Campos gravitatorios

Definición

Un campo gravitatorio 重力场 es una región en la que una masa 质量 experimenta una fuerza 力 debida a otras masas. La intensidad del campo gravitatorio 重力场强度 $g$ en un punto es la fuerza gravitatoria por unidad de masa sobre una pequeña masa de prueba 检验质量 colocada allí:

Unidad: $\text{N kg}^{-1}$ (lo mismo que $\text{m s}^{-2}$ —la aceleración de caída libre en el campo). $g$ es un vector 矢量, apuntando en la dirección de la fuerza —hacia la masa fuente.

La redacción del examinador. Un campo gravitatorio es una región del espacio en la que una masa experimenta una fuerza. La intensidad del campo gravitatorio en un punto es la fuerza gravitatoria por unidad de masa actuando sobre una pequeña masa de prueba colocada en ese punto. La dirección de una línea de campo en un punto es la dirección de la fuerza sobre una (pequeña) masa de prueba colocada allí. Las tres son definiciones de un solo punto; "fuerza por unidad de masa" es la frase clave para obtener el puntaje, "la fuerza sobre 1 kg" no lo es.

Líneas de campo

Un campo gravitatorio se representa con líneas de campo 场线 que indican la dirección de la fuerza sobre una masa de prueba:

• alrededor de una masa puntual 质点 o una esfera uniforme (tratada como una masa puntual desde el exterior), las líneas de campo son radiales 径向, apuntando hacia adentro.
• cerca de la superficie terrestre sobre un área pequeña, las líneas de campo son casi paralelas y equiespaciadas, apuntando recto hacia abajo —un campo uniforme 匀强场.

Las líneas más cercanas indican un campo más fuerte.

Por qué $g$ es constante cerca de la superficie, en términos de líneas de campo (una explicación de dos puntos): sobre una región cuyo tamaño es pequeño comparado con el radio de la Tierra, las líneas de campo radiales son casi paralelas y su espaciado apenas cambia con la altura, por lo que la intensidad del campo —que representa el espaciado— es casi la misma en la parte superior de la región que en la inferior. Sobre todo el planeta, las líneas se dispersan con la distancia y el campo disminuye.

Ejemplo resuelto. Un punto P representa una masa puntual. Dibuje líneas para representar el campo gravitatorio alrededor de P, e indique qué muestra la dirección de una línea.

Líneas radiales rectas, equiespaciadas alrededor de P, con flechas apuntando hacia adentro hacia P. La dirección de una línea es la dirección de la fuerza sobre una pequeña masa de prueba colocada allí —siempre hacia la masa que produce el campo, porque la gravedad solo atrae.

Para dos masas puntuales $m_{1}, m_{2}$ separadas por una distancia $r$, la fuerza sobre cada una es

tirando de ellas juntas a lo largo de la línea que las une. Esta es la ley de gravitación de Newton 万有引力定律. La constante $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^{2}\ \text{kg}^{-2}$ es la constante de gravitación universal 万有引力常量.

En palabras, según lo que pide el esquema de corrección: la fuerza gravitatoria entre dos masas puntuales es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de su separación —ambas proporcionalidades, y "masas puntuales". Si se pide "enunciar la ecuación y el significado de cualquier otro símbolo", dé $F = Gm_{1}m_{2}/r^{2}$ con $G$ la constante gravitacional y $r$ la distancia entre los centros.

Ejemplo resuelto. Dos esferas uniformes aisladas, cada una de masa $1.0 \times 10^{3}\ \text{kg}$, tienen sus centros separados $2.0\ \text{m}$. Calcule la fuerza gravitatoria entre ellas y comente sobre su magnitud.

$F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 1.0 \times 10^{3} \times 1.0 \times 10^{3}}{2.0^{2}} = 1.7 \times 10^{-5}\ \text{N}$. Esto corresponde a aproximadamente $10^{-9}$ del peso de cada esfera ($9.8 \times 10^{3}\ \text{N}$): la gravedad entre objetos cotidianos es despreciable, y solo una masa del tamaño de un planeta produce un campo notable. "Aisladas" en una pregunta significa que no se necesitan considerar otras masas.

Esferas tratadas como masas puntuales

Para una esfera uniforme (como un planeta o una estrella), el campo en cualquier punto externo es igual al de una masa puntual igual a la masa total ubicada en el centro. Por lo tanto, desde arriba de la superficie, puede tratar la Tierra como una masa puntual en su centro. (Los puntos dentro de una esfera son diferentes y no están en el programa.)

Entre dos masas, los campos se restan y los potenciales se suman. La intensidad del campo es un vector: en la línea que une dos esferas, los dos campos apuntan en direcciones opuestas, por lo que hay un punto donde se cancelan y el campo resultante es cero. El potencial es un escalar: los dos potenciales simplemente se suman, y ambos son negativos, por lo que el potencial es menos negativo (un máximo) en el punto donde el campo es cero.

Ejemplo resuelto. Dos esferas uniformes aisladas idénticas X e Y, cada una de masa $M$ y radio $R$, tienen sus centros separados por una distancia $L$. El punto P se encuentra sobre la línea que une los centros. Indique dónde en la línea la intensidad del campo resultante es cero, y encuentre el potencial gravitatorio allí.

Por simetría, los campos de X e Y son iguales y opuestos en el punto medio, $L/2$ de cada centro, por lo que el campo resultante es cero allí. El potencial en P es la suma $\phi = -\dfrac{GM}{L/2} - \dfrac{GM}{L/2} = -\dfrac{4GM}{L}$. Una masa liberada en P permanecería allí; una masa liberada en cualquier otro lugar de la línea cae hacia la esfera más cercana.

Intensidad de campo de una masa puntual

Sustituya la fuerza gravitatoria sobre una masa de prueba $m$ a una distancia $r$ de una masa puntual $M$ en $g = F/m$:

Así, $g$ disminuye según $1/r^{2}$ a medida que se aleja de la fuente.

La deducción de dos marcas. La fuerza sobre una masa de prueba $m$ a una distancia $r$ de una masa puntual $M$ es $F = GMm/r^{2}$ (ley de Newton). La intensidad del campo es fuerza por unidad de masa, $g = F/m$, por lo tanto $g = GM/r^{2}$. Escriba ambas líneas: la ley y la definición constituyen las dos marcas. Dado que $g \propto 1/r^{2}$, reducir a la mitad la distancia hace que el campo sea cuatro veces más intenso: a una distancia $x/2$ el campo es $4g$, en la misma dirección, hacia $M$.

Ejemplo resuelto. Calcule la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de la Tierra. (Masa de la Tierra $M = 6.0 \times 10^{24}\ \text{kg}$, radio $R = 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}$, $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^{2}\ \text{kg}^{-2}$.)

Por qué $g$ es casi constante cerca de la superficie de la Tierra

El radio de la Tierra es $R \approx 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}$. Ascender a una altura $h$ cambia la distancia desde el centro de $R$ a $R + h$. Para $h \ll R$ (cualquier edificio o montaña), $(R + h)/R \approx 1$, por lo que $g$ apenas cambia —pasar de $5\ \text{m}$ a $10\ \text{m}$ de altura altera $r$ en aproximadamente una parte por millón. En el laboratorio, $g$ es efectivamente constante.

Para un satélite 卫星 de masa $m$ en una órbita 轨道 circular de radio $r$ alrededor de un cuerpo de masa $M$, la gravedad proporciona la fuerza centrípeta 向心力:

Simplifique $m$ (la velocidad orbital no depende de la masa del satélite):

Ejemplo resuelto. Un satélite orbita la Tierra en una órbita circular de radio $r = 7.0 \times 10^{6}\ \text{m}$. Calcule su velocidad orbital. (Para la Tierra, $GM = 4.0 \times 10^{14}\ \text{m}^{3}\ \text{s}^{-2}$.)

El período 周期 se deduce de $T = 2\pi r / v$:

Esta es la tercera ley de Kepler 开普勒第三定律 para órbitas circulares: $T^{2} \propto r^{3}$. Una gráfica de $T^{2}$ frente a $r^{3}$ es una línea recta que pasa por el origen con pendiente $4\pi^{2}/(GM)$, por lo que los datos orbitales permiten determinar la masa central.

Derivación de dos marcas, tal como la plantean los exámenes. Para un satélite de masa $m$ en una órbita circular de radio $R$ y período $T$ alrededor de un planeta de masa $M$: la fuerza gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta, $\dfrac{GMm}{R^{2}} = mR\omega^{2}$, y $\omega = 2\pi/T$; así $\dfrac{GM}{R^{2}} = \dfrac{4\pi^{2}R}{T^{2}}$, lo que da $T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}R^{3}}{GM}$. Para una órbita a una altura $h$ sobre un planeta de radio $R_{\text{p}}$, el radio orbital es $R_{\text{p}} + h$, por lo tanto $T^{2} = 4\pi^{2}(R_{\text{p}} + h)^{3}/GM$: una gráfica de $T^{2}$ frente a $(R_{\text{p}} + h)^{3}$ es una línea recta que pasa por el origen cuya pendiente permite obtener $M$.

Ejercicio resuelto. El satélite X, de masa $M_{\text{s}}$, orbita un planeta a una distancia $4R$ desde su centro; el satélite Y, de masa $2M_{\text{s}}$, orbita a $3R$. Compare sus velocidades, períodos y energías cinéticas.

De $v = \sqrt{GM/r}$, $\dfrac{v_{\text{Y}}}{v_{\text{X}}} = \sqrt{\dfrac{4R}{3R}} = 1.15$: Y se mueve más rápido, y las masas de los satélites no intervienen. De $T \propto r^{3/2}$, $\dfrac{T_{\text{Y}}}{T_{\text{X}}} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^{3/2} = 0.65$. La energía cinética $= \tfrac{1}{2}mv^{2} = \dfrac{GMm}{2r}$, por lo que $\dfrac{E_{\text{Y}}}{E_{\text{X}}} = \dfrac{2M_{\text{s}}/3R}{M_{\text{s}}/4R} = \dfrac{8}{3}$. En preguntas de proporciones cancele primero $G$, $M$ y la masa del satélite; solo sobreviven los radios y las masas que son diferentes.

Estrellas binarias. Dos estrellas de masas $M_{\text{A}}$ y $M_{\text{B}}$ separadas una distancia $d$ orbitan su centro de masa 质心 común, siempre en lados opuestos del mismo, con el mismo período. El centro de masa divide $d$ en la razón inversa de las masas, $M_{\text{A}}r_{\text{A}} = M_{\text{B}}r_{\text{B}}$ con $r_{\text{A}} + r_{\text{B}} = d$, y la misma fuerza gravitacional $GM_{\text{A}}M_{\text{B}}/d^{2}$ es la fuerza centrípeta sobre cada estrella.

Ejemplo resuelto. Una estrella binaria consiste en la estrella A, masa $4.0 \times 10^{30}\ \text{kg}$, y la estrella B, masa $2.0 \times 10^{30}\ \text{kg}$, con sus centros $3.3 \times 10^{11}\ \text{m}$ separados. Calcule la distancia de A al centro de masa y el período de la órbita.

$M_{\text{A}}r_{\text{A}} = M_{\text{B}}r_{\text{B}}$ con $r_{\text{A}} + r_{\text{B}} = 3.3 \times 10^{11}$ da $r_{\text{A}} = \dfrac{2.0}{6.0} \times 3.3 \times 10^{11} = 1.1 \times 10^{11}\ \text{m}$ (y $r_{\text{B}} = 2.2 \times 10^{11}\ \text{m}$). Para la estrella A: $\dfrac{GM_{\text{A}}M_{\text{B}}}{d^{2}} = M_{\text{A}}r_{\text{A}}\omega^{2}$, por lo tanto $\omega^{2} = \dfrac{GM_{\text{B}}}{d^{2}r_{\text{A}}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 2.0 \times 10^{30}}{(3.3 \times 10^{11})^{2} \times 1.1 \times 10^{11}} = 1.1 \times 10^{-14}\ \text{s}^{-2}$, $\omega = 1.06 \times 10^{-7}\ \text{rad s}^{-1}$ y $T = 2\pi/\omega = 6.0 \times 10^{7}\ \text{s}$, aproximadamente $1.9$ años. Usar $d$ en la fuerza pero $r_{\text{A}}$ en el término centrípeto es todo el punto de la pregunta.

Órbita geoestacionaria

Un satélite geoestacionario 地球同步:

• permanece directamente sobre el mismo punto de la Tierra (por lo que una antena fija siempre apunta hacia él),
• tiene un período de 24 horas (el mismo que la rotación de la Tierra),
• orbita de oeste a este (en la misma dirección en que gira la Tierra),
• debe estar directamente sobre el ecuador 赤道.

Debe tener la misma velocidad angular 角速度 que la Tierra, en la misma dirección, en el plano ecuatorial (de lo contrario se desviaría norte-sur durante el día). De $T = 24\ \text{h}$ y $T^{2} = 4\pi^{2} r^{3}/(GM)$, el radio es $r \approx 4.2 \times 10^{7}\ \text{m}$ (aproximadamente $3.6 \times 10^{7}\ \text{m}$ sobre la superficie).

Ejemplo resuelto. Calcule el radio de una órbita geoestacionaria alrededor de la Tierra ($M = 5.98 \times 10^{24}\ \text{kg}$), y explique por qué un satélite con el mismo radio orbital y período podría no ser geoestacionario.

$T = 24 \times 3600 = 8.64 \times 10^{4}\ \text{s}$; $r^{3} = \dfrac{GMT^{2}}{4\pi^{2}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.98 \times 10^{24} \times (8.64 \times 10^{4})^{2}}{4\pi^{2}} = 7.5 \times 10^{22}\ \text{m}^{3}$, por lo tanto $r = 4.2 \times 10^{7}\ \text{m}$ — una altura de aproximadamente $3.6 \times 10^{7}\ \text{m}$ sobre la superficie. Un satélite con este período es geoestacionario solo si su órbita está en el plano del ecuador y viaja de oeste a este; con el mismo período en una órbita inclinada (sobre los polos, por ejemplo) vuelve al mismo punto cada día, pero no siempre está sobre él. Marte gira una vez en aproximadamente $25$ horas, por lo que un satélite que permanezca sobre un punto de Marte tiene un período de $25$ horas y las mismas dos otras características.

El potencial gravitatorio 引力势 $\phi$ en un punto es el trabajo realizado por unidad de masa para traer una pequeña masa de prueba desde infinito 无穷远 hasta ese punto:

Unit: $\text{J kg}^{-1}$.

Se toma el potencial como cero en el infinito. A medida que la masa de prueba cae hacia la fuente, la gravedad realiza el trabajo por usted, por lo que $\phi$ es negativo en todas partes excepto en el infinito. Para una masa puntual $M$ a una distancia $r$:

$\phi$ es un escalar. Para varias masas, se suman los potenciales.

La definición de dos marcas, y por qué es negativa. El potencial gravitatorio en un punto es el trabajo realizado por unidad de masa al traer una pequeña masa de prueba desde el infinito hasta ese punto. El potencial se define como cero en el infinito; la gravedad es atractiva, por lo que cuando la masa de prueba entra desde el infinito, el campo realiza trabajo sobre ella y la masa emite energía —el trabajo que debe realizar un agente externo es negativo*. Por consiguiente, el potencial a cualquier distancia finita es inferior a cero. (El potencial eléctrico cerca de una carga positiva es positivo por la razón opuesta: ese campo repele, por lo que se debe realizar trabajo para acercar una carga de prueba positiva.)

Similitudes y diferencias con el potencial eléctrico. Ambos se definen como el trabajo realizado por unidad de masa o por unidad de carga positiva desde el infinito; ambos son escalares; ambos varían según $1/r$ desde una fuente puntual y ambos son cero en el infinito. La diferencia: el potencial gravitatorio es siempre negativo, porque la gravedad solo atrae, mientras que el potencial eléctrico puede ser positivo o negativo dependiendo del signo de la carga.

Lectura de una gráfica de potencial. Aparecen dos gráficos en las preguntas. En $\phi$ frente a $r$ la curva es $-GM/r$: el valor superficial $\phi_{\text{s}} = -GM/R$ proporciona la masa del planeta, y la pendiente en cualquier punto da la intensidad del campo allí, ya que $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$ —la intensidad del campo es el negativo del gradiente de potencial (esta es la "relación entre potencial e intensidad de campo" que puede pedir una pregunta). En $\phi$ frente a $1/r$ el gráfico es una línea recta que pasa por el origen con pendiente $-GM$, que es la forma más sencilla de extraer $M$.

Ejercicio resuelto. La Luna es una esfera uniforme aislada de masa $7.3 \times 10^{22}\ \text{kg}$ y radio $1.7 \times 10^{6}\ \text{m}$. Calcule el potencial gravitatorio en su superficie y la velocidad mínima con la que una partícula debe salir de la superficie para escapar.

$\phi = -\dfrac{GM}{R} = -\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.3 \times 10^{22}}{1.7 \times 10^{6}} = -2.9 \times 10^{6}\ \text{J kg}^{-1}$. Para escapar, la energía cinética por unidad de masa de la partícula debe igualar la profundidad del pozo de potencial: $\tfrac{1}{2}v^{2} = 2.9 \times 10^{6}$, por lo tanto $v = \sqrt{2 \times 2.9 \times 10^{6}} = 2.4 \times 10^{3}\ \text{m s}^{-1}$. El signo menos tiene el significado: la energía de $2.9\ \text{MJ}$ por kilogramo debe suministrarse para elevar la partícula hacia afuera.

Energía potencial gravitatoria de dos masas puntuales

Si una masa de prueba $m$ se encuentra donde el potencial es $\phi$, la energía potencial gravitatoria 重力势能 del par es

Al igual que el potencial, $E_{\text{P}}$ es negativo y alcanza cero únicamente a separación infinita. Las masas más cercanas tienen mayor energía potencial negativa (más fuertemente ligadas).

Vinculación con $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$

Para cambios pequeños de altura cerca de la superficie, $r$ apenas cambia, por lo que $\Delta E_{\text{P}} \approx mg\Delta h$. Para cambios grandes (un satélite moviéndose a una órbita más alta) use $-GMm/r$ en cada radio y tome la diferencia:

que es positivo (se debe suministrar energía para elevar el satélite).

Ejercicio resuelto. Un satélite de masa $1200\ \text{kg}$ se mueve de una órbita circular de radio $7.0 \times 10^{6}\ \text{m}$ a otra de radio $8.0 \times 10^{6}\ \text{m}$ alrededor de la Tierra ($GM = 4.0 \times 10^{14}\ \text{m}^{3}\ \text{s}^{-2}$). Encuentre los cambios en su energía potencial gravitatoria, su energía cinética y su energía total.

$\Delta E_{\text{P}} = GMm\left(\dfrac{1}{r_{1}} - \dfrac{1}{r_{2}}\right) = 4.0 \times 10^{14} \times 1200 \times \left(\dfrac{1}{7.0 \times 10^{6}} - \dfrac{1}{8.0 \times 10^{6}}\right) = +8.6 \times 10^{9}\ \text{J}$. En una órbita circular $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2}mv^{2} = \dfrac{GMm}{2r}$, por lo tanto $\Delta E_{\text{K}} = \dfrac{GMm}{2}\left(\dfrac{1}{r_{2}} - \dfrac{1}{r_{1}}\right) = -4.3 \times 10^{9}\ \text{J}$: el satélite más alto se mueve más lentamente. La energía total $E_{\text{K}} + E_{\text{P}} = -\dfrac{GMm}{2r}$ aumenta en $+4.3 \times 10^{9}\ \text{J}$, que es la energía que debe suministrar el motor del cohete. La energía total de un satélite es negativa —está ligado— y se vuelve menos negativa a medida que la órbita se ensancha.

Velocidad de escape (por conservación de la energía)

Para escapar desde el radio $r$ hasta el infinito, la energía cinética 动能 de un objeto debe igualar el tamaño de su energía potencial gravitatoria:

En la superficie de la Tierra, la velocidad de escape 逃逸速度 es $\approx 11\ \text{km s}^{-1}$. No depende de la masa del objeto.

Ejemplo resuelto. Calcule la velocidad de escape desde la superficie de la Tierra. (Para la Tierra, $GM = 4.0 \times 10^{14}\ \text{m}^{3}\ \text{s}^{-2}$, $R = 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}$.)

Ejemplo resuelto. Una partícula se proyecta verticalmente hacia arriba desde la superficie de un planeta aislado de radio $R$, donde el potencial gravitatorio es $\phi_{\text{s}}$. Demuestre que alcanza a una distancia $r$ del centro si su velocidad de lanzamiento $v$ satisface $\tfrac{1}{2}v^{2} = -\phi_{\text{s}}\left(1 - \dfrac{R}{r}\right)$, y deduzca la velocidad de escape.

El potencial varía como $1/r$, por lo que a una distancia $r$ es $\phi_{\text{s}}R/r$. Cuando la partícula se detiene, su energía cinética por unidad de masa se ha convertido totalmente en energía potencial por unidad de masa: $\tfrac{1}{2}v^{2} = \phi(r) - \phi_{\text{s}} = \phi_{\text{s}}\dfrac{R}{r} - \phi_{\text{s}} = -\phi_{\text{s}}\left(1 - \dfrac{R}{r}\right)$, que es positiva porque $\phi_{\text{s}}$ es negativa. Al hacer $r \to \infty$ se obtiene $\tfrac{1}{2}v_{\text{esc}}^{2} = -\phi_{\text{s}} = GM/R$ —el resultado de la velocidad de escape—, que ahora se lee directamente del potencial.

Una pregunta de definición se califica según un texto fijo. Aprende estas definiciones exactamente, y da solo una respuesta.

• Ley de gravitación de Newton $F = GMm/r^2$ (inversa al cuadrado); intensidad de campo $g = GM/r^2$ —y cite la derivación en dos líneas, la ley y la definición de $g$.
• Distinga el potencial gravitatorio ($\phi = -GM/r$, siempre negativo, cero en el infinito) de la intensidad de campo; $g$ es el gradiente negativo de la gráfica $\phi$–$r$.
• Para una órbita igualé la gravedad $=$ a la fuerza centrípeta para obtener $T^2 \propto r^3$; una órbita geoestacionaria tiene $T = 24\ \text{h}$ más dos características adicionales: sobre el ecuador, de oeste a este.
• Use el radio orbital (centro a centro, $R_{\text{p}} + h$), nunca la altura, y para una estrella binaria use la separación $d$ en la fuerza pero el radio orbital $r_{\text{A}}$ en el término centrípeto.
• Los cambios de energía provienen de $-GMm/r$ en cada radio; para una órbita circular $E_{\text{K}} = GMm/2r$ y la energía total es $-GMm/2r$.

Errores comunes

• Definir el potencial como "fuerza por unidad de masa" o la intensidad del campo como "trabajo realizado por unidad de masa". Invertirlos y se pierden ambas marcas.
• Decir que el potencial es negativo "porque la gravedad atrae" y detenerse ahí. La marca requiere el argumento del trabajo: cero en el infinito, y el campo realiza el trabajo a medida que la masa se acerca.
• Usar la altura sobre la superficie como $r$ en $GM/r^{2}$ o $T^{2} \propto r^{3}$. Sumar primero el radio del planeta.
• Escribir la ley de Kepler como $T \propto r$ o $T^{2} \propto r^{2}$. Debe ser $T^{2} \propto r^{3}$: una línea recta solo al graficar $T^{2}$ contra $r^{3}$.
• Hacer que "geoestacionario" signifique únicamente "período de 24 horas". Sin el plano ecuatorial y la dirección de oeste a este, no es geoestacionario.
• Olvidar que la energía cinética de un satélite disminuye cuando se eleva a una órbita más alta, aunque se haya suministrado energía.