C.2 · التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات والتحليل الاتجاهي

GRE Subject Test · GRE Mathematics · الموضوع 2

عرض الشرائح تدريب

النطاق والشروط المسبقة

تحضير GRE للطلاب الجامعيين. أهداف محلية ضمن نطاق ETS المراجَع؛ هذا تعليم أصلي، وليس اختباراً رسمياً أو تنبئاً بالدرجات.

المتطلبات المسبقة: مشتقات دالة متغير واحد، الضرب القياسي، والتكامل المتكرر.

احسب المشتقات الجزئية، والدرجات، والمشتقات الاتجاهية
استخدم التكاملات المتعددة وتغيير الإحداثيات
استخدم شروط المشتقة لتمييز المستويات عن الأسطح المنحنية

درجة: متجه المشتقات الجزئية.

جاكوبيان: معامل تمديد المساحة أو الحجم محليًا في تغيير الإحداثيات.

مفردات تدريب

English	العربية
gradient/ˈɡreɪdɪənt/	تدرج
Jacobian/dʒæˈkəʊbɪən/	جاكوبي

اختيار وتبرير طريقة

المشتقة الجزئية تُغيّر إحداثيًا واحدًا بينما تُثبّت البقية. بالنسبة لـ f=x²+3xy، فإن f_x=2x+3y و f_y=3x. تجمع الدرجة هذه المشتقات؛ إذا كانت f قابلة للاختزال، فإن المشتقة الاتجاهية على طول متجه وحدة v هي grad f·v. قم بتوحيد اتجاه المتجه قبل إجراء عملية الضرب القياسي. سيضاعف المتجه الاتجاهي ذو الطول ثنائي الإجابة إذا استُخدم دون توحيد.

القابلية للاختزال تعني تقريبًا خطيًا صالحًا، وليس مجرد وجود بعض المشتقات الجزئية عند نقطة واحدة. استمرارية المشتقات الجزئية الأولى في جوار هي شرط كافٍ. بالنسبة لتكوين f(x(t),y(t))، تعطي قاعدة السلسلة f_x x′+f_y y′. يمكن للمشتقات الثانية أن تُدخل حدودًا مباشرة ومختلطة؛ صفر المشتقة المختلطة وحده لا يفرض أي قيد على المشتقات الثابتة.

التكامل المتعدد يجمع المساهمات فوق منطقة محددة. صف المنطقة قبل اختيار حدود التكامل المتكرر؛ قد تتغير الحدود غير المستطيلة عند تغيير الترتيب. في الإحداثيات القطرية، المساحة هي r dr dtheta، وليس مجرد dr dtheta. يستخدم تغيير الإحداثيات العام المحدد المطلق للجاكوبيان. الإشارة تخص الكميات الاتجاهية الموجهة، بينما تستخدم المساحة وتمدد الحجم عاملًا غير سالب.

إذا كانت كلتا المشتقتين الجزئيتين لدالة مُعرفة عالميًا على R² ثابتتين، f_x=a و f_y=b، فإن التكامل المتتابع يعطي f=ax+by+c، وهو مستوى. لا يمكن الاستنتاج من خطوط المستوى المستقيمة المتوازية وحدها: e^x له خطوط مستوى عمودية متوازية لكن بيانه منحني. ولا تجبر f_xy=f_yx=0 على مستوى: x²+y² مثال مضاد. اميز بين ثبات المشتقة الأولى وغياب الاعتماد المختلط وشكل مستويات المستوى المختارة.

استنتاج محلول

بالنسبة لـ f(x,y)=x²+3y²، فإن grad f=(2x,6y). عند (1,1) هذه هي (2,6). في الاتجاه (3,4)، المتجه الوحدة هو (3/5,4/5)، مما يعطي المشتقة الاتجاهية 2·3/5+6·4/5=6.

تجاوبات إهليلجية لـ x² + 3y²، مع سهم التدرج عند (1, 1) يشير على طول (2, 6) — المدرج (2, 6) عند (1, 1) عمودي على المنحنى ويشير للأعلى

شروط وضد الأمثلة

متجه اتجاه غير وحدوي يعطي معدلًا مقيّسًا، وليس المشتقة لكل وحدة مسافة.

تطبيق موجه

بالنسبة لـ $f(x,y)=x^2+xy+2y^2$، أوجد المشتقة الاتجاهية عند $(1,-1)$ نحو $(3,4)$. قيّم $\iint_D(x^2+y^2)\,dA$ للقرص الوحدة $D$.

حل نموذجي

الكثير الحدود قابل للاختزال. نوّه الاتجاه: $u=(3/5,4/5)$. الدرجة هي $(2x+y,x+4y)$، وبالتالي $(1,-3)$ عند النقطة.

$$D_uf(1,-1)=\nabla f(1,-1)\cdot u=1\cdot3/5-3\cdot4/5=-9/5.$$

تعطي الإحداثيات القطرية $x^2+y^2=r^2$ و $dA=r\,dr\,d\theta$:

$$I=\int_0^{2\pi}\int_0^1r^3\,dr\,d\theta=\pi/2.$$

النقل المستقل

عرّف $g(x,y)=xy/\sqrt{x^2+y^2}$ بعيدًا عن نقطة الأصل و$g(0,0)=0$. كلا المشتقات الجزئية عند نقطة الأصل تساوي صفرًا. هل $g$ قابلة للاشتقاق هناك؟ هل هي متصلة؟

تحقق بعد المحاولة

على طول كل محور $g=0$، وبالتالي كلا المشتقات الجزئية يساوي صفرًا. الاستمرارية تستلزم من $|xy|\le(x^2+y^2)/2$، مما يعطي $|g(x,y)|\le\sqrt{x^2+y^2}/2\to0$. إذا كانت قابلة للاشتقاق، فإن مشتقتها الخطية ستكون صفرًا. على طول $x=y=t\ne0$،

$$\frac{|g(t,t)|}{\sqrt{t^2+t^2}}=\frac12.$$

نسبة الباقي المطلوبة لا تميل إلى الصفر. لذا فإن الاستمرارية ووجود المشتقات الجزئية لا يضمنان القابلية للاشتقاق.