A.2 · الجبر المجرد ونظرية الأعداد

تحضير GRE للطلاب الجامعيين. أهداف محلية ضمن نطاق ETS المراجَع؛ هذا تعليم أصلي، وليس اختباراً رسمياً أو تنبئاً بالدرجات.

المتطلبات السابقة: الحساب الصحيح، المجموعات، الدوال والإثبات بالمثال المضاد.

• استخدام المجموعات، والمجموعات الجزئية، والموافقات، والهياكل القسمة
• التمييز بين الحلقات، ومجالات التكامل والحقول
• تطبيق القسامة، والتطابقات والنظرية الأولية للأعداد

موافق: خريطة تحفظ العملية المعنية.

حقل: حلقة إبدالية يكون لكل عنصر غير صفري معكوس.

المجموعة تتطلب الانغلاق، والتجميع، والعنصر المحايد، والمعكوسات. الإبدال شرط إضافي.

الموافق يحفظ العملية. نواته مجموعة جزئية عادية ويحدد العناصر التي تتحول إلى العنصر المحايد.

الحقل يسمح بالقسمة على كل عنصر غير صفري. الأعداد الصحيحة تشكل حلقة لكن ليس حقلًا.

اعمل مع التطابقات حسب n. يكون للباقي a معكوض ضربي بالضبط عندما gcd(a,n)=1.

معيارية 8، يمتلك 3 معكوساً هو 3 لأن 3·3=9≡1. لكن 2 ليس له معكوس لأن gcd(2,8)=2. معيارية عدد أولي، كل باقٍ غير صفري يمتلك معكوساً؛ وهذا يعطي حلاً نهائياً.

لا تلغِ عاملاً في المعادلة المودولية دون التحقق من أنه قابل للعكس.

قارن المجموعات الإضافة وهياكل الضرب في $\mathbb Z/5\mathbb Z$ و$\mathbb Z/6\mathbb Z$. اذكر جميع الوحدات الضربية في كل منها. اشرح لماذا لا يؤدي إزالة الصفر دائمًا إلى ترك مجموعة ضرب.

حل نموذجي

كلا مجموعتي الباقي الكامل هما مجموعات إضافية: الانغلاق والتجميع والعنصر المحايد يأتيان من جمع الأعداد الصحيحة، و$-a$ هو معكوس جمعي. الباقي الضربي هو وحدة بالضبط عندما يكون القاسم المشترك الأكبر للمقدار مع المقسم هو واحد. الوحدات حسب خمسة هي $1,2,3,4$؛ حسب ستة هي $1,5$. حسب ستة، $2\cdot3=0$ رغم أن كلا العاملين غير صفريين. المجموعة غير الصفرية ليست مغلقة تحت الضرب حتى. حسب خمسة كل باقي غير صفري له معكوض؛ هذه الحلقة هي حقل. الحلقة، ومجموعتها الإضافة، ومجموعة وحداتها هياكل مختلفة.

خريطة الاختزال $\phi:\mathbb Z\to\mathbb Z/6\mathbb Z$ معطاة بواسطة $\phi(n)=[n]$. حدد نواتها، وصورتها، وقسمتها. حل $2x\equiv2\pmod6$ بالكامل واشرح لماذا يفشل اختصار 2 طبق 6.

تحقق بعد المحاولة

الخريطة تحفظ الجمع والضرب. نواتها هي $6\mathbb Z$ وصورتها هي جميع الباقي الستة. القسم يحدد الأعداد الصحيحة بنفس الباقي، لذا $\mathbb Z/\ker\phi\cong\mathbb Z/6\mathbb Z$. التطابق يعني $6\mid2(x-1)$، أو مكافئًا $3\mid x-1$. ومنه $x\equiv1\pmod3$، مما يعطي باقيات $1$ و$4$ طبق ستة. كلاهما يحل محل صحيح. اختصار 2 مع الاحتفاظ بالمقدار السادس سيستبعد 4؛ 2 ليس له معكوض ضربي هناك.