T.1 · Análisis real y topología

Preparación de GRE para grado universitario. Objetivos locales dentro del alcance revisado de ETS; esto es enseñanza original, no una prueba oficial ni un predictor de puntuación.

Requisitos previos: Enunciados cuantificados, desigualdades, secuencias y funciones continuas.

• Aplicar definiciones de límite de secuencia y función
• Distinguir compacidad, conectividad y completitud
• Usar razonamiento de espacio métrico y topología elemental

compacidad: Toda cobertura abierta tiene una subcubierta finita.

supremum: El menor cota superior de un conjunto.

Un enunciado epsilon–delta controla todas las entradas suficientemente cercanas. El orden de los cuantificadores importa.

En el espacio euclídeo real, los conjuntos cerrados y acotados son compactos. No aplicar esta equivalencia a cada espacio métrico.

Las imágenes continuas de conjuntos compactos son compactas, por lo que una función continua real en un dominio compacto alcanza sus extremos.

La conectividad excluye una separación en partes abiertas disjuntas no vacías. La continuidad preserva la conectividad; la completitud es una propiedad separada.

f(x)=x en (0,1) es continua y acotada pero nunca iguala su supremo 1. En [0,1], la misma función alcanza su máximo en 1. El extremo faltante explica por qué el teorema de dominio compacto no aplica al primer caso.

La conclusión de un teorema no puede usarse antes de verificar sus hipótesis.

Demostrar la continuidad de $f(x)=x^2$ en 2 usando una elección explícita epsilon–delta. Explicar por separado por qué alcanza un mínimo en $[1,3]$.

Solución resuelta

Dado $\epsilon>0$, elige $\delta=\min(1,\epsilon/5)$. Si $|x-2|<\delta$, entonces $1<x<3$, por lo tanto $|x+2|<5$.

La elección depende de epsilon, no de la entrada posterior x. El intervalo $[1,3]$ es no vacío y compacto en la métrica real ordinaria. La continuidad garantiza extremos alcanzados. Aquí $x^2\ge1$, con igualdad en 1, por lo que el mínimo es 1.

En el espacio métrico $X=(0,1)$ con distancia ordinaria, ¿es X acotado? ¿Es cerrado en sí mismo? ¿Es compacto o completo? Explique por qué no se puede aplicar Heine–Borel aquí.

Verificar después de intentar

X está acotado y es cerrado relativo a sí mismo (su complemento en X es vacío). La sucesión de Cauchy $1/(n+2)$ no tiene límite en X, así que X no es completo, por consiguiente no es compacto. Directamente, la cobertura abierta relativa $\{(1/n,1):n\ge2\}$ cubre X pero no tiene subcubierta finita. Heine–Borel requiere ser cerrado y acotado como subconjunto del espacio euclidiano; X no es cerrado en $\mathbb R$. Una hipótesis de teorema no puede cambiar su espacio ambiente durante la demostración.