A.1 · Álgebra lineal

Preparación de GRE para grado universitario. Objetivos locales dentro del alcance revisado de ETS; esto es enseñanza original, no una prueba oficial ni un predictor de puntuación.

Requisitos previos: Ecuaciones lineales, multiplicación de matrices, polinomios y raíces complejas.

• Relacionar rango, nulidad y soluciones de sistemas lineales
• Analizar espacios vectoriales y transformaciones lineales
• Calcular autovalores, determinantes y condiciones de diagonalización

rango: Dimensión de la imagen de una transformación lineal.

autovalor: Un escalar que satisface Av=λv para un v no nulo.

Un espacio vectorial real está cerrado bajo su adición y multiplicación escalar especificadas y cumple con los axiomas del espacio vectorial. Una base es una lista independiente generadora: todo vector tiene una representación de coordenadas única en esa lista. Para probar la independencia de las columnas de una matriz, resuelva el sistema homogéneo Ac=0; solo el vector de coeficientes cero significa independencia. Un conjunto generador puede contener vectores redundantes, por lo que generar solo no convierte a un conjunto en una base.

La reducción por filas expone pivotes y variables libres sin cambiar el conjunto de soluciones de un sistema lineal. El rango es la dimensión de la imagen de la columna, equivalentemente el número de pivotes. La nulidad es la dimensión del núcleo: para una transformación desde un dominio de dimensión n, rango+nulidad=n. En un sistema no homogéneo, una fila de coeficientes cero con lado derecho no nulo indica inconsistencia; las variables libres dan infinitas soluciones solo después de establecer la consistencia. La dimensión del codominio no necesita ser igual al rango.

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero, su núcleo es nulo y su rango iguala a su dimensión. Estas afirmaciones no requieren que cada entrada sea distinta de cero. Los determinantes triangulares son productos de las entradas diagonales, por lo que una matriz dependiente de una variable compleja puede ser singular en raíces complejas ausentes en un cálculo restringido a los reales. Intercambiar filas invierte el signo del determinante; sumar un múltiplo de una fila a otra lo deja inalterado. Verifique la singularidad antes de aplicar una fórmula inversa.

Un vector propio es nonzero y satisface Av=λv, por lo que los valores propios son raíces de det(A−λI). La diagonalización requiere una base completa de vectores propios independientes sobre el campo elegido. Valores propios distintos dan vectores propios independientes, mientras que valores propios repetidos pueden tener un espacio propio demasiado pequeño. Una matriz simétrica real tiene una base ortonormal de vectores propios reales. Una matriz real de dimensión impar tiene al menos un valor propio real porque su polinomio característico real tiene grado impar; esto solo no implica diagonalización ni todos los valores propios reales.

A=[[1,1],[0,1]] tiene polinomio característico (1−λ)². Los autovectores satisfacen y=0, por lo que su autoespacio tiene dimensión uno. Se necesitan dos autovectores independientes para diagonalizar una matriz 2×2; A no es diagonalizable.

La multiplicidad algebraica de un autovalor no es automáticamente la dimensión de su espacio propio.

Para $T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ con $T(x,y,z)=(x+2y+z,2x+4y+2z)$, encuentre bases del núcleo e imagen. Resuelva $T(v)=(3,6)$ y $T(v)=(3,7)$.

Solución resuelta

La segunda fila es el doble de la primera, por lo que el rango es uno. La ecuación homogénea da $x=-2y-z$.

Los dos vectores mostrados son independientes. Cada salida es $(s,2s)$, y $(1,2)$ ocurre; esta es una base de la imagen. Rango más nulidad es $1+2=3$, la dimensión del dominio. Para $(3,6)$, todas las soluciones son $(3-2a-b,a,b)$, con $a,b\in\mathbb R$. Para $(3,7)$ no hay solución, ya que $7\ne2\cdot3$.

Sea $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$. Determine sus valores propios, determinante y diagonalización sobre $\mathbb R$ y $\mathbb C$. Encuentre $A^n$ para enteros $n\ge1$ sin multiplicaciones repetidas.

Verificar después de intentar

El polinomio característico es $(2-\lambda)^2$ y $\det A=4$. Resolver $(A-2I)v=0$ da $v_2=0$, por lo que el espacio propio tiene dimensión uno sobre ambos campos. Se requieren dos vectores propios independientes; la matriz es invertible pero no diagonalizable sobre ninguno de los campos. Escriba $A=2I+N$ donde $N^2=0$. La expansión binomial conmutativa deja solo dos términos:

Multiplicar esta expresión por $A$ da la fórmula en $n+1$, verificando independientemente el coeficiente.