T.3 · التحليل المركب والمتبقيات

تحضير GRE للطلاب الجامعيين. أهداف محلية ضمن نطاق ETS المراجَع؛ هذا تعليم أصلي، وليس اختباراً رسمياً أو تنبئاً بالدرجات.

المواد المطلوبة: حساب المركبات، المشتقات الجزئية، المتسلسلات والمسارات الموجهة.

• اختبار قابلية الاشتقاق المركب
• استخدام تكاملات المسارات والمتبقيات
• تقييم تكاملات المسارات باستخدام متبقيات الأقطاب البسيطة والأعلى رتبة

تحليلية: قابلة للاشتقاق مركبًا في مجاوراة كاملة.

الباقي: معامل (z−a)^−1 في متسلسلة لورن.

اكتب f(z)=u(x,y)+iv(x,y). يفرض التفاضل المركزي u_x=v_y و u_y=−v_x؛ ومع وجود المشتقات الجزئية الأولى مستمرة محلياً، تُرسخ معادلات كوشي-ريمان التحليلية هناك. وتختلف هذه عن التفاضل الحقيقي للدالة ذات الإحداثيين. الدالة المصاحبة x−iy تفشل في تحقق هذه المعادلات على كل جوار مفتوح، رغم وجود المشتقات الجزئية الحقيقية. صِف المنطقة المراد فحصها، لا نقطة مريحة وحدها.

الدالة التحليلية هي دالة تفاضلية مركزية على كامل الجوار ولها متسلسلة قوى متقاربة محلياً. يمكن ملء التفرد القابل للإزالة تحليلاً إذا كانت الدالة محدودة بالقرب من النقطة المفقودة. القطب له جزء أساسي محدود في متسلسلة لورن؛ والتفرد الأساسي يحتوي على عدد لا نهائي من الحدود ذات الأسس السالبة. الباقي هو معامل (z−a)⁻¹، وليس بالضرورة الحد الأول أو أكبر حد بأس سالب.

بالنسبة لقطب معزول من الرتبة m، اكتب f(z)=g(z)/(z−a)^m حيث g تحليلية عند a. الباقي هو g^(m−1)(a)/(m−1)!. القطب البسيط يستخدم g(a)؛ والقطب المزدوج يستخدم g′(a). وينتج ذلك بفك g إلى متسلسلة تايلور. وهكذا فإن e^z/(z−a)² لها باقي e^a، بينما يكون الباقي صفراً إذا كان البسط ثابتاً والمقام قطباً مزدوجاً نقيّاً. رتبة القطب وحدها لا تحدد التكامل المحوري.

بالنسبة لمنحنى موجّه إيجابياً يحيط بتفردات معزولة، يعطي نظرية الباقي f(z)dz=2πi مضروباً في مجموع البواقي المحتواة، شريطة أن تكون الدالة تحليلية على المنحنى وفي باقي الداخل المطلوب. وعكس التوجيه يغير الإشارة. صيغة مشتقة كوشي هي ∮g(z)/(z−a)^(m+1)dz=2πi g^(m)(a)/m! تحت فرضيات مجال التحليلية الخاصة بها. وجود تفرد على المنحنى يمنع التطبيق المباشر؛ والتفرد الموجود خارج المساهم لا يضيف شيئاً لهذا المنحنى.

بالنسبة لـ f(z)=conjugate(z)، لدينا u=x و v=−y. إذن u_x=1 بينما v_y=−1، مما يعني أن f ليست قابلة للتفاضل المركب. بالنسبة لـ 1/(z−2)، يحيط دائرة موجبة الاتجاه |z−2|=1 بقطب بسيط بمخلفة 1، وبالتالي يكون التكامل 2πi.

الاستمرارية أو التفرد الحقيقي وحده لا يفيد التحليل المركبي.

استخدم معادلات كوشي-رمان لمقارنة $z^2$ و $\overline z$. أوجد باقي $e^z/z^2$ عند الصفر وتكامله حول دائرة الوحدة عكس عقارب الساعة.

حل نموذجي

بالنسبة لـ $z^2$، $u=x^2-y^2$ و $v=2xy$: $u_x=2x=v_y$ و $u_y=-2y=-v_x$. المشتقات الجزئية مستمرة في كل مكان، لذا الدالة تحليلية في كل مكان. أما بالنسبة لـ $\overline z$، $u=x,v=-y$ و $u_x=1\ne-1=v_y$؛ فهي غير تفاضلية مركزية في أي مكان. بما أن $e^z=1+z+z^2/2+\cdots$، فإن معامل $z^{-1}$ في $e^z/z^2$ هو 1. لذلك الباقي هو 1 والتكامل هو $2\pi i$. القطب المزدوج لا يفرض باقی صفراً.

أعد تكامل $1/[z(z-2)]$ حول $|z|=1$، أولاً عكس عقارب الساعة ثم مع عقارب الساعة. هل يمكن استخدام نفس حجة نظرية الباقي على $|z|=2$؟

تحقق بعد المحاولة

الصفر فقط موجود داخل دائرة الوحدة. باقيه هو $\lim_{z\to0}1/(z-2)=-1/2$. بالتالي التكامل عكس عقارب الساعة هو $-\pi i$ والتكامل مع عقارب الساعة هو $\pi i$. القطب عند 2 موجود خارج المسار ولا يساهم بشيء. الدائرة $|z|=2$ تمر عبر قطب. التكامل المحوري العادي غير معرف بهذه الصيغة؛ يتطلب النظرية التحليلية على المنحنى. الانحناء أو وصف القيمة الرئيسية سيكون مشكلة مختلفة ومحددة صراحةً.