قبل حساب الرتبة، تحقق من الإغلاق، التجميع، وجود محايد وعكس لكل عنصر تحت العملية المعلومة. يمكن لمجموعة جزئية أن ترث خاصية التجميع لكن تفشل في الإغلاق أو تحذف المحايد. في المجموعة المنتهية، رتبة العنصر هي أصغر قوة موجبة تعطي المحايد. في المجموعة الإجمالية Z/nZ، هو أصغر مضاعف موجب يعطي الصفر؛ رتبة الباقية a هي n/gcd(a,n). تنص نظرية لاغرانج على أن رتب الزمر الجزئية تقسم رتبة المجموعة. العكس ليس نظرية وجود عامة، ورتبة المجموعة ليست رتبة كل عنصر.
زمر القسمة اليسرى gH هي ترجمة لزمر جزئية H. زمر القسمة لها نفس الحجم وتجزئ المجموعة، لذا فإن المؤشر هو |G|/|H| في المجموعة المنتهية. في المجموعة الإجمالية اكتب g+H. الانتماء لنفس زمر القسمة يعني أن الفرق يقع في H. عادةً ما لا تكون زمر القسمة نفسها زمر جزئية لأنها قد تحذف المحايد.
التشاكل يحافظ على العملية. تتكون نواته من العناصر المرسلة إلى المحايد، وتتشكل صورته من القيم التي تم الوصول إليها فعلياً. كل نواة عادية. theorem التشاكل الأول يربط G/ker(phi) بـ im(phi)؛ لا تستبدل الصورة بالمجال المقصود إلا إذا كانت الخريطة شاملة.
Quotient multiplication is well defined only when H is normal. All subgroups of an abelian group are normal. In a nonabelian group test gHg^−1=H; a subgroup of index two is normal. For permutations compose in the stated convention, here rightmost first. Disjoint cycle lengths give the permutation order by their least common multiple. Conjugation hσh⁻¹ relabels the elements in σ’s cycles, so it preserves cycle lengths; conversely permutations with the same cycle lengths can be related by a relabelling. Thus conjugacy classes in S_n correspond to partitions of n, including fixed-point cycles. In S4 the types are 1+1+1+1, 2+1+1, 2+2, 3+1 and 4: five classes, not one class for each possible element order. The types 2+1+1 and 2+2 both have order two but are not conjugate.
