T.1 · التحليل الحقيقي والطوبولوجيا

تحضير GRE للطلاب الجامعيين. أهداف محلية ضمن نطاق ETS المراجَع؛ هذا تعليم أصلي، وليس اختباراً رسمياً أو تنبئاً بالدرجات.

المسارات المطلوبة: العبارات الكمية، المتباينات، المتتاليات والدوال المستمرة.

• تطبيق تعريفات نهاية المتتالية والدالة
• التمييز بين الانضغاطية والترابط والاكتمال
• استخدام استنتاجات الفضاء المتري والهندسة الطوبولوجية الأساسية

انضغاطي: كل غطاء مفتوح يحتوي على غطاء جزئي محدود.

الحد الأعلى: الحد الأدنى من الحدود العليا لمجموعة ما.

عبارة إيبسيلون-دلتا تتحكم في جميع المدخلات القريبة بما يكفي. ترتيب المكمم مهم.

في الفضاء الإقليدي الحقيقي، المجموعات المغلقة والمحدودة هي انضغاطية. لا تطبق هذا التكافؤ على كل فضاء متري.

صور المجموعات الانضغاطية تحت دالة مستمرة هي انضغاطية، لذا فإن أي دالة حقيقية مستمرة على مجال انضغاطي تصل إلى قيمتها القصوى.

التترابط يستبعد الفصل إلى أجزاء مفتوحة غير فارغة ومنفصلة. الاستمرارية تحافظ على التترابط؛ الاكتمال خاصية منفصلة.

الدالة f(x)=x على (0,1) متصلة ومحدودة لكنها لا تساوي قط supremum 1. على [0,1]، تصل نفس الدالة إلى قيمة عظمى عند 1. يفسر الطرف المفقود لماذا لا ينطبق نظرية المجال المضغوط على الحالة الأولى.

لا يمكن استخدام استنتاج نظرية قبل التحقق من فروضها.

أثبت استمرارية $f(x)=x^2$ عند 2 باستخدام اختيار صريح لإيبسيلون-دلتا. اشرح بشكل منفصل لماذا تصل إلى قيمة حد أدنى على $[1,3]$.

حل نموذجي

بموجب $\epsilon>0$، اختر $\delta=\min(1,\epsilon/5)$. إذا $|x-2|<\delta$، فإن $1<x<3$، وبالتالي $|x+2|<5$.

يعتمد الاختيار على إيبسيلون وليس على المدخل اللاحق x. الفترة $[1,3]$ غير فارغة وانضغاطية في القياس الحقيقي المعتاد. الاستمرارية تضمن الوصول إلى القيم القصوى. هنا $x^2\ge1$، مع المساواة عند 1، لذا فإن الحد الأدنى هو 1.

في الفضاء المتري $X=(0,1)$ بالمسافة العادية، هل X محدودة؟ هل هي مغلقة بالنسبة لنفسها؟ هل هي مضغوطة أو مكتملة؟ اشرح لماذا لا يمكن استخدام نظرية هاين-بورل هنا.

تحقق بعد المحاولة

X محدودة، ومغلقة نسبياً بالنسبة لنفسها (مكملتها في X فارغة). متتالية كوشي $1/(n+2)$ ليس لها حد في X، لذا X ليست مكتملة، وبالتالي ليست مضغوطة. بشكل مباشر، الغطاء المفتوح النسبي $\{(1/n,1):n\ge2\}$ يغطي X لكن ليس له غطاء جزئي محدود. تحتاج نظرية هاين-بورل إلى أن تكون المجموعة مغلقة ومحدودة كجزء من الفضاء الإقليدي؛ X ليست مغلقة في $\mathbb R$. فرضيات النظرية لا يمكن أن تتغير مكانها المحيطي أثناء البرهان.