التفاضل والتكامل ذات المتغير الواحد وتطبيقاته
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| continuity/kɒntɪˈnjuːɪti/ | اتصال |
| convergence/kənˈvɜːdʒəns/ | تقارب |
قرار قبل الإجابة
- يمكن أن تكون الدالة متصلة عند الصفر دون أن تكون قابلة للاشتقاق هناك. يكتشف رسم بياني يحتوي على زاوية حادة هذا التمييز.
- هدفك: استخدام النهايات، والاتصال، وقابلية الاشتقاق.
اقرأ العلاقة
- الحد يُصف قيمًا靠近 نقطة، دون اشتراط أن تكون الدالة مُعرَّفة عند تلك النقطة. الاستمرارية تضيف شرطًا بأن قيمة الدالة موجودة وتتوافق مع الحد. الاختصار الجبري صالح فقط بعيدًا عن الصفر المُختصر، لكنه قد يكشف عن حد قابل للإزالة. يجب أن تتطابق الحدود أحادية الاتجاه لتكوين حد ثنائي الاتجاه. بالنسبة لحدود الكسور، تحقق من المقام والافتراضات قبل تطبيق أي قاعدة؛ 0/0 هو شكل غير محدد وليس إجابة.
- طبق المشتقات، والتكاملات، والنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.
f(x)=|x| at 0 is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Left and right derivatives are −1 and 1.
استخدم القاعدة المحددة
- المشتقة هي حد لنسب الفروق وتدل على الاستمرارية؛ العكس لا يتحقق، كما يظهر في |x| عند الصفر. قواعد الضرب والقسمة والسلسلة تصف هياكل مختلفة: مشتقة f(g(x)) هي f′(g(x))g′(x)، وليست ضرب قيم غير مرتبطة. اشتقاق مركب مرة ثانية ينتج عادةً حدين. تحقق من المجالات والمقامات غير الصفرية وافتراضات القابلية للاشتقاق قبل استخدام التعبير الرمزي كمشتقة.
- اعرف مجموع ريمان وميز بينها وبين المتسلسلات اللانهائية.
The series sum 1/n for n≥1:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The harmonic series diverges; the term test alone is insufficient.
تحقق من الشروط
- ينص المبدأ الأساسي على أن مشتقة ∫ من a إلى x لكثافة متصلة f(t) هي f(x). مع حد علوي متغير h(x)، اضرب في h′(x); مع حدين متغيرين، اطرح المساهمة المقابلة للحد السفلي. التكامل المحدد ينشأ أيضًا كحد لمجموع ريمان. أعد كتابة المجموع على شكل (1/n)Σf(k/n) قبل تحديد التكامل على [0,1]، بدلاً من التعامل مع الحدود المعتمدة على n作为ثوابت.
- اعرف مجموع ريمان وميز بينها وبين المتسلسلات اللانهائية.
بالنسبة للدالة F(x) = التكامل من 0 إلى x² لـ e^t dt، تعطينا النظرية الأساسية وقاعدة السلسلة أن F′(x)=e^(x²)·2x. عند x=1، تكون F′(1)=2e. الحد العلوي هو x²، لذا فإن تجاهل 2x يؤدي إلى إهمال معدل تغيره.
Derivative of ln x at x=2 is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
d(ln x)/dx=1/x for x>0.
طبق صيغة المهمة
- على سبيل المثال Σ من k=1 إلى n من n/(n²+k²) يساوي (1/n)Σ1/(1+(k/n)²)، وهو يؤول إلى ∫₀¹1/(1+t²)dt=π/4. يستخدم هذا الحد الاستمرارية وعرض التقسيم 1/n. متسلسلة ذات عدد غير محدود من الحدود تمثل حداً مختلفاً: تقارب الحدود إلى الصفر وحده لا يضمن التقارب. بالنسبة لـ Σ1/k، فإن المجاميع الجزئية تتباعد؛ قارن أو قدر أو طبق اختبار متسلسلة صالح بدلاً من استخدام شرط الحد الضروري كشرط كافٍ.
- اعرف مجموع ريمان وميز بينها وبين المتسلسلات اللانهائية.
حساب التفاضل والتكامل A-level هو مادة prerequisite مفيدة لكن لا يغطي التحليل والتطبيقات الجامعية التي يتم اختبارها هنا.
أي إجابة تتناسب مع هذه الحالة؟
استخدام النهايات والاتصال والقابلية للاشتقاق
Every continuous real function is differentiable.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Absolute value at zero is a counterexample.
احتفظ بالتميّزات
- الاتصال — تطابق قيمة الدالة مع نهايتها.
- التقارب — الاقتراب من قيمة نهائية محدودة.
- استخدم النهايات، والاتصال، وقابلية الاشتقاق.
- طبق المشتقات، والتكاملات، والنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.
- اعرف مجموع ريمان وميز بينها وبين المتسلسلات اللانهائية.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.