Para una cantidad V que depende de una profundidad h(t) variable, la regla de la cadena da dV/dt=V′(h) dh/dt. Un tanque vaciando tiene dh/dt<0, por lo que dV/dt signed es negativo; la magnitud del flujo de salida es su negativo. Dibuja la geometría y nombra la profundidad instantánea antes de sustituir números. No trates la tasa como un volumen estático dividido por tiempo transcurrido a menos que la situación especifique realmente una tasa promedio constante.
Un tanque esférico de radio R tiene un cuadrado del radio de sección transversal R²−(R−h)²=2Rh−h² a profundidad h desde la base. Integrar estas áreas circulares da el volumen del casquete V(h)=π(Rh²−h³/3), para 0≤h≤2R. Su derivada π(2Rh−h²) es el área de la sección transversal actual. En R=3, h=1, dh/dt=−1/4, la tasa de volumen signed es −5π/4 y la magnitud del flujo de salida 5π/4. La fórmula funciona para casquetes poco profundos y profundos dentro del rango indicado.
Si f y g son continuamente diferenciables cerca de cero, f(0)=g(0)=0 y g′(0)≠0, entonces f(x)/g(x) tiende a f′(0)/g′(0). Esto se deduce de f(x)=f′(0)x+o(x) y g(x)=g′(0)x+o(x); la continuidad de g′ mantiene el cociente definido cerca, excepto en cero. Rellenar este límite proporciona una extensión continua. El argumento no requiere que f′(0) sea distinto de cero, ni demuestra que el cociente extendido sea diferenciable.
Para f(x)=x|x| y g(x)=x, ambos son continuamente diferenciables, f(0)=g(0)=0 y g′(0)=1. Su cociente para x≠0 es |x|, que se extiende continuamente en cero pero tiene derivadas laterales desiguales allí. Para (f²−f)/(2g−g³), factorice como (f/g)(f−1)/(2−g²); su límite evitable es −f′(0)/(2g′(0)). Factores adicionales tienden a −1 y 2. Distinga el límite del cociente de la derivada de su extensión.
