$ de l'autre, puis intégrer les deux côtés. Cela donne la solution générale 通解, qui contient une constante. Une condition initiale 初始条件 (une valeur connue) fixe la constante et donne la solution particulière 特解.
Exemple résolu. Résoudre $\dfrac{dy}{dx} = xy$, sachant que $y = 1$ lorsque $x = 0$.
Séparer les variables et intégrer :
$$\int \frac{1}{y}\,dy = \int x\,dx \;\Rightarrow\; \ln y = \tfrac12 x^2 + c \;\Rightarrow\; y = A e^{x^2/2}.$$
En utilisant $y = 1$ à $x = 0$, on obtient $A = 1$, donc $y = e^{x^2/2}$.
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Champ de pentes
Chaque petite ligne montre le gradient $\frac{dy}{dx}$ à cet endroit. Une courbe solution suit les flèches — changez le point de départ pour en voir une différente.
3.9
Nombres complexes
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| comprendre l'idée d'un nombre complexe, rappeler la signification des termes partie réelle, partie imaginaire, module, argument, conjugué, et utiliser le fait que deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont respectivement égales | Les notations $\text{Re } z$, $\text{Im } z$, $|z|$, $\arg z$, $z^*$ doivent être connues. L'argument d'un nombre complexe fera généralement référence à un angle $\theta$ tel que $-\pi < \theta \leqslant \pi$, mais dans certains cas, l'intervalle $0 \leqslant \theta < 2\pi$ peut être plus pratique. Les réponses peuvent utiliser soit l'intervelle, sauf si la question spécifie le contraire. |
| effectuer des opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division de deux nombres complexes exprimés sous forme cartésienne $x + \text{i}y$ | Pour les calculs impliquant la multiplication ou la division, le détail complet du raisonnement doit être fourni. |
| utiliser le résultat selon lequel, pour une équation polynomiale à coefficients réels, toute racine non réelle apparaît par paires conjuguées | ex. : dans la résolution d'une équation cubique ou quartique où une racine complexe est donnée. |
| représenter géométriquement des nombres complexes au moyen d'un diagramme d'Argand | |
| effectuer des opérations de multiplication et de division de deux nombres complexes exprimés sous forme polaire $r(\cos \theta + \text{i}\sin \theta) \equiv r\text{e}^{\text{i}\theta}$ | Incluant les résultats $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ et $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$, et les résultats correspondants pour la division. |
| trouver les deux racines carrées d'un nombre complexe | ex. : les racines carrées de $5 + 12\text{i}$ en forme cartésienne exacte. Le détail complet du raisonnement doit être fourni. |
| comprendre en termes simples les effets géométriques de la conjugaison d'un nombre complexe et de l'addition, de la soustraction, de la multiplication et de la division de deux nombres complexes | |
| illustrer de simples équations et inégalités impliquant des nombres complexes au moyen de lieux géométriques dans un diagramme d'Argand | ex. : $|z - a| < k$, $|z - a| = |z - b|$, $\arg(z - a) = \alpha$. |
Source : Programme Cambridge International
Un nombre complexe 复数 a la forme $z = x + iy$, où $i^2 = -1$. Ici $x$ est la partie réelle 实部 et $y$ est la partie imaginaire 虚部. Cette $x + iy$ est la forme cartésienne 直角坐标形式. Deux nombres complexes sont égaux uniquement si leurs parties réelles correspondent et leurs parties imaginaires correspondent.
- Le conjugué 共轭 de $z = x + iy$ est $z^* = x - iy$. Pour un polynôme à coefficients réels, toute racine non réelle apparaît par paires conjuguées.
- Le module 模 est $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ (sa distance à l'origine) et l'argument 辐角 est l'angle que fait le point, mesuré à partir de l'axe réel positif.
- Vous pouvez tracer $z$ comme un point sur un diagramme d'Argand 阿干图 (le plan complexe).
- La forme polaire 极坐标形式 est $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$, où $r = |z|$ et $\theta$ est l'argument. Multiplier multiplie les modules et additionne les arguments.
- Les lieux géométriques 轨迹 satisfaisant une condition sur $z$ sont tracés sur le diagramme d'Argand — par exemple $|z - a| = r$ est un cercle, $|z - a| = |z - b|$ une médiatrice, et $\arg(z - a) = \theta$ une demi-droite. Les racines carrées d'un nombre complexe proviennent de la résolution de $w^2 = z$.
Pour diviser, multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Exemple résolu. Écrire $\dfrac{3 + i}{1 - i}$ sous la forme $x + iy$.
$$\frac{3 + i}{1 - i} = \frac{(3 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{3 + 3i + i + i^2}{1 + 1} = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i.$$
Une équation ou inégalité en $z$ décrit un lieu géométrique 轨迹 (un chemin ou une région) sur le diagramme d'Argand. Par exemple $|z - a| = r$ est un cercle de rayon $r$ centré en $a$.
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Le diagramme d'Argand
Faites glisser le point. Un nombre complexe $a + bi$ est un point sur le plan ; son module est la distance à l'origine et son argument est l'angle.
Vocabulaire
Entrainer
| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | 辐角 | fú jiǎo |
| Argand diagram/ˈɑːɡænd ˈdaɪəɡræm/ | 阿干图 | ā gàn tú |
| polar form/ˈpəʊlə fɔːm/ | 极坐标形式 | jí zuò biāo xíng shì |
| locus/ˈləʊkəs/ | 轨迹 | guǐ jì |
3.9
Conseils d'examen
- Décomposer une fonction rationnelle en fractions partielles avant d'intégrer ou de développer.
- Choisir la bonne technique d'intégration (substitution, par parties ou fractions partielles) selon la forme de l'intégrande.
- Utiliser le produit scalaire (point) pour l'angle entre vecteurs et tester la perpendicularité ; écrire une droite comme $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$.
- Donner les nombres complexes sous la forme demandée (cartésienne ou module-argument) et les représenter sur un diagramme d'Argand.
Leçons interactives sur ce sujet
Traversez-le étape par étape, avec des exercices à vérification instantanée.