الرياضيات المتقطعة، الاحتمالات والطرق العددية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| recurrence/rɪˈkʌrəns/ | علاقة تكرارية |
| mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ | متباينة |
قرار قبل الإجابة
- الحاسبة تُرجج جذراً، لكن القيمة الابتدائية والمشتقة تحددان ما إذا كانت طريقة نيوتن تستطيع الاقتراب منه.
- هدفك: استخدام العد، والتكرار، واستدلانات الرسوم البيانية والمنطق.
اقرأ العلاقة
- اختر نموذج العد أولاً: الاختيارات المرتبة لـ r كائنات مختلفة تستخدم n(n−1)⋯(n−r+1)، بينما المجموعات غير المرتبة تستخدم C(n,r). الرسم البياني الكامل البسيط الذي يحتوي على n رؤوس يمتلك حافة واحدة لكل زوج من الرؤوس غير المرتبة، مما يعطي n(n−1)/2 حافة؛ الحلقات والحواف المتعددة ستغير النموذج. بالنسبة لـ n خط في وضع عام في مستوى، يتقاطع الخط k مع الخطوط السابقة k−1 في نقاط مميزة ويضيف k مناطق. الإجمالي هو 1+n(n+1)/2؛ التوازي أو التلاقى الثلاثي يبطل هذا العد.
- احسب الاحتمالات وخصائص التوزيع.
How many unordered pairs can be chosen from 5 objects?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
5 choose 2 =5×4/2=10.
استخدم القاعدة المحددة
- استخدم المكملات لعد الحد الأدنى لحدوث واحد، واشترط على العدد الفعلي المتبقي بعد السحب دون إرجاع. لـ r نتائج iid مختارة من n قيم متساوية الاحتمال، احتمالية أن تكون جميعها مختلفة هي n(n−1)⋯(n−r+1)/n^r عندما r≤n. مكملها يعد النتائج المكررة. لعدد توافقي مع N تجارب مستقلة واحتمال نجاح ثابت p، المتوسط هو Np والتباين Np(1−p). تساوي الاحتمالات وحده لا يثبت الاستقلال.
- طبق التقريب العددي وقيّم الخطأ.
A tree has 8 vertices. Its edge count is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A finite tree has n−1 edges.
تحقق من الشروط
- الوتد اللاحق يصف القيم اللاحقة من القبلية ويحتاج إلى بيانات ابتدائية كافية لتحديد المتسلسلة. افصل بين المؤشر والقيمة: a_n=2a_(n−1) مع a_0=3 يعطي a_n=3·2^n. غالباً ما تُ establishing استدلال بياني وخوارزمي بتحديد ما يضيفه رأس جديد أو خطوة. يجب أن يحقق الصيغة المغلقة كل من الوتد اللاحق وشروطه الابتدائية؛ ملاءمة بعض الحدود الملاحظة لا يثبت ذلك لكل مؤشر.
- طبق التقريب العددي وقيّم الخطأ.
بالنسبة لـ f(x)=x²−2 و x₀=1، تعطي خطوة نيوتن 1−(1−2)/2=1.5. القيمة التالية هي 1.5−0.25/3=1.4167. هذه تقارب sqrt(2)، لكن f′(0)=0 تجعل الصفر نقطة بداية غير صالحة.
For a fair die, P(even) = ____ (decimal).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Three of six equally likely outcomes are even.
طبق صيغة المهمة
- التقدير الرقمي يحتاج إلى حجة خطأ. يحافظ التقسيم الثنائي على قوس متغير الإشارة للدالة المتصلة ويضعف عرضه في كل خطوة؛ قد يكون هناك صفر إذا فشل الاستمرارية. تحديث نيوتن هو x_new=x−f(x)/f′(x)، ويتطلب مشتقة غير صفرية عند النقطة الحالية؛ التقارب ليس تلقائياً من كل قيمة بداية. باقِ التقدير وأخطائه في x مختلفان. نص فرضيات الطريقة ومعيار التوقف، بدلاً من التعامل مع الأرقام العشرية الإضافية المعروضة على أنها دقة.
- طبق التقريب العددي وقيّم الخطأ.
الأحداث ذات الاحتمالات الموجبة لا يمكن أن تكون مستقلة ومتنافية في آن واحد.
أي إجابة تتناسب مع هذه الحالة؟
استخدام العد، المعادلات العودية، استنتاجات الرسوم والمنطق ⟦number⟧
Newton’s method is guaranteed to converge from every starting value.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A zero derivative or unsuitable starting value can prevent convergence.
احتفظ بالتميّزات
- التردد (recurrence) — قاعدة تربط حدًا متتاليًا بالحدود السابقة له.
- متنافية (mutually exclusive) — أحداث لا يمكن أن تحدث معًا.
- استخدم العد، والترددات، والتفكير البياني والمنطق.
- احسب الاحتمالات وخصائص التوزيع.
- طبق التقريب العددي وقيّم الخطأ.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.