Una derivada parcial varía una coordenada mientras fija las demás. Para f=x²+3xy, f_x=2x+3y y f_y=3x. El gradiente recopila estas derivadas; si f es diferenciable, la derivada direccional a lo largo de un vector unitario v es grad f·v. Normalice la dirección antes de realizar este producto escalar. Un vector de dirección de longitud dos duplicaría el resultado si se usara sin normalización.
La diferenciabilidad implica una aproximación lineal válida, no simplemente la existencia de algunas derivadas parciales en un punto. La continuidad de las primeras derivadas parciales en una vecindad es una condición suficiente. Para una composición f(x(t),y(t)), la regla de la cadena da f_x x′+f_y y′. Las segundas derivadas pueden introducir términos directos y mixtos; que una derivada mixta sea cero no impone restricción alguna sobre las segundas derivadas puras.
Una integral múltiple suma contribuciones sobre una región especificada. Describa la región antes de elegir los límites iterados; los límites no rectangulares pueden cambiar cuando se invierte el orden. En coordenadas polares, el área es r dr dtheta, no solo dr dtheta. Un cambio de coordenadas general utiliza el determinante absoluto del jacobiano. El signo pertenece a cantidades vectoriales orientadas, mientras que el factor de escala para área y volumen usa un valor no negativo.
Si ambas derivadas parciales de una función definida globalmente en R² son constantes, f_x=a y f_y=b, la integración sucesiva da f=ax+by+c, un plano. Esto no puede inferirse solo a partir de conjuntos de nivel paralelos: e^x tiene líneas de nivel verticales paralelas pero una gráfica curva. Tampoco f_xy=f_yx=0 fuerza un plano: x²+y² es un contraejemplo. Distinga la constancia de la primera derivada de la ausencia de dependencia mixta y de la forma de los conjuntos de nivel seleccionados.
