C.3 · المعادلات التفاضلية والشروط الأولية

GRE Subject Test · GRE Mathematics · الموضوع 8

عرض الشرائح تدريب

النطاق والشروط المسبقة

تحضير GRE للطلاب الجامعيين. أهداف محلية ضمن نطاق ETS المراجَع؛ هذا تعليم أصلي، وليس اختباراً رسمياً أو تنبئاً بالدرجات.

المستلزمات: التفاضل، التكامل، الدوال الأسية والمعادلات التربيعية.

حل المعادلات التفاضلية الخطية من الرتبة الأولى قابلة للفصل
حل المعادلات التفاضلية الخطية من الرتبة الثانية ذات المعاملات الثابتة
استخدام الشروط الأولية وشروط التوحيد

شرط أولي: قيمة للحل أو للمشتقة محددة عند نقطة البداية.

الجذر المميز: جذر كثيرة الحدود التي تحكم الحلول الأسية.

مفردات تدريب

English	العربية
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/	شرط ابتدائي
characteristic root/ˌkærɪktəˈrɪstɪk ruːt/	جذر مميز

اختيار وتبرير طريقة

بالنسبة لـ y′=ky، يعطي الفصل والتكامل y=Ce^(kt)؛ استعد الحل الصفري إذا تم القسمة على y. تحدد القيمة الابتدائية الثابت C.

المعادلة الخطية من الرتبة الثانية ذات المعاملات الثابتة تستخدم كثير حدود مميز. الجذورDistinct تعطي دوال أسية؛ والجذر المكرر يتطلب (C1+C2t)e^(rt).

الجذور المركبة α±iβ تعطي e^(αt)(C1 cos βt+C2 sin βt). الحركة الحقيقية تتضمن معلومات السعة والطور معاً.

الوجود والوحيد يعتمدان على الفرضيات القريبة من النقطة الابتدائية. معامل مفرد أو فشل في سلوك Lipschitz المحلي قد يلغي الاستنتاج المعتاد للوحدانية.

استنتاج محلول

حل y″+4y=0 مع الشروط y(0)=3 و y′(0)=4. جذور المعادلة المميزة هي ±2i، لذا تكون y=A cos2t+B sin2t. يعطيك الشرط الأول A=3؛ وبإجراء الاشتقاق نحصل على y′(0)=2B=4، ومنه B=2.

رسوم بيانية لـ e^(2t) و t·e^(2t) من أجل t من 0 إلى 1 — جذر مكرر 2 يعطي الحلين المستقلين e^(2t) و t·e^(2t)

شروط وضد الأمثلة

الجذر المميز المكرر يحتاج إلى عامل t؛ نسختان من نفس الأسّي ليستا حلين مستقلين.

تطبيق موجه

حل $y''-4y'+4y=0$ باستخدام $y(0)=1$ و$y'(0)=0$. تحقق من كلا الشرطين الابتدائيين والمعادلة.

حل نموذجي

كثير الحدود المميز هو $(r-2)^2$. الحلول المستقلة هي $e^{2t}$ و$te^{2t}$، وبالتالي $y=(C_1+C_2t)e^{2t}$. القيمة الابتدائية تعطي $C_1=1$؛ المشتقة عند الصفر تعطي $2C_1+C_2=0$، إذن $C_2=-2$.

$$y(t)=(1-2t)e^{2t},\quad y'(t)=-4te^{2t},\quad y''(t)=(-4-8t)e^{2t}.$$

التعويض يعطي $y''-4y'+4y=0$، وتتحقق القيمتان الابتدائيتان. نسختان من $e^{2t}$ لن تغطيا فضاء الحل.

النقل المستقل

أثبت أن مسألة القيمة الابتدائية $y'=2\sqrt{|y|}$، $y(0)=0$ لها أكثر من حل لـ $t\ge0$. حدد فرضية الوحدانية القياسية المفقودة.

تحقق بعد المحاولة

حلول واحد هو صفر متطابق. لأي $a\ge0$، ضع $y_a(t)=0$ من أجل $0\le t\le a$ و$y_a(t)=(t-a)^2$ من أجل $t>a$. المشتقة تساوي صفراً في الفترة الأولى و$2(t-a)$ في الثانية؛ كلا الطرفين له مشتقة صفرية عند a. لذلك $y_a$ قابلة للاشتقاق وتحقق المعادلة والقيمة الابتدائية. الطرف الأيمن مستمر لكنه ليس محلياً Lipschitz بالنسبة لـ y عند الصفر: $|2\sqrt h-0|/|h|=2/\sqrt h$ غير محدود. الوجود لا يستلزم الوحدانية، والقسمة على $\sqrt y$ ستفقد حلول وقت الانتظار.