C.1 · التفاضل والتكامل دالة متغيرة واحدة وتطبيقاتها

تحضير GRE للطلاب الجامعيين. أهداف محلية ضمن نطاق ETS المراجَع؛ هذا تعليم أصلي، وليس اختباراً رسمياً أو تنبئاً بالدرجات.

المتطلبات المسبقة: الجبر الدقيق، حساب المثلثات بالراديان، الدوال والمتباينات.

• استخدام النهايات، والاستمرارية، وقابلية الاشتقاق
• تطبيق المشتقات، والتكاملات، والنظرية الأساسية
• التعرف على مجاميع ريمان والتمييز بينها وبين المتسلسلات اللانهائية

الاستمرارية: تطابق قيمة الدالة مع نهايتها.

التقارب: الاقتراب من قيمة نهائية محدودة.

تصف النهاية القيم القريبة من نقطة ما، دون اشتراط تعريف الدالة فيها. تضيف الاستمرارية شرط وجود قيمة الدالة وتطابقها مع النهاية. الإلغاء الجبري صالح فقط بعيداً عن الصفر المُلغى، لكنه قد يكشف عن نهاية قابلة للإزالة. يجب أن تتفق النهايات أحادية الجانب لتكون هناك نهاية ثنائية الجانب. بالنسبة لنهايات الكسور، تحقق من المقام والفرضيات قبل تطبيق قاعدة؛ 0/0 هو شكل غير محدد، وليس إجابة.

المشتقة هي نهاية نواتج الفروقات وتشمل الاستمرارية؛ والعكس غير صحيح، كما يظهر في |x| عند الصفر. تصف قواعد الضرب والقسمة والسلسلة هياكل مشتقة مختلفة: مشتقة f(g(x)) هي f′(g(x))g′(x)، وليست حاصل ضرب قيم غير مرتبطة. اشتقاق تركيب مرة ثانية ينتج عادةً حدَين. تحقق من المجالات والمقامات غير الصفرية وفرضيات القابلية للاشتقاق قبل استخدام تعبير رمزي كمشتقة.

تنص النظرية الأساسية على أن مشتقة ∫ من a إلى x لكثافة تكامل مستمرة f(t) هي f(x). مع حد علوي متغير h(x)، اضرب في h′(x)؛ مع حدين متغيرين، اطرح مساهمة الحد السفلي المقابل. يمكن أيضاً اعتبار التكامل المحدد كنهاية لمجاميع ريمان. أعد كتابة المجموع كـ (1/n)Σf(k/n) قبل تحديد التكامل على [0,1]، بدلاً من التعامل مع الحدود المعتمدة على n كثوابت.

على سبيل المثال Σ من k=1 إلى n من n/(n²+k²) يساوي (1/n)Σ1/(1+(k/n)²)، والذي يؤول إلى ∫₀¹1/(1+t²)dt=π/4. تعتمد هذه النهاية على الاستمرارية وعرض التقسيم 1/n. المتسلسلة ذات عدد لا نهائي من الحدود تمثل نهاية مختلفة: تقارب الحدود إلى الصفر لا يضمن وحده التقارب. بالنسبة لـ Σ1/k، فإن المجاميع الجزئية تتباعد؛ قارن أو تقدّم أو طبق اختبار متسلسلة صالح بدلاً من اعتبار شرط الحد اللازم كشرط كافٍ.

بالنسبة للدالة F(x) = التكامل من 0 إلى x² لـ e^t dt، تعطينا النظرية الأساسية وقاعدة السلسلة أن F′(x)=e^(x²)·2x. عند x=1، تكون F′(1)=2e. الحد العلوي هو x²، لذا فإن تجاهل 2x يؤدي إلى إهمال معدل تغيره.

حساب التفاضل والتكامل A-level هو مادة prerequisite مفيدة لكن لا يغطي التحليل والتطبيقات الجامعية التي يتم اختبارها هنا.

ليكن $F(x)=\int_x^{x^2}(1+t^2)\,dt$. أوجد $F'(x)$ و$F'(2)$. اذكر السبب الذي يجعل النظرية مطبقة.

حل نموذجي

الدالة المُكاملة متصلة على خط الأعداد الحقيقية. ينطبق النظرية الأساسية وقاعدة السلسلة عند كلا الحدين:

بشكل مستقل، تكامل عكسي هو $t+t^3/3$. وبالتالي $F=x^2+x^6/3-x-x^3/3$، مع نفس المشتقة.

أوجد $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n k/(n^2+k^2)$. اشرح لماذا هذا حد مجموع ريمان. ثم حدد ما إذا كان $\sum_{k=1}^{\infty}1/k$ متقارباً.

تحقق بعد المحاولة

أعد كتابة كل حد على صورة $\frac1n\frac{k/n}{1+(k/n)^2}$. الدالة المتصلة $f(t)=t/(1+t^2)$ على $[0,1]$ والشبكة $1/n$ تعطيان

The harmonic series diverges: the block from $2^{j-1}+1$ through $2^j$ contains $2^{j-1}$ terms at least $1/2^j$, so each block adds at least $1/2$. Terms tending to zero is necessary but insufficient. The finite-sum integrand here depends on the scaled index; it is not the harmonic series.