T.2 · الرياضيات المتقطعة والاحتمالات والطرق العددية

تحضير GRE للطلاب الجامعيين. أهداف محلية ضمن نطاق ETS المراجَع؛ هذا تعليم أصلي، وليس اختباراً رسمياً أو تنبئاً بالدرجات.

المسارات المطلوبة: العد المحدود، الاحتمالات الأساسية، المعادلات التكرارية والمشتقات.

• استخدام العد، المعادلات التكرارية، استنتاجات الرسوم البيانية والمنطق
• حساب الاحتمالات وخصائص التوزيع
• تطبيق التقدير العددي وتقييم الخطأ

تكرار: قاعدة تربط حدًا في المتتالية بالحدود السابقة.

متشكّلة حاليًا: أحداث لا يمكن أن تحدث معًا.

اختر نموذج العد أولاً: الاختيارات المرتبة لـ r من كائنات متميزة تستخدم n(n−1)⋯(n−r+1)، بينما المجموعات غير المرتبة تستخدم C(n,r). الرسم البسيط الكامل على n رأس له حافة واحدة لكل زوج غير مرتب من الرؤوس، مما يعطي n(n−1)/2 حافة؛ الحلقات والحواف المتعددة ستغير النموذج. بالنسبة لـ n مستقيم في وضع عام في مستوى، يتقاطع المستقيم k مع المستقيمات الـ k−1 السابقة عند نقاط متميزة ويضيف k مناطق. المجموع الكلي هو 1+n(n+1)/2؛ التوازي أو التلاقى الثلاثي يبطل هذا الحساب.

استخدم المتممات لعد الحد الأدنى من ظهور واحد، وشروط على السكان المتبقين الفعليين بعد السحب بدون إرجاع. بالنسبة لـ r ناتج مستقل ومتطابق موزع (iid) تم اختياره من n قيم متساوية الاحتمال، فإن احتمال أن تكون جميعها متميزة هو n(n−1)⋯(n−r+1)/n^r عندما يكون r≤n. متممته يعد النواتج المكررة. بالنسبة لعدد ذاتي توزيع ثنائي مع N تجارب مستقلة واحتمال نجاح ثابت p، المتوسط هو Np والتباين Np(1−p). تساوي الاحتمالات وحدها لا يثبت الاستقلالية.

يصف التكرار القيم اللاحقة بناءً على القيم السابقة ويتطلب بيانات ابتدائية كافية لتحديد المتتالية. افصل بين المؤشر والقيمة: a_n=2a_(n−1) مع a_0=3 تعطي a_n=3·2^n. غالبًا ما تُثبت الحجج البيانية والخوارزمية التكرار عن طريق تحديد ما يضيفه رأس جديد أو خطوة. يجب أن يحقق الصيغة المغلقة كلًا من التكرار وشروطه الابتدائية؛ ولا يثبت مطابقة عدد قليل من الحدود الملاحظة ذلك لجميع المؤشرات.

التقدير العددي يحتاج إلى حجة خطأ. يحافظ تقسيم الثغرات على قوس متغير الإشارة للدالة المتصلة ويضيق عرضه بنصف كل خطوة؛ قد يكون الجذر غائبًا إذا فشلت الاستمرارية. تحديث نيوتن هو x_new=x−f(x)/f′(x)، ويتطلب مشتقة لا تساوي صفرًا عند النقطة الحالية؛ التقارب ليس تلقائيًا من كل قيمة بداية. باقٍ التقدير وخطؤه في x مختلفان. حدد افتراضات الطريقة ومعيار التوقف، بدلاً من اعتبار الأرقام العشرية الإضافية المعروضة دقة.

بالنسبة لـ f(x)=x²−2 و x₀=1، تعطي خطوة نيوتن 1−(1−2)/2=1.5. القيمة التالية هي 1.5−0.25/3=1.4167. هذه تقارب sqrt(2)، لكن f′(0)=0 تجعل الصفر نقطة بداية غير صالحة.

الأحداث ذات الاحتمالات الموجبة لا يمكن أن تكون مستقلة ومتنافية في آن واحد.

أربع سحب مُصوّغة مستقلة ومتجانسة من خمسة رموز، بالإرجاع. أوجد احتمال أن يتفق سحبان على الأقل. قارن عدد الاختيارات المرتبة وغير المرتبة لأربعة رموز متميزة.

حل نموذجي

هناك $5^4$ سلسلة سحب مرتبة متساوية الاحتمال. عدد السلاسل الخالية من التكرار هو $5\cdot4\cdot3\cdot2=120$.

الاختيارات المرتبة المتميزة عدد 120؛ المجموعات غير المرتبة عدد $\binom54=5$. كل مجموعة تظهر في $4!=24$ ترتيبات. القسمة على $4!$ مناسبة فقط للعد غير المرتب، وليس مقام احتمال السحب.

طبق تقسيم الثغرات على $f(x)=x^3-2$ في $[1,2]$. أعطِ أول قوسين محتفظ بهما وحدًا للخطأ في المنتصف بعد عشر عمليات تقسيم. هل تغيير الإشارة وحده يبرر استخدام تقسيم الثغرات على $1/x$ في $[-1,1]$؟

تحقق بعد المحاولة

الكثير حدود متصل؛ $f(1)<0<f(2)$. نقطة المنتصف الأولى هي $1.5$ ذات قيمة موجبة، محتفظ بـ $[1,1.5]$. التالية هي $1.25$ ذات قيمة سالبة، محتفظ بـ $[1.25,1.5]$. بعد عشر مضاعفات للنصف، العرض هو $2^{-10}$ والمنتصف لذلك القوس المحتفظ به يختلف عن الجذر المحصور بمقدار لا يزيد عن $2^{-11}=1/2048$. حد الخطأ يستخدم القوس، وليس الباقي الصغير وحده. بالنسبة لـ $1/x$، الصفر هو تفرد ولا يوجد جذر. الاستمرارية على القوس تفشل؛ إشارات طرفي القوس المتعاكسة لا تبرر الطريقة.