Un límite describe valores cerca de un punto, sin requerir que la función esté definida allí. La continuidad añade el requisito de que el valor de la función existe y coincide con el límite. La cancelación algebraica es válida solo lejos del cero cancelado, pero puede revelar un límite evitable. Los límites laterales deben coincidir para un límite bilateral. Para límites de cociente, revise el denominador y las hipótesis antes de aplicar una regla; 0/0 es una forma indeterminada, no una respuesta.
Una derivada es un límite de cocientes diferenciales e implica continuidad; la implicación inversa no se cumple, como muestra |x| en cero. Las reglas del producto, cociente y cadena describen estructuras diferentes: la derivada de f(g(x)) es f′(g(x))g′(x), no el producto de valores no relacionados. Diferenciar una composición por segunda vez generalmente produce dos términos. Verifique los dominios, los denominadores distintos de cero y las suposiciones de diferenciabilidad antes de usar una expresión simbólica como derivada.
El teorema fundamental establece que la derivada de ∫ desde a hasta x de un integrando continuo f(t) es f(x). Con un límite superior variable h(x), multiplique por h′(x); con dos límites variables, restar la contribución correspondiente del límite inferior. Una integral definida también surge como un límite de sumas de Riemann. Reescriba la suma como (1/n)Σf(k/n) antes de identificar la integral en [0,1], en lugar de tratar los términos dependientes de n como constantes.
Por ejemplo, Σ desde k=1 hasta n de n/(n²+k²) es igual a (1/n)Σ1/(1+(k/n)²), tendiendo a ∫₀¹1/(1+t²)dt=π/4. Este límite usa la continuidad y el ancho de partición 1/n. Una serie sobre un número ilimitado de términos es un límite diferente: que los términos tiendan a cero no garantiza por sí solo la convergencia. Para Σ1/k, las sumas parciales divergen; compare, estime o aplique una prueba válida de series en lugar de usar la condición necesaria de término como suficiente.
