A.4 · الحلقات والمثاليات والنماذج

تحضير GRE للطلاب الجامعيين. أهداف محلية ضمن نطاق ETS المراجَع؛ هذا تعليم أصلي، وليس اختباراً رسمياً أو تنبئاً بالدرجات.

الشروط المسبقة: الحلقات، المجالات، المجموعات الجزئية الإضافةية والتجانسات.

• التمييز بين الوحدات، مقسومات الصفر والمجالات المتكاملة
• تحديد المثاليات وتفسير الحلقات القسرية
• مقارنة Modules فوق الحلقات مع الفضاءات المتجهية فوق المجالات
• استنتاج خصائص حلقات بوليان دون افتراض الإبدال

مثالية: مجموعة جزئية إضافية في حلقة تمتص الضرب بواسطة جميع عناصر الحلقة.

التشويش (torsion): العنصر يُختزل بواسطة عدد قياسي غير صفري في Module المعطى.

بالنسبة لأمثلة المجال والمثالي والقسمة أدناه، استخدم حلقة تبديلية بوحدة 1 مختلفة عن 0. قد تحدد مسألة المصدر حلقة عامة؛ لا تفترض أن ضربها تبديلي إلا إذا ذُكر أو أُثبت. الوحدة لها معكوس ضربي. القاسم الصفر غير الصفري يضرب عنصرًا غير صفري ليعطي صفرًا. الحلقة التكاملية ليس بها مثل هذه القواسم الصفرية؛ لذلك يمكن إلغاء عامل غير صفري. الحقل هو حلقة تكاملية يكون فيها كل عنصر غير صفري وحدة. Z هي حلقة تكاملية وليست حقلًا؛ Z/6Z ليست كذلك.

المثالية I هي مجموعة جزئية إضافية تمتص الضرب بواسطة كل عنصر من الحلقة. هذا أقوى من كونها حلقة فرعية. في Z، nZ مثالية؛ عناصر القسمة هي زمر البواقي الصحيحة مودولو n. في الحلقة الإبدالية، R/I مجال بالضبط عندما تكون I مثالية قصوى، وهي مجال متكامل بالضبط عندما تكون I أولية. يجب أن تكون المثالية صريحة في كلا الحالتين.

الوحدة تسمح بالأسقاط من حلقة بدلاً من اشتراط حقل. كل مجموعة أبيلية هي Z-وحدة عبر الجمع المتكرر، لكنها لا يجب أن تمتلك أساس فضاء متجهي. في Z/6Z كـ Z-وحدة، ضرب 6 في الباقي غير الصفري 1 يساوي صفرًا؛ هذا هو التواء. بالنسبة لفضاء متجهي على حقل، فإن أي سقاط غير صفري قابل للعكس ولا يمكن أن يُعدم متجهًا غير صفري.

الوحدة الفرعية مغلقة تحت الجمع وكل عمليات الضرب القياسية المسموحة. الخريطة الخطرية للوحدات تحفظ كليهما. النواة والصورة وحدتان فرعيتان، والقسم بواسطة النواة متماثل مع الصورة. لا تطبق الرتبة والفراغ finite-dimensional على وحدة عشوائية دون إنشاء إطار مناسب للوحدة الحرة؛ عمليات الصفوف الصحيحة وعملات الصفوف field تسمح بقسومات مختلفة. في الحلقة البوليانية العامة، كل a يحقق a²=a. لا تفترض الإبدالية لإثبات ذلك: إيدماجنسية a+a تعطي 4a=2a، وبالتالي 2a=0. بتوسيع (a+b)²=a+b نحصل على ab+ba=0، وخصائصية اثنان تجعل −ba=ba؛ لذلك ab=ba. الإيدماجنسية لا تعني الانصفار: في F2، العنصر غير الصفري 1 يحقق 1^n=1 لكل عدد صحيح موجب n.

في Z/6Z، 2·3=0، لذا 2 و3 هما أقواس صفرية. الوحدات هي 1 و5 لأن القاسم المشترك الأكبر لهما مع 6 هو 1. في Z، المعيار ⟨5⟩Z يعطي الحقل Z/5Z، بينما ⟨6⟩Z يعطي قسماً به أقواس صفرية. كتوابع Z، فإن الخريطة من Z إلى Z/6Z لها نواة ⟨6⟩Z؛ القسمة تربط الأعداد الصحيحة التي تختلف بمضاعفات 6، بدلاً من إنتاج فضاء شعاعي حقيقي.

مجموعة يمكن أن تكون submodule دون أن تكون فضاءً شعاعياً على الأعداد النسبية. قسمة الثوابت صالحة فقط عندما ينتمي معكوس الضرب للثابت إلى البنية.

في $\mathbb Z/12\mathbb Z$، اذكر الوحدات والقواسم الصفرية غير الصفرية. هل المثالي $(4)$ أولي أم قصوى؟

حل نموذجي

الوحدات هي البواقي الأولية نسبيًا مع 12: $1,5,7,11$. البواقي غير الصفرية المتبقية $2,3,4,6,8,9,10$ هي قواسم صفرية. لكل such a، $a\cdot(12/\gcd(a,12))=0$ modulo 12، مع العامل الثاني غير صفري. يعطي المثالي $(4)=\{0,4,8\}$ قسمة متشابهة مع $\mathbb Z/4\mathbb Z$. هذه ليست حلقة تكاملية، لأن $2\cdot2=0$، وليست حقلًا. hence the ideal is neither prime nor maximal.

كـ $\mathbb Z$-وحدة، هل يمكن أن يكون $\mathbb Z/6\mathbb Z$ حراً؟ قارن بين المثالي $(2)$ و $(x)$ في $\mathbb Z$ و $\mathbb Q[x]$ على التوالي باستخدام نواتجهما.

تحقق بعد المحاولة

وحدة حرة لا تساوي الصفر $\mathbb Z$ ليس لها متجه غير صفري يُبطله عدد صحيح غير صفري: افحص كل إحداثي عددي. لكن $6[1]=0$ في $\mathbb Z/6\mathbb Z$. ليست حرة؛ حجة الأساس على نمط الحقل غير صالحة. $\mathbb Z/(2)\cong\mathbb F_2$ هو حقل، لذا $(2)$ قصوى وأولية. التقييم عند الصفر يصوّر $\mathbb Q[x]$ فوق $\mathbb Q$ مع نواة $(x)$؛ ومقامها حقل أيضًا. كلا الحجتين تستخدمان مثاليًا صحيحًا في حلقات تبديلية ذات هوية.