Escriba f(z)=u(x,y)+iv(x,y). La diferenciabilidad compleja impone u_x=v_y y u_y=−v_x; con derivadas parciales continuas locales, las ecuaciones de Cauchy–Riemann establecen la analiticidad allí. Difieren de la diferenciabilidad real de un mapa de dos coordenadas. La función conjugada x−iy falla estas ecuaciones en cada entorno abierto, aunque existen derivadas parciales reales. Enuncie la región que se está verificando, no solo un punto conveniente.
Una función analítica es complejamente diferenciable en todo un entorno y tiene una serie de potencias convergente local. Una singularidad removable puede llenarse analíticamente cuando la función está acotada cerca del punto ausente. Un polo tiene una parte principal finita en su serie de Laurent; una singularidad esencial tiene infinitos términos de potencia negativa. El residuo es el coeficiente de (z−a)⁻¹, no necesariamente el término de potencia negativa más grande o principal.
Para un polo aislado de orden m, escriba f(z)=g(z)/(z−a)^m con g analítico en a. El residuo es g^(m−1)(a)/(m−1)!. Un polo simple usa g(a); un polo doble usa g′(a). Esto sigue expandiendo g en su serie de Taylor. Así e^z/(z−a)² tiene residuo e^a, mientras que un numerador constante sobre un polo puro doble tiene residuo cero. El orden del polo solo no determina la integral de contorno.
Para un contorno orientado positivamente que encierra singularidades aisladas, el teorema de los residuos da ∮f(z)dz=2πi veces la suma de los residuos encerrados, siempre que la función sea analítica en el contorno y en el resto del interior requerido. Invertir la orientación cambia el signo. La fórmula de derivadas de Cauchy es ∮g(z)/(z−a)^(m+1)dz=2πi g^(m)(a)/m! bajo sus hipótesis de dominio analítico. Una singularidad en el contorno impide la aplicación directa; una singularidad fuera contribuye nada a este contorno.
