A.4 · Anillos, ideales y módulos

Preparación de GRE para grado universitario. Objetivos locales dentro del alcance revisado de ETS; esto es enseñanza original, no una prueba oficial ni un predictor de puntuación.

Requisitos previos: Anillos, cuerpos, subgrupos aditivos y homomorfismos.

• Distinguir unidades, divisores de cero y dominios integrales
• Identificar ideales e interpretar anillos cociente
• Comparar módulos sobre anillos con espacios vectoriales sobre cuerpos
• Derivar propiedades de anillos booleanos sin asumir conmutatividad

ideal: Un subgrupo aditivo de un anillo que absorbe la multiplicación por todos los elementos del anillo.

torsión: Un elemento es aniquilado por un escalar no nulo en el módulo indicado.

Para los ejemplos de dominio, ideal y cociente a continuación, utilice un anillo conmutativo con identidad 1 distinto de 0. Un problema de origen puede especificar un anillo general; no asuma que su multiplicación es conmutativa salvo que se indique o demuestre. Una unidad tiene inverso multiplicativo. Un divisor de cero no nulo multiplica algún elemento no nulo para dar cero. Un dominio integral no tiene tales divisores de cero; por tanto, la cancelación de un factor no nulo es válida. Un campo es un dominio en el que todo elemento no nulo es una unidad. Z es un dominio pero no un campo; Z/6Z es ni uno ni otro.

Un ideal I es un subgrupo aditivo que absorbe la multiplicación por cada elemento del anillo. Esto es más fuerte que ser un subanillo. En Z, nZ es un ideal; los elementos del cociente son clases de residuos enteros módulo n. En un anillo conmutativo, R/I es un campo si y solo si I es maximal, y es un dominio si y solo si I es primo. El ideal debe ser propio en ambas afirmaciones.

Un módulo permite escalares procedentes de un anillo en lugar de requerir un campo. Todo grupo abeliano es un Z-módulo mediante suma repetida, pero no necesariamente posee base de espacio vectorial. En Z/6Z como Z-módulo, 6 veces el residuo no nulo 1 es cero; esto es torsión. Para un espacio vectorial sobre un campo, un escalar no nulo es invertible y no puede anular un vector no nulo.

Un submódulo es cerrado bajo suma y todas las acciones permitidas por escalares. Un homomorfismo lineal de módulos preserva ambos. El núcleo y la imagen son submódulos, y el cociente respecto al núcleo es isomorfo a la imagen. No aplique la relación rango-nulidad de dimensión finita a un módulo arbitrario sin establecer un contexto adecuado de módulos libres; las operaciones elementales por filas sobre enteros y sobre campos permiten divisiones diferentes. En un anillo booleano general, todo a satisface a²=a. No asuma conmutatividad para demostrarlo: la idempotencia de a+a da 4a=2a, luego 2a=0. Expandir (a+b)²=a+b da ab+ba=0, y la característica dos hace que −ba=ba; por tanto ab=ba. La idempotencia no implica nilpotencia: en F2, el elemento no nulo 1 satisface 1^n=1 para todo entero positivo n.

En Z/6Z, 2·3=0, por lo que 2 y 3 son divisores de cero. Las unidades son 1 y 5 porque su mcd con 6 es 1. En Z, el ideal 5Z da el campo Z/5Z, mientras que 6Z produce un cociente con divisores de cero. Como módulos Z, la imagen de Z en Z/6Z tiene núcleo 6Z; el cociente identifica enteros que difieren en un múltiplo de 6, en lugar de generar un espacio vectorial real.

Un conjunto puede ser un submódulo sin ser un espacio vectorial sobre los racionales. La división escalar solo es válida cuando el inverso del escalar pertenece a la estructura.

En $\mathbb Z/12\mathbb Z$, enumere las unidades y los divisores de cero no nulos. ¿Es el ideal $(4)$ primo o maximal?

Solución resuelta

Las unidades son los residuos coprimos con 12: $1,5,7,11$. Los residuos no nulos restantes $2,3,4,6,8,9,10$ son divisores de cero. Para cada tal a, $a\cdot(12/\gcd(a,12))=0$ módulo 12, con el segundo factor no nulo. El ideal $(4)=\{0,4,8\}$ da un cociente isomorfo a $\mathbb Z/4\mathbb Z$. Esto no es un dominio, ya que $2\cdot2=0$, y tampoco es un campo. Por lo tanto, el ideal no es ni primo ni maximal.

Como módulo $\mathbb Z$, ¿puede ser libre $\mathbb Z/6\mathbb Z$? Compare los ideales $(2)$ y $(x)$ en $\mathbb Z$ y $\mathbb Q[x]$, respectivamente, usando sus cocientes.

Verificar después de intentar

Un módulo libre no nulo sobre $\mathbb Z$ no tiene vectores no nulos aniquilados por un entero no nulo; examine cada coordenada entera. Pero $6[1]=0$ en $\mathbb Z/6\mathbb Z$. No es libre; un argumento de base estilo campo es inválido. $\mathbb Z/(2)\cong\mathbb F_2$ es un campo, así que $(2)$ es maximal y primo. La evaluación en cero mapea $\mathbb Q[x]$ sobre $\mathbb Q$ con kernel $(x)$; su cociente también es un campo. Ambos argumentos usan ideales propios en anillos conmutativos con identidad.