T.9 · Similitud, escalado y loci de distancia cónica

Preparación de GRE para grado universitario. Objetivos locales dentro del alcance revisado de ETS; esto es enseñanza original, no una prueba oficial ni un predictor de puntuación.

Requisitos previos: Triángulos semejantes, fórmula de distancia y ecuaciones cuadráticas.

• Empareje los vértices de los triángulos por ángulos iguales antes de formar una proporción de lados
• Aplique factores de escala de longitud, área y volumen a cambios geométricos
• Identifique condiciones de distancia cónica y conserve una rama hiperbólica con signo

semejanza: Igualdad de ángulos correspondientes y un factor de proporcionalidad común de longitudes correspondientes.

foco: Un punto fijo utilizado en una definición de distancia cónica.

Los triángulos son semejantes cuando sus ángulos correspondientes coinciden; entonces sus razones de lados correspondientes también son iguales. Escriba explícitamente la correspondencia de vértices. Si el triángulo APQ tiene ángulo A igual al ángulo A de ABC y ángulo P igual al ángulo C, su correspondencia ordenada es A↔A, P↔C, Q↔B. Así, AP/AC=AQ/AB=PQ/CB. El lado AP yace sobre AB pero corresponde a AC; emparejar según dónde yace un lado o según la letra P puede dar la razón incorrecta.

Con un factor de escala de longitud común k>0, las longitudes se multiplican por k, las áreas por k² y los volúmenes por k³. Un aumento del 30% en la longitud significa k=1.30, por lo tanto un aumento del área de 1.30²−1=0.69, o 69%; no es 60%. Para sólidos semejantes con una razón de volúmenes de 27, la razón de longitudes es 3 y la razón de áreas superficiales 9. Los cambios porcentuales y las diferencias absolutas son cantidades distintas; escriba la razón de nuevo a antiguo antes de convertirla a porcentaje.

Un círculo fija la distancia a un punto. Una elipse fija la suma de distancias a dos focos. Una hipérbola fija la diferencia absoluta de esas distancias; una parábola fija la igualdad de distancia a un foco y a una directriz. Estas son definiciones de conjuntos de puntos, no bocetos para memorizar. Para focos (−c,0) y (c,0), una elipse usa una suma 2a con a>c. Una hipérbola no degenerada usa una diferencia absoluta 2a con 0<a<c; una diferencia con signo distingue sus dos ramas.

Para la hipérbola con eje transversal horizontal, c²=a²+b² y la ecuación es x²/a²−y²/b²=1. Sea r_A la distancia a (−c,0) y r_B la distancia a (c,0). La condición r_A−r_B=2a>0 selecciona la rama derecha x≥a; la condición negativa selecciona la izquierda. Elevar al cuadrado puede perder este signo, así que verifique la condición de distancia original después de obtener la ecuación. Diferencia cero da la mediatriz en lugar de una hipérbola; una diferencia que excede la separación focal es imposible por la desigualdad triangular.

Sea AB=10, AC=15 y BC=20. Un punto P en AB tiene AP=6, y Q en AC hace que el ángulo APQ sea igual al ángulo ACB. Entonces AP/AC=6/15=2/5, por lo que PQ=8 y AQ=4. Por separado, focos en (−5,0),(5,0) y distancia-izquierda menos distancia-derecha igual a 6 dan a=3, b²=25−9=16: x²/9−y²/16=1 con x≥3. El punto (−3,0) satisface la ecuación cuadrática pero falla la condición signada.

Empareje ángulos antes que lados. Los porcentajes de área usan el cuadrado del factor de longitud. Una ecuación de distancia al cuadrado puede describir ambas ramas incluso cuando el problema original pide solo una.

Los sólidos semejantes tienen una razón de áreas superficiales 9:25. Encuentre sus razones correspondientes de longitud y volumen. Explique por qué importa emparejar los vértices antes de formar una razón de triángulos.

Solución resuelta

Tomar raíces cuadradas positivas da la razón de longitudes 3:5. Elevar al cubo da la razón de volúmenes 27:125. La razón de áreas no es en sí misma una escala lineal. Los vértices correspondientes deben coincidir con ángulos iguales; de lo contrario, las razones pueden comparar lados no relacionados. La semejanza es una suposición aquí; las razones de áreas por sí solas no demuestran que sólidos arbitrarios sean semejantes.

Para focos $A=(-5,0)$ y $B=(5,0)$, encuentra la locución $|PA|-|PB|=6$. Deriva su ecuación estándar, elige su rama y verifica el vértice en la relación sin elevar al cuadrado. ¿Qué sucede si la diferencia solicitada es 12?

Verificar después de intentar

Escriba $r_A=\sqrt{(x+5)^2+y^2}$ y $r_B=\sqrt{(x-5)^2+y^2}$. La condición original es $r_A-r_B=6$. Dado que $r_A^2-r_B^2=20x$, multiplicar la diferencia de distancias por su suma da $r_A+r_B=10x/3$. Por lo tanto $r_B=5x/3-3$, que debe ser no negativo. Elevando al cuadrado esta igualdad se obtiene $(x-5)^2+y^2=(5x/3-3)^2$. Expandiendo y agrupando términos se llega a $16x^2/9-y^2=16$. Así, la semidistancia focal es c=5, la semidiferencia es a=3, y la hipérbola es $x^2/9-y^2/16=1$, usando $b^2=c^2-a^2=16$. La diferencia positiva original selecciona la rama derecha $x\ge3$. En $(3,0)$ las distancias son 8 y 2, con una diferencia de seis; en $(-3,0)$ la diferencia es -6. Elevar al cuadrado solo conserva esta rama inválida. Una diferencia de 12 excede $|AB|=10$ y es imposible según la desigualdad triangular inversa.