C.8 · Fase trigonométrica y curvas paramétricas

Preparación de GRE para grado universitario. Objetivos locales dentro del alcance revisado de ETS; esto es enseñanza original, no una prueba oficial ni un predictor de puntuación.

Prerrequisitos: Trigonometría en radianes, derivadas y parametrización de curvas.

• Distinguir amplitud, frecuencia angular, ángulo de fase y desplazamiento horizontal
• Eliminar un parámetro conservando su dominio y dirección de trazado
• Usar derivadas paramétricas sin asumir que una tangente vertical es estacionaria

ángulo de fase: El desfase angular dentro del argumento de una función periódica, definido módulo de un periodo completo.

curva paramétrica: Una curva cuyas coordenadas se especifican como funciones de un parámetro compartido.

Para y=A cos(ωx−φ) con A>0 y ω>0, la amplitud es A, el periodo es 2π/ω, y el desplazamiento horizontal es φ/ω. El ángulo de fase φ se mide dentro del argumento del coseno; no es en sí mismo el desplazamiento horizontal a menos que ω=1. Comience con el espaciamiento pico a pico para el periodo y la distancia de línea media a pico para la amplitud. Para encontrar la fase, sustituya un punto conocido y verifique la dirección de movimiento allí. Fases equivalentes difieren en 2π.

Para y=−2 cos(3x), reescriba el modelo con amplitud positiva como 2 cos(3x−π). Su amplitud es 2, período 2π/3, y fase π; el desplazamiento equivalente hacia la derecha es π/3. Los picos ocurren donde 3x−π es un múltiplo de 2π. Un punto gráfico en x=0 e y=0 por sí solo no puede determinar la fase de forma única: las pendientes u otro punto distinguen los ángulos posibles. Las unidades y las convenciones angulares importan; las derivadas trigonométricas estándar del cálculo usan radianes.

Una curva paramétrica especifica x=x(t), y=y(t). Eliminar t describe un conjunto de puntos pero puede perder restricciones y dirección. Para x=cos³t, y=sin³t, las raíces cúbicas reales dan |x|^(2/3)+|y|^(2/3)=1, una astroido con cúspides sobre los ejes. A medida que t varía de 0 a 2π, comienza en (1,0), pasa por (0,1) en π/2 y se recorre en sentido antihorario. Restringir t a [0,π/2] da solo el arco del primer cuadrante, no toda la locus implícita.

Cuando dx/dt≠0, dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt). Una tangente horizontal generalmente requiere dy/dt=0 y dx/dt≠0; una tangente vertical invierte generalmente esas condiciones. Si ambos se anulan, inspeccione un límite o la expansión local en lugar de tomar 0/0 como pendiente. Para x=t²,y=t³ en t=0, el cociente para t≠0 es 3t/2 y tiende a cero: el cuspid tiene una tangente horizontal. Una velocidad de parámetro cero no es por sí sola un máximo o mínimo local de y como función de x.

Para y=−2 cos(3x), los mínimos incluyen x=0 y los máximos incluyen x=π/3. La representación de fase 2 cos(3x−π) produce los mismos valores. Para x=2 cos t,y=sin t, la eliminación da x²/4+y²=1; en t=π/4, dx/dt=−√2 y dy/dt=√2/2, por lo tanto pendiente −1/2. El intervalo completo de parámetros [0,2π] recorre la elipse una vez en sentido antihorario.

El ángulo de fase y el desplazamiento horizontal difieren por el factor de frecuencia. Una ecuación implícita puede añadir partes no trazadas de una curva. Si ambas derivadas paramétricas se anulan, usar razonamiento local en lugar de etiquetar cada tal punto como un extremo.

Para $y=-3\cos(2x)$, indique amplitud, periodo, una representación de fase con amplitud positiva y el desplazamiento horizontal correspondiente. Parametrize la elipse $x^2/9+y^2/4=1$ en sentido antihorario.

Solución resuelta

La amplitud es tres y el período $2\pi/2=\pi$. Escriba $y=3\cos(2x-\pi)$, con fase $\pi$ y desplazamiento hacia la derecha $\pi/2$. La fase y el desplazamiento no son lo mismo. Una parametrización es $x=3\cos t,y=2\sin t$, $0\le t\le2\pi$, que comienza en $(3,0)$ y inicialmente se mueve hacia arriba. Eliminar t verifica la ecuación elíptica.

Para $x=t^2,y=t^3$ sobre $-1\le t\le1$, determine la recta trazada y la tangente en t=0. ¿Demuestra la velocidad paramétrica nula que no hay tangente? ¿La ecuación implícita sola retiene toda la restricción paramétrica?

Verificar después de intentar

La eliminación da $y^2=x^3$, con $0\le x\le1$ y ambos signos de y. Para t distinto de cero, $dy/dx=3t/2\to0$. La pendiente de la secante desde el origen es $y/x=t\to0$ también, así que la cúspide tiene tangente horizontal. Ambas derivadas paramétricas se anulan en cero, haciendo que el cociente bruto $0/0$ sea inconclusivo, no demostrando la ausencia de una tangente. La ecuación implícita sin restricciones también tiene puntos con x>1; la restricción del intervalo debe llevarse separadamente.