A.1 · الجبر الخطي

تحضير GRE للطلاب الجامعيين. أهداف محلية ضمن نطاق ETS المراجَع؛ هذا تعليم أصلي، وليس اختباراً رسمياً أو تنبئاً بالدرجات.

المؤهلات المسبقة: المعادلات الخطية، ضرب المصفوفات، كثيرات الحدود والجذور المركبة.

• ربط الرتبة والفراغ الصمدي وحلول الأنظمة الخطية
• تحليل الفضاءات المتجهة والتحويلات الخطية
• حساب القيم الذاتية والمحددات وشروط القطرية

الرتبة: بُعد صورة التحويل الخطي.

القيمة الذاتية: عدد قياسي يحقق Av=λv لمتجه غير صفري v.

الفضاء المتجه الحقيقي مغلق تحت جمعه المحدد وضربه في الأعداد القياسية ويحقق بديهيات الفضاء المتجه. الأساس هو قائمة مستقلة مولدة: لكل متجه تمثيل إحداثي فريد في تلك القائمة. لاختبار استقلالية أعمدة المصفوفة، حل النظام المتجانس Ac=0؛ فقط متجه المعاملات الصفري يعني الاستقلال. المجموعة المولدة قد تحتوي على متجهات زائدة، لذا فإن التوليد وحده لا يجعلها أساسًا.

التبسيط الصفوي يكشف عن المحاور والمتغيرات الحرة دون تغيير مجموعة حلول النظام الخطي. الرتبة هي بُعد صورة العمود، أو ما يكافئ عدد المحاور. الفراغ الصمدي هو بُعد النواة: بالنسبة لتحويل من مجال ذي بُعد n، الرتبة + الفراغ الصمدي = n. في نظام غير متجانس، الصف الصفري بمعامل صفر مع طرف أيمن غير صفري يعني عدم الاتساق؛ المتغيرات الحرة تعطي حلولًا لا نهائية فقط بعد إثبات الاتساق. بُعد مجال القبول لا يجب أن يساوي الرتبة.

المصفوفة المربعة عكسية بالضبط عندما يكون محددتها غير صفرية ونواتها صفرية ورتبتها مساوية لحجمها. هذه العبارات لا تتطلب أن تكون كل مدخل غير صفرية. المحددات المثلثية هي حاصل ضرب المدخلات القطرية، لذا يمكن لمصفوفة تعتمد على متغير مركب أن تكون مفردة عند الجذور المركبة التي تفتقر إليها الحسابات الحقيقية فقط. تبديل الصفوف يعكس إشارة المحدد؛ إضافة مضاعف صف واحد لآخر يتركه دون تغيير. تحقق من المفردية قبل تطبيق صيغة المعكوس.

المتجه الذاتي غير صفري ويحقق Av=λv، لذا القيم الذاتية هي جذور det(A−λI). القطرية تتطلب أساسًا كاملًا من المتجهات المستقلة فوق المجال المختار. القيم الذاتية المختلفة تعطي متجهات ذاتية مستقلة، بينما القيم الذاتية المكررة قد يكون لها فضاء ذاتي صغير جدًا. المصفوفة الحقيقية المتماثلة لديها أساس ذاتي حقيقي متعامد. المصفوفة الحقيقية ذات البعد الفردي لديها على الأقل قيمة ذاتية حقيقية لأن كثير حدودها الحقيقي له درجة فردية؛ هذا وحده لا يشير إلى القطرية أو أن جميع القيم الذاتية حقيقية.

المصفوفة A=[[1,1],[0,1]] لها كثير حدود مميز (1−λ)². المتجهات الذاتية تحقق y=0، لذا فإن فضاءها الذاتي له بُعد واحد. يتطلب قطرية مصفوفة 2×2 متجهين ذاتيين مستقلين؛ وبما أن A لا تملك ما يكفي منهما، فهي غير قابلة للقطرية.

التكرار الجبري للقيمة الذاتية ليس بالضرورة مساوياً لبُعد فضاءها الذاتي.

بالنسبة لـ $T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ مع $T(x,y,z)=(x+2y+z,2x+4y+2z)$، جد أساسات النواة والصورة. حل $T(v)=(3,6)$ و$T(v)=(3,7)$.

حل نموذجي

الصف الثاني ضعف الأول، لذا الرتبة تساوي واحدًا. المعادلة المتجانسة تعطي $x=-2y-z$.

المتجهان المعروضان مستقلان. كل ناتج هو $(s,2s)$، ويحدث $(1,2)$؛ هذا هو أساس الصورة. مجموع الرتبة والفراغ الصمدي هو $1+2=3$، وهو بُعد المجال. بالنسبة لـ $(3,6)$، جميع الحلول هي $(3-2a-b,a,b)$، مع $a,b\in\mathbb R$. بالنسبة لـ $(3,7)$ لا يوجد حل، لأن $7\ne2\cdot3$.

ليكن $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$. حدد قيمها الذاتية ومحددها وقطريتها فوق $\mathbb R$ و$\mathbb C$. جد $A^n$ للأعداد الصحيحة $n\ge1$ بدون الضرب المتكرر.

تحقق بعد المحاولة

كثير الحدود المميز هو $(2-\lambda)^2$ و$\det A=4$. بحل $(A-2I)v=0$ نحصل على $v_2=0$، لذا فإن فضاء القيم الذاتية له بُعد واحد على كلا الحقلين. المطلوب متجهان ذاتيان مستقلان؛ المصفوفة قابلة للعكس لكنها غير قابلة للتقطيع على أي من الحقلين. اكتب $A=2I+N$ حيث $N^2=0$. يترك التوسع الثنائي المتبادل فقط حدّين:

بضرب هذا التعبير في $A$ نحصل على الصيغة في $n+1$، مما يتحقق بشكل مستقل من المعامل.