التحليل المركب والمخلفات
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| residue/ˈresɪdjuː/ | بقيّة |
| analytic/ˌænəˈlɪtɪk/ | تحليلية |
قرار قبل الإجابة
- قد تفشل الدالة الملساء ذات الإحداثيين الحقيقيين في التفاضل المركب.
- هدفك: اختبار التفاضل المركب.
اقرأ العلاقة
- اكتب f(z)=u(x,y)+iv(x,y). التفرد المرك imposes u_x=v_y و u_y=−v_x؛ مع اشتقاق جزئي مستمر محلياً، تثبت معادلات كوشي-ريميان التحليلية هناك. تختلف عن التفرد الحقيقي لخريطة إحداثيتين. الدالة المرافقة x−iy تفشل هذه المعادلات في كل جوار مفتوح، على الرغم من وجود المشتقات الجزئية الحقيقية. نص المنطقة التي يتم فحصها، وليس فقط نقطة مريحة.
- استخدم التكاملات المتصلة والمخلفات.
The residue of 3/(z−1) at z=1 is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The coefficient of the simple-pole term is 3.
استخدم القاعدة المحددة
- الدالة التحليلية هي تفرد مركبي طوال الجوار ولديها متسلسلة قوى متقاربة محلية. يمكن ملء التفرد القابل للإزالة تحليلاً عندما تكون الدالة محدودة بالقرب من النقطة المفقودة. القطب له جزء رئيسي محدود في متسلسله لورنت؛ التفرد الأساسي يحتوي على عدد لا نهائي من الحدود ذات القوى السالبة. الباقي هو معامل (z−a)⁻¹، ليس بالضرورة الحد الأول أو أكبر حد ذو قوة سالبة.
- احسب التكاملات kontour باستخدام باقي القطوب البسيسة والعالية الرتبة.
A positively oriented circle enclosing only that pole gives integral:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Multiply residue 3 by 2πi.
تحقق من الشروط
- للقطب المعزول من الرتبة m، اكتب f(z)=g(z)/(z−a)^m حيث g تحليلية عند a. الباقي هو g^(m−1)(a)/(m−1)!. القطب البسيط يستخدم g(a)؛ القطب المزدوج يستخدم g′(a). هذا يتبع بتوسع g في متسلسله تايلور. thus e^z/(z−a)² له باقي e^a، بينما البسط الثابت فوق قطب مزدوج نقي له باقي صفر. رتبة القطب وحدها لا تحدد التكامل kontour.
- احسب التكاملات kontour باستخدام باقي القطوب البسيسة والعالية الرتبة.
بالنسبة لـ f(z)=conjugate(z)، لدينا u=x و v=−y. إذن u_x=1 بينما v_y=−1، مما يعني أن f ليست قابلة للتفاضل المركب. بالنسبة لـ 1/(z−2)، يحيط دائرة موجبة الاتجاه |z−2|=1 بقطب بسيط بمخلفة 1، وبالتالي يكون التكامل 2πi.
The residue of 5/z at zero is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The Laurent coefficient of z^-1 is 5.
طبق صيغة المهمة
- لمجموع contoured موجب الاتجاه يحيط بالتفردات المعزولة، يعطي نظرية الباقي ∮f(z)dz=2πi مضروباً في مجموع البواقي المغلقة، بشرط أن تكون الدالة تحليلية على Contour وفي مكان آخر داخل المطلوب. عكس الاتجاه يغير الإشارة. صيغة اشتقاق كوشي هي ∮g(z)/(z−a)^(m+1)dz=2πi g^(m)(a)/m! تحت فرضيات مجالها التحليلي. التفرد على Contour يمنع التطبيق المباشر؛ التفرد الخارجي يساهم بشيء واحد لهذا Contour.
- احسب التكاملات kontour باستخدام باقي القطوب البسيسة والعالية الرتبة.
الاستمرارية أو التفرد الحقيقي وحده لا يفيد التحليل المركبي.
أي إجابة تتناسب مع هذه الحالة؟
اختبار التفاضل المركب
Every continuous complex function is analytic.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Complex differentiability imposes Cauchy–Riemann conditions.
What is the residue of e^(2z)/(z−1)³ at z=1?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
For a triple pole use g″(1)/2! with g(z)=e^(2z). Its second derivative is 4e^(2z), so the residue is 2e².
احتفظ بالتميّزات
- تحليلي (analytic) — قابل للتفاضل المركب في جوار كامل.
- مخلفة (residue) — معامل الحد (z−a)^−1 في متسلسلة لورنتس.
- اختبر قابلية التفاضل المركب.
- استخدم التكاملات المتصلة والمخلفات.
- احسب التكاملات kontour باستخدام باقي القطوب البسيسة والعالية الرتبة.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.