المعادلات التفاضلية والشروط الابتدائية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | شرط ابتدائي |
| characteristic root/ˌkærɪktəˈrɪstɪk ruːt/ | جذر مميز |
قرار قبل الإجابة
- نفس المعادلة التفاضلية تصف عددًا لا نهائي من الحركات حتى تختار الشروط الأولية حركة واحدة.
- هدفك: حل المعادلات التفاضلية المنفصلة المتغيرة من الرتبة الأولى.
اقرأ العلاقة
- بالنسبة للمعادلة y′=ky، يؤدي الفصل والتكامل إلى y=Ce^(kt)؛ استعد الحل الصفري إذا تم القسمة على y. تحدد قيمة ابتدائية الثابت C.
- حل المعادلات من الرتبة الثانية ذات المعاملات الثابتة.
For y′=2y and y(0)=3, the solution is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The initial condition fixes C=3.
استخدم القاعدة المحددة
- تستخدم المعادلة الخطية من الرتبة الثانية ذات المعاملات الثابتة كثيرة حدود مميزة. الجذور المختلفة تُنتج دوال أسية؛ أما الجذر المكرر فيستلزم استخدام الصيغة (C1+C2t)e^(rt).
- استخدم الشروط الابتدائية وشروط التميز.
For a repeated root r=−1, the general solution includes:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The factor t supplies a second independent solution.
تحقق من الشروط
- الجذور المركبة α±iβ تُعطي e^(αt)(C1 cos βt+C2 sin βt). يتضمن الحركة الحقيقية معلومات كل من السعة والطور.
- استخدم الشروط الابتدائية وشروط التميز.
حل y″+4y=0 مع الشروط y(0)=3 و y′(0)=4. جذور المعادلة المميزة هي ±2i، لذا تكون y=A cos2t+B sin2t. يعطيك الشرط الأول A=3؛ وبإجراء الاشتقاق نحصل على y′(0)=2B=4، ومنه B=2.
For y′=3y and y(0)=2, C = ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
At t=0 the exponential is 1.
طبق صيغة المهمة
- يعتمد الوجود والتميز على الفرضيات القريبة من نقطة البداية. قد يُفشل معامل مفرد أو انحراف عن سلوك Lipschitz المحلي في إبطال استنتاج التميز المعتاد.
- استخدم الشروط الابتدائية وشروط التميز.
الجذر المميز المكرر يحتاج إلى عامل t؛ نسختان من نفس الأسّي ليستا حلين مستقلين.
أي إجابة تتناسب مع هذه الحالة؟
حل المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى ذات المتغيرات المنفصلة
Initial conditions can select a unique solution when the relevant uniqueness hypotheses hold.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Check the hypotheses rather than assuming uniqueness at a singular point.
احتفظ بالتميّزات
- شرط ابتدائي — قيمة محدد للحل أو لمشتقه عند نقطة بداية.
- جذر مميز — جذر لكثيرة الحدود التي تحكم الحلول الأسية.
- حل المعادلات من الرتبة الأولى القابلة للفصل.
- حل المعادلات من الرتبة الثانية ذات المعاملات الثابتة.
- استخدم الشروط الابتدائية وشروط التميز.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.