أ.5 · كثيرات الحدود وتمديدات الحقول

تحضير GRE للطلاب الجامعيين. أهداف محلية ضمن نطاق ETS المراجَع؛ هذا تعليم أصلي، وليس اختباراً رسمياً أو تنبئاً بالدرجات.

المتطلبات المسبقة: قسمة كثيرات الحدود، الحقول، وبُعد فضاء المتجهات.

• اختبار عدم قابلية القسمة لكثيرات الحدود على الحقل المحدد
• بناء حقول نهائية صغيرة من كثيرات حدود غير قابلة للقسمة
• استخدام درجات الامتداد وقانون البرج
• استخدام الجذور الدورية والعلاقات المعاملية لحساب المجاميع والمنتجات

كثير حدود غير قابل للقسمة: كثير حد موجب الدرجة بدون تحليل إلى عوامل ذات درجات موجبة أصغر على الحقل المذكور.

درجة الامتداد: بُعد حقل امتداد كفضاء متجهي فوق حقله الأساسي.

كثير حد يكون غير قابل للقسمة على حقل إذا كان له درجة موجبة ولا يمكن تحليله إلى كثيرات حدود ذات درجات موجبة أصغر هناك. يكون التربيعي أو التكعيبي غير قابل للقسمة بالضبط عندما لا يكون له جذر في ذلك الحقل. هذا الاختبار للجذر وحده يفشل للدرجات الأربعة فما فوق؛ فعلى سبيل المثال (x²+1)(x²+2) ليس له جذر حقيقي ولكنه قابل للقسمة على R. يجب دائمًا تسمية الحقل الأساسي.

المقام F[x]/(p) يكون حقلًا عندما يكون p غير قابل للقسمة. قلل القوى باستخدام p(alpha)=0، حيث alpha هو فئة الباقية لـ x. إذا كان F يحتوي على q عنصر وp له درجة d، فإن المقام يحتوي على q^d عنصرًا ممثلاً بكثيرات حدود درجة أقل من d. Z/4Z يحتوي على أربعة عناصر لكن به مقسومات للصفر، لذا فهو ليس الحقل ذو العناصر الأربعة.

على F2، p(x)=x²+x+1 يأخذ القيم 1 عند كل من 0 و1 وهو غير قابل للقسمة. في مقامه alpha²=alpha+1 لأن الطرح يساوي الجمع في الميزة اثنين. العناصر الأربعة هي 0,1, alpha, alpha+1. يجب أن تكون جميع العناصر غير الصفراء الثلاثة وحدات؛ احسب منتجاتها بدلاً من اعتبار alpha كعدد حقيقي عادي.

بالنسبة للحقول المتداخلة ذات الدرجات النهائية K داخل L داخل M، يعطي قانون البرج [M:K]=[M:L][L:K]. درجة العنصر الجبري هي درجة كثيرته الحد الأدنى. الامتداد النهائي الذي درجته اثنان لا يحتوي على عنصر من الدرجة ثلاثة فوق الحقل الأساسي. على Q، sqrt(2) له درجة اثنان؛ وإضافة sqrt(3) ينتج امتدادًا من الدرجة أربعة، بما أن sqrt(3) ليس في Q(sqrt(2)). على C، الجذور الأولية للوحدة من الرتبة n لها رتبة دقيقة n وهي جذور كثير الحدود الدوري Φ_n. بالنسبة لـ n=10، اقسم x⁵+1 على x+1 لاستبعاد جذر الرتبة اثن −1: Φ_10=x⁴−x³+x²−x+1. تعطي صيغ فيتا مجموع 1 وحاصل ضرب 1 لجذوره الأولية الأربعة. لا تجمع جميع جذور العشرة الأولى، أو تفترض أن كل جذر عشري أولي غير ضارب؛ يجب التحقق من رتبة كل جذر. بالنسبة لكثير حد مؤهل من الدرجة d، حاصل ضرب جذوره هو (−1)^d مضروبًا في المعامل الثابت.

في F2[alpha] مع alpha²+alpha+1=0، اضرب alpha(alpha+1) = alpha² + alpha = (alpha+1) + alpha = 1. وبالتالي alpha^−1=alpha+1. أيضاً alpha³=1 و alpha ليس 1، لذا ترتيبه الضربي هو 3. هذا ينتج مجالاً بأربعة عناصر. بالمقابل 2·2=0 في Z/4Z، مما يثبت أن القسمة ليست مجالاً.

قابلية القسمة لكثيرات الحدود تتغير مع مجال المعاملات. كثيرة الحدود x²−2 هي غير قابلة للقسمة over Q لكنها تنقسم over R.

ابنِ $\mathbb F_2[x]/(x^2+x+1)$. سرد عناصره وإيجاد معكوس الفئة الباقية $\alpha=[x]$.

حل نموذجي

التربيعي يأخذ القيمة واحدًا عند كل من عنصري $\mathbb F_2$، لذا ليس له جذر وغير قابل للقسمة. مقامه حقل. القسمة تترك ممثلًا من الدرجة أقل من اثنين: $0,1,\alpha,1+\alpha$. العلاقة هي $\alpha^2=\alpha+1$ في الميزة اثنان. وبالتالي $\alpha(\alpha+1)=\alpha^2+\alpha=1$، إذن $\alpha^{-1}=\alpha+1$. هذا ليس $\mathbb Z/4\mathbb Z$، الذي يحتوي على مقسم للصفر غير صفري.

هل $x^4+4$ غير قابل للقسمة على $\mathbb Q$؟ هل غياب الجذور النسبية يجيب على هذا السؤال؟ هل يمكن لامتداد من الدرجة اثنين من $\mathbb Q$ أن يحتوي على جذر لكثير حدود تكعيبي غير قابل للقسمة على $\mathbb Q$؟

تحقق بعد المحاولة

الضرب المباشر يعطي $x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$، لذا فهو قابل للقسمة على $\mathbb Q$ رغم عدم وجود جذور حقيقية، وبالتالي لا توجد جذور نسبية. اختبار عدم وجود الجذر يميز عدم قابلية القسمة فقط للدرجتين أو الثلاث على حقل. إذا انتمى جذر تكعيبي غير قابل للقسمة $\beta$ إلى امتداد من الدرجة الثانية L، فإن $\mathbb Q\subset\mathbb Q(\beta)\subset L$ وقانون البرج سيجعلان 3 يقسم 2. هذا مستحيل. الاستنتاج يعتمد على عدم قابلية القسمة، وليس مجرد معادلة تكعيبية.