Probabilités et Statistiques 1

Choisissez un diagramme adapté aux données. Vous devez être capable de dessiner et de lire :

• non diagramme tiges et feuilles 茎叶图 (conserve les valeurs originales et montre la forme) ; deux ensembles de données sont comparés avec une version dos à dos 背靠背 – une tige centrale partagée, les feuilles d'un ensemble augmentant vers la gauche et celles de l'autre vers la droite, permettant de comparer leurs médianes et étendues d'un coup d'œil;
• non diagramme en boîte à moustaches 箱线图 (montre la valeur minimale, les trois quartiles et la valeur maximale);
• non histogramme 直方图 (pour des données groupées, où l'aire de chaque barre représente la fréquence);
• non graphique de fréquence cumulative 累积频数 (total cumulatif, utilisé pour estimer la médiane et les quartiles).

Moyennes et dispersion

Une mesure de tendance centrale 集中趋势 est une seule valeur "centrale" :

• la moyenne 平均数 $\bar{x} = \dfrac{\sum x}{n}$ (la moyenne arithmétique);
• la médiane 中位数 (la valeur centrale lorsque les données sont ordonnées);
• le mode 众数 (la valeur la plus fréquente).

Une mesure de variation 离散程度 montre à quel point les données sont dispersées :

• l'étendue (des données) 极差 (max $-$ min);
• l'étendue interquartile 四分位距 (quartile supérieur $-$ quartile inférieur);
• l'écart-type 标准差 $\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum x^2}{n} - \bar{x}^2}$.

On travaille souvent à partir des totaux $\sum x$ et $\sum x^2$. Le carré de l'écart-type est la variance 方差.

Exemple résolu. Pour $10$ valeurs, $\sum x = 50$ et $\sum x^2 = 300$. Trouvez la moyenne et l'écart type.

Codage 编码 rend les grands nombres plus faciles. Remplacer chaque valeur par $t=x-a$ pour une moyenne supposée 假定平均数 convenable $a$. Ensuite $\bar{x}=a+\bar{t}$, tandis que l'écart-type reste inchangé (décaler toutes les valeurs ne disperse pas les données). Donc, à partir des totaux codés $\sum(x-a)$ et $\sum(x-a)^2$, on obtient directement $\bar x$ et $\sigma$, et deux ensembles de données peuvent être comparés via leurs totaux codés.

Une permutation 排列 est un arrangement où l'ordre compte ; une combinaison 组合 est une sélection où l'ordre ne compte pas. Les nombres sont

Pour disposer des objets en ligne quand certains sont répétés, diviser par la factorielle de chaque compteur de répétition.

Exemple résolu. Combien y a-t-il de dispositions différentes des lettres du mot NEEDLESS ?

Il y a $8$ lettres, avec E répété $3$ fois et S répété $2$ fois :

Trouver une probabilité en comptant les issues également probables, ou en utilisant des permutations et combinaisons. Combiner les probabilités avec ces règles :

• addition pour "ou" : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$;
• multiplication pour "et" lorsque les événements sont indépendants : $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$.

Deux événements sont des événements mutuellement exclusifs 互斥事件 si ils ne peuvent pas se produire tous les deux, et des événements indépendants 独立事件 si la survenue de l'un ne change pas la chance de l'autre. Pour tester l'indépendance, vérifier si $P(A \cap B) = P(A)\times P(B)$. Une probabilité conditionnelle 条件概率 est la chance de $A$ sachant que $B$ s'est produit : $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

Exemple résolu. Des événements ont $P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.4$ et $P(A \cap B) = 0.2$. $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Test : $P(A)\times P(B) = 0.5 \times 0.4 = 0.2 = P(A \cap B)$. Les valeurs sont égales, donc $A$ et $B$ sont indépendants.

Une variable aléatoire discrète 离散型随机变量 $X$ prend des valeurs distinctes, chacune avec une probabilité. Les lister dans un tableau de distribution de probabilité 概率分布表 ; les probabilités doivent additionner à $1$. Ensuite l'espérance 期望 (moyenne) et la variance sont

Deux modèles spéciaux :

• la distribution binomiale 二项分布 $X \sim B(n, p)$, pour le nombre de succès en $n$ essais indépendants : $P(X = r) = \binom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}$, avec $E(X) = np$ et $\mathrm{Var}(X) = np(1-p)$;
• la distribution géométrique 几何分布, pour l'essai sur lequel le premier succès survient : $P(X = r) = (1-p)^{r-1}p$, avec $E(X) = \dfrac{1}{p}$.

Exemple résolu. $X \sim B(10, 0.3)$. Trouver $P(X = 2)$ et $E(X)$.

La distribution normale 正态分布 modélise une variable aléatoire continue 连续型随机变量 avec une forme de cloche symétrique. Écrivez $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, où $\mu$ est la moyenne et $\sigma$ l'écart-type. Pour utiliser les tableaux, par standardisation 标准化, convertissez en la variable $Z \sim N(0, 1)$ :

Puis $P(X < x) = P\!\left(Z < \dfrac{x - \mu}{\sigma}\right)$, que vous lisez dans le tableau normal $\Phi$.

La distribution normale est aussi une bonne approximation 近似 de la binomiale lorsque $n$ est grand. Comme vous remplacez une variable discrète par une continue, appliquez une correction de continuité 连续性校正 (ajustez de $0.5$).

Exemple résolu. Les sacs de riz ont une masse $X \sim N(\mu, 0.14^2)$. Sachant que $P(X < 1.48) = 0.22$, trouvez $\mu$.

D'après le tableau, $P(Z < z) = 0.22$ donne $z = -0.772$. Donc

• Décidez si l'ordre importe : permutations ($^nP_r$) s'il compte, combinaisons ($^nC_r$) s'il ne compte pas.
• Pour une variable aléatoire discrète, vérifiez que les probabilités s'additionnent à $1$ et utilisez $E(X) = \sum x\,P(X=x)$.
• Pour la distribution normale, standardisez avec $z = (x - \mu)/\sigma$, dessinez et hachez, puis lisez le tableau.
• Appliquez une correction de continuité lors de l'approximation d'une variable discrète par la normale.