Movimiento circular

El radian 弧度 es el ángulo formado en el centro de un círculo por un arco 弧 cuya longitud es igual al radio. Para un arco de longitud $s$ en un círculo de radio $r$, el ángulo en radianes es

Los radianes no tienen unidad (es una razón de longitudes). Un círculo completo tiene $s = 2\pi r$, por lo tanto $\theta = 2\pi\ \text{rad}$. Una semicircunferencia es $\pi\ \text{rad}$; un cuarto de círculo es $\pi/2\ \text{rad}$.

Para convertir: $1\ \text{rad} = 180°/\pi \approx 57.3°$. Configure su calculadora en radianes para este tema; el modo "grados" dará respuestas incorrectas.

La definición de un punto. El radian es el ángulo subtendido en el centro de un círculo por un arco cuya longitud es igual al radio del círculo. Déjelo en palabras — $\theta = s/r$ solo no es una definición — y mantenga $s = r\theta$ listo para convertir una distancia a lo largo del arco en un ángulo, o viceversa.

Un objeto se mueve en un círculo de radio $r$ a velocidad constante $v$. Definir:

• desplazamiento angular 角位移 $\theta$ — el ángulo (en radianes) girado por el radio desde una línea inicial elegida.
• velocidad angular 角速度 $\omega$ — la tasa de cambio del desplazamiento angular.

Para movimiento uniforme, $\omega$ es constante y

Unit: $\text{rad s}^{-1}$.

Qué permanece constante y qué varía. En el movimiento circular uniforme, la velocidad (módulo), la velocidad angular, el período y la magnitud de la aceleración son constantes; la velocidad vectorial, el desplazamiento desde el centro y la aceleración cambian continuamente, porque su dirección cambia. Si le piden que "indique dos cantidades que varían", dé dos de velocidad, aceleración, desplazamiento y momento lineal —y diga que es la dirección la que varía.

Período y frecuencia

Si el objeto da una vuelta completa ($2\pi\ \text{rad}$, una revolución 圈) en tiempo $T$ (el período 周期), entonces

donde $f = 1/T$ es la frecuencia 频率 de giro (Hz).

Velocidad lineal y angular

En un período $T$, el objeto recorre una distancia $2\pi r$ (la circunferencia 周长) a velocidad constante, por lo tanto

Esto vincula la velocidad lineal (tangencial 切向) $v$ con la velocidad angular $\omega$. A mayor radio (para la misma velocidad angular), la velocidad lineal es mayor —un niño en el borde de un tiovivo se mueve más rápido que uno cerca del centro, aunque ambos den una vuelta completa en el mismo tiempo.

Ejemplo resuelto. Un carrusel de radio $4.0\ \text{m}$ completa una vuelta cada $8.0\ \text{s}$. Encuentre su velocidad angular y la velocidad lineal de un pasajero en el borde.

Ejemplo resuelto. El minutero de un reloj da una vuelta cada hora. Un trozo de plastilina sobre el minutero se mueve una distancia total de $0.44\ \text{m}$ en $1400\ \text{s}$. Encuentre la velocidad angular del minutero, el ángulo que gira la plastilina en ese tiempo y su distancia desde el centro del reloj.

$\omega = 2\pi/T = 2\pi/3600 = 1.75 \times 10^{-3}\ \text{rad s}^{-1}$. Desplazamiento angular $\theta = \omega t = 1.75 \times 10^{-3} \times 1400 = 2.44\ \text{rad}$. Distancia a lo largo del arco $s = r\theta$, así que $r = s/\theta = 0.44/2.44 = 0.18\ \text{m}$. Comprobación: $v = s/t = 3.1 \times 10^{-4}\ \text{m s}^{-1}$ y $r\omega = 0.18 \times 1.75 \times 10^{-3} = 3.1 \times 10^{-4}\ \text{m s}^{-1}$ — lo mismo. Una trampa común en estos problemas es medir el radio desde el borde: un bloque a $1.2\ \text{cm}$ hacia adentro del borde de un disco de $9.3\ \text{cm}$ se mueve en un círculo de radio $8.1\ \text{cm}$.

Ejemplo resuelto. Una cadena de bicicleta pasa alrededor de un piñón de pedales de radio $0.095\ \text{m}$ y un piñón trasero de radio $0.038\ \text{m}$. Los pedales giran a $1.2$ revoluciones por segundo. Encuentre la velocidad de la cadena y la velocidad angular del piñón trasero. Luego se mueve la cadena a un piñón trasero más pequeño mientras la velocidad de la bicicleta se mantiene igual; explique, sin cálculos, qué sucede con la velocidad angular de los pedales.

Velocidad angular de los pedales $\omega_{1} = 2\pi \times 1.2 = 7.5\ \text{rad s}^{-1}$. Cada eslabón de la cadena se mueve a la velocidad del borde del piñón de pedales: $v = r_{1}\omega_{1} = 0.095 \times 7.5 = 0.72\ \text{m s}^{-1}$. El borde del piñón trasero se mueve a la misma velocidad, así que $\omega_{2} = v/r_{2} = 0.72/0.038 = 19\ \text{rad s}^{-1}$. Con la velocidad de la bicicleta sin cambios, la rueda trasera mantiene la misma velocidad angular; por lo tanto, el borde del piñón más pequeño se mueve más despacio ($v = r\omega$ con una $r$ menor), así que la cadena se mueve más despacio, y el piñón de pedales, impulsado por la misma cadena, gira a una velocidad angular menor.

Un objeto que se mueve en un círculo a velocidad constante aún tiene una velocidad 速度 cambiante —su dirección sigue cambiando, aunque su magnitud permanezca igual. Una velocidad cambiante requiere una aceleración 加速度. Esta aceleración apunta hacia el centro y es la aceleración centrípeta 向心加速度.

La descripción de dos puntos. En el movimiento circular uniforme, la velocidad es constante pero la velocidad vectorial cambia continuamente, porque su dirección cambia; la aceleración es constante en magnitud y siempre está dirigida hacia el centro del círculo, perpendicular a la velocidad. "Indique lo que se entiende por aceleración centrípeta": la aceleración de un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria circular, dirigida hacia el centro del círculo.

Magnitud

Las dos formas son iguales porque $v = r\omega$. Elija la que tenga las cantidades correspondientes.

La aceleración centrípeta es perpendicular 垂直 a la velocidad en cada instante —nunca a lo largo de la dirección del movimiento. (Si parte de ella estuviera a lo largo del movimiento, la velocidad cambiaría). Unidad: $\text{m s}^{-2}$.

Por qué no cambia la velocidad. La fuerza centrípeta es perpendicular al desplazamiento en cada instante, por lo que no realiza trabajo sobre el objeto; su energía cinética, y por tanto su velocidad, permanecen constantes. Solo cambia la dirección de la velocidad —lo cual es exactamente lo que hace una aceleración perpendicular a la velocidad.

Ejemplo resuelto. La Tierra es una esfera de radio $6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$ que rota una vez en $24$ horas. Cambridge está a latitud 纬度 $52.2°$ norte. Encuentre el radio del círculo en el que se mueve Cambridge, su velocidad y su aceleración centrípeta. Un estudiante de masa $58.6\ \text{kg}$ está parado en una báscula de baño allí; indique y explique el efecto de la rotación en la lectura.

El círculo es alrededor del eje, así que $r = R\cos\lambda = 6.37 \times 10^{6} \times \cos 52.2° = 3.90 \times 10^{6}\ \text{m}$. $\omega = 2\pi/(24 \times 3600) = 7.27 \times 10^{-5}\ \text{rad s}^{-1}$, así que $v = r\omega = 284\ \text{m s}^{-1}$ y $a = r\omega^{2} = 3.90 \times 10^{6} \times (7.27 \times 10^{-5})^{2} = 2.1 \times 10^{-2}\ \text{m s}^{-2}$. El estudiante necesita una fuerza resultante $ma = 1.2\ \text{N}$ hacia el eje, que solo puede provenir de que el peso exceda la fuerza de contacto hacia arriba; así que la báscula marca menos que el peso $mg = 575\ \text{N}$ —por aproximadamente un newton (la aceleración tiene una componente $a\cos\lambda = 0.013\ \text{m s}^{-2}$ a lo largo de la vertical, es decir, $0.7\ \text{N}$ de los $1.2\ \text{N}$). Pequeño, pero el signo y la razón son los puntos.

Por la segunda ley de Newton, la fuerza 力 resultante sobre un cuerpo en movimiento circular a velocidad constante es

Esta es la fuerza centrípeta 向心力. Siempre apunta hacia el centro —perpendicular a la velocidad.

La fuerza centrípeta no es un tipo nuevo de fuerza —es el resultado neto de las fuerzas reales que actúan (tensión, gravedad, fricción, atracción eléctrica, fuerza normal de contacto, …). En un problema, determine qué fuerza(s) real(es) la proporcionan.

Ejemplo resuelto. Una bola de $0.20\ \text{kg}$ atada a una cuerda se hace girar en un círculo horizontal de radio $0.50\ \text{m}$ a $3.0\ \text{m s}^{-1}$. Encuentre la fuerza centrípeta (la tensión en la cuerda).

De dónde proviene la fuerza centrípeta

• Bola atada a una cuerda en un círculo horizontal: la tensión 张力 en la cuerda.
• Coche girando en una curva plana: la fricción 摩擦力 entre neumáticos y carretera ($F = m v^{2}/r$). Si el coche va demasiado rápido, la fricción no es suficiente y derrapa hacia afuera.
• Curva peraltada 倾斜 (sin fricción): la componente horizontal de la fuerza normal de contacto 支持力; $\tan\theta = v^{2}/(rg)$ para el ángulo que no necesita fricción.
• Un planeta o satélite 卫星 en órbita 轨道: la atracción gravitacional 引力, $G M m / r^{2} = m v^{2}/r$.
• Electrón 电子 en una órbita circular (modelo estilo Bohr): la atracción electrostática 静电 entre el electrón y el núcleo positivo nucleus 原子核:

donde $k = 1/(4\pi\varepsilon_{0})$ y $Z$ es la carga nuclear. Resuelva para $v$ para obtener la velocidad orbital; luego $T = 2\pi r/v$.

La fuerza inclinada: péndulo cónico, cono y carrusel de sillas

Una bola atada a una cuerda que se balancea en un círculo horizontal (un péndulo cónico 圆锥摆), una bola rodando por el interior de un cono liso, una silla en un carrusel de sillas y un coche en una pista peraltada son todos el mismo problema: una fuerza (la tensión o la fuerza normal de contacto) está inclinada en un ángulo $\theta$ respecto a la vertical. Descomponla. Su componente vertical equilibra el peso; su componente horizontal es toda la fuerza centrípeta:

Nunca añada una flecha de "fuerza centrípeta" separada al diagrama: las dos fuerzas reales son el peso y la fuerza inclinada, y su resultante es horizontal, hacia el centro.

Ejemplo resuelto. Una bola de acero se mueve en un círculo horizontal de radio $0.12\ \text{m}$ sobre la superficie interior lisa de un cono cuya superficie forma $52°$ con la horizontal. Nombre las dos fuerzas sobre la bola, indique la dirección de su resultante y encuentre la velocidad de la bola y el período de su movimiento.

Las fuerzas son el peso (verticalmente hacia abajo) y la fuerza normal de contacto de la superficie del cono (perpendicular a la superficie, así que a $52°$ respecto a la vertical); su resultante es horizontal, hacia el centro del círculo. Verticalmente $N\cos 52° = mg$; horizontalmente $N\sin 52° = mv^{2}/r$. Dividiendo: $v^{2} = rg\tan 52° = 0.12 \times 9.81 \times 1.28 = 1.51$, así que $v = 1.2\ \text{m s}^{-1}$, y $T = 2\pi r/v = 2\pi \times 0.12/1.23 = 0.61\ \text{s}$. La masa se cancela —la velocidad no depende de ella.

Ejemplo resuelto. Una esfera de masa $0.29\ \text{kg}$ cuelga de un resorte con constante elástica $40\ \text{N m}^{-1}$ y longitud sin estirar de $6.0\ \text{cm}$. Se pone en movimiento en un círculo horizontal de modo que el resorte forme $30°$ con la vertical. Encuentre la tensión, el radio del círculo y la velocidad.

Verticalmente $T\cos 30° = mg$, así que $T = 0.29 \times 9.81/0.866 = 3.3\ \text{N}$. La elongación es $x = T/k = 3.28/40 = 0.082\ \text{m}$, así que la longitud del resorte es $0.060 + 0.082 = 0.142\ \text{m}$ y $r = 0.142\sin 30° = 0.071\ \text{m}$. Horizontalmente $T\sin 30° = mv^{2}/r$: $v^{2} = 3.28 \times 0.5 \times 0.071/0.29 = 0.40$, $v = 0.63\ \text{m s}^{-1}$. La ley de Hooke suministra la longitud; el círculo suministra el resto.

Círculos verticales

Cuando el círculo está vertical, la velocidad no es constante (la gravedad realiza trabajo) —pero en cada instante la fuerza neta hacia el centro sigue siendo igual a $m v^{2}/r$:

• en la parte inferior de un bucle: tensión hacia arriba, peso 重力 hacia abajo, así que $T - mg = m v^{2}/r$ —la tensión es máxima aquí.
• en la parte superior de un bucle: la tensión y el peso apuntan ambos hacia abajo (hacia el centro), así que $T + mg = m v^{2}/r$ —la tensión es mínima. Para la velocidad más lenta en la parte superior con la cuerda apenas tensa, haga $T = 0$: $mg = m v_{\text{min}}^{2}/r$, dando $v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$.

Ejemplo resuelto. Un coche da una vuelta en un bucle vertical de radio $2.0\ \text{m}$. Encuentre la velocidad mínima en la parte superior para que el coche mantenga el contacto con la pista (tome $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

A la velocidad más lenta, la fuerza de la pista es cero, así que solo la gravedad proporciona la fuerza centrípeta: $mg = m v_{\text{min}}^{2}/r$, dando $v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$:

El resultado de velocidad constante ($v = r\omega$, $\omega$ constante) se aplica a círculos horizontales, o donde la fuerza solo dobla la trayectoria (órbitas en gravedad, cargas en un campo magnético 磁场).

Círculos en campos

Ejemplo resuelto. Un átomo de helio se modela como un núcleo de carga $+2e$ con dos electrones en la misma órbita circular de radio $170\ \text{pm}$, siempre en lados opuestos del núcleo. Encuentre la fuerza eléctrica resultante sobre un electrón y su velocidad.

Cada electrón es atraído por el núcleo a una distancia $r$, y repulsado por el otro electrón a una distancia $2r$, a lo largo de la misma línea: $F = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\dfrac{2e^{2}}{r^{2}} - \dfrac{e^{2}}{(2r)^{2}}\right) = \dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}} \times 1.75 = \dfrac{2.31 \times 10^{-28}}{(1.7 \times 10^{-10})^{2}} \times 1.75 = 1.4 \times 10^{-8}\ \text{N}$. Esta es la fuerza centrípeta: $v = \sqrt{Fr/m} = \sqrt{1.40 \times 10^{-8} \times 1.7 \times 10^{-10}/(9.11 \times 10^{-31})} = 1.6 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$.

Ejemplo resuelto. Un protón (masa $1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$) que se mueve a $2.0 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$ entra en un campo magnético uniforme de densidad de flujo $0.50\ \text{T}$ perpendicularmente al campo. Encuentre el radio de su trayectoria y el tiempo para una revolución.

La fuerza magnética $Bqv$ es siempre perpendicular a la velocidad, por lo que es una fuerza centrípeta y la velocidad es constante: $Bqv = mv^{2}/r$ da $r = \dfrac{mv}{Bq} = \dfrac{1.67 \times 10^{-27} \times 2.0 \times 10^{6}}{0.50 \times 1.60 \times 10^{-19}} = 4.2 \times 10^{-2}\ \text{m}$, y $T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi m}{Bq} = 1.3 \times 10^{-7}\ \text{s}$ — independiente de la velocidad, por eso un protón más rápido describe un círculo más grande en el mismo tiempo. Para un satélite, la fuerza gravitacional cumple el mismo papel: $\dfrac{GMm}{r^{2}} = mr\omega^{2}$, y la velocidad orbital y el período se derivan de $r$ solo.

1. Encuentre el radio $r$ y elija $v$ u $\omega$. Use $v = r\omega$ para cambiar entre ellos.
2. Encuentre la aceleración centrípeta con $a = v^{2}/r$ o $r\omega^{2}$.
3. Liste las fuerzas reales y escriba la segunda ley de Newton en la dirección radial 径向 (hacia el centro es positivo). Iguale la fuerza neta hacia adentro a $m v^{2}/r$.
4. Para período o frecuencia: use $\omega = 2\pi/T$, o $T = 2\pi r / v$.
5. Verifique las direcciones: la fuerza y la aceleración centrípeta apuntan al centro; la velocidad es a lo largo de la tangente.

Una pregunta de definición se califica según un texto fijo. Aprende estas definiciones exactamente, y da solo una respuesta.

• Trabaje en radianes; la velocidad angular $\omega = 2\pi/T = v/r$, y la longitud de arco $s = r\theta$ convierte una distancia a lo largo del círculo en un ángulo.
• Aceleración centrípeta $a = v^2/r = \omega^2 r$; la fuerza neta actúa hacia el centro —es proporcionada por tensión/gravedad/fricción/fuerza de contacto, no por una fuerza extra.
• Indique siempre qué proporciona la fuerza centrípeta en la situación dada, y para una fuerza inclinada descompóngala: componente vertical $= mg$, componente horizontal $= mv^{2}/r$.
• Lea el radio cuidadosamente: un punto medido desde el borde se mueve en un círculo más pequeño; un punto en la Tierra en rotación se mueve en un círculo alrededor del eje, radio $R\cos\lambda$.
• Dos engranajes en una misma cadena comparten la velocidad de la cadena; dos puntos en una misma rueda rígida comparten su velocidad angular.

Errores comunes

• Definir el radian como "$180/\pi$ grados" o como $\theta = s/r$. El punto requiere que el arco sea igual en longitud al radio.
• Decir que la velocidad es constante en el movimiento circular uniforme. La velocidad (módulo) es constante; la velocidad cambia de dirección, por eso hay una aceleración.
• Dibujar una flecha de "fuerza centrípeta" como una fuerza adicional junto a la tensión o la fuerza de contacto. Es su resultante, no una tercera fuerza.
• Usar grados en $\omega t$ o $v = r\omega$. Todas las fórmulas en este tema asumen radianes.
• Olvidar que la fuerza no realiza trabajo: una fuerza perpendicular al movimiento cambia la dirección, no la velocidad, por lo que la energía cinética es constante.
• Tomar $r$ como el radio de la Tierra para un punto en latitud $\lambda$. El círculo es alrededor del eje, así que $r = R\cos\lambda$.