الكثيرات الحدود وتمددات الحقول
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| irreducible polynomial/ɪrɪˈdjuːsɪbl ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | كثير حدود غير قابل للاختزال |
| extension degree/ekˈstenʃn dɪˈɡriː/ | درجة التوسيع |
قرار قبل الإجابة
- مجال بأربعة عناصر لا يستخدم حساباً منطقيًا mod 4. يحتاج عنصراً جديداً يحقق علاقة كثيرة حدود.
- هدفك: اختبار عدم قابلية القسمة لكثيرات الحدود فوق المجال المحدد.
اقرأ العلاقة
- كثيرة حدود هي غير قابلة للقسمة over a field إذا كان لها درجة موجبة ولا يوجد فيها تحليل لكثيرات حدود من درجات موجبة أصغر. التربيعية أو التكعيبية هي غير قابلة للقسمة بالضبط عندما ليس لها جذر في ذلك المجال. اختبار الجذر هذا وحده يفشل للدرجات أربعة فأكثر؛ على سبيل المثال (x²+1)(x²+2) ليس له جذر حقيقي ولكنه قابل للقسمة over R. always name the base field.
- بناء حقول نهائية صغيرة من كثيرات الحدود غير قابلة للقسمة.
Which polynomial is irreducible over F2?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The quadratic x²+x+1 has no root among 0 and 1. The others factor as x·x, (x+1)², x(x+1) and x²(x+1), respectively, over F2.
استخدم القاعدة المحددة
- القسمة F[x]/(p) هي مجال عندما p irreducible. قلل القوى باستخدام p(alpha)=0، حيث alpha هو فئة باقٍ لـ x. إذا كان F يحتوي على q عناصر و p له درجة d، فإن القسمة تحتوي على q^d عناصر ممثلة بكثيرات حدود من درجات أقل من d. Z/4Z يحتوي على أربع عناصر لكن به zero divisors، لذا فهو ليس المجال بأربعة عناصر.
- استخدم درجات الامتداد وقانون البرج.
If [L:K]=3 and [M:L]=2, what is [M:K]?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The tower law multiplies finite degrees, giving 2 times 3=6.
تحقق من الشروط
- فوق F2، p(x)=x²+x+1 له قيم 1 عند كل من 0 و1 وهو غير قابل للاختزال. في قسماه alpha²=alpha+1 لأن الطرح يساوي الجمع في الصفة اثنان. العناصر الأربعة هي 0,1، alpha، alpha+1. يجب أن تكون جميع العناصر الثلاثة غير الصفرية وحدات؛ احصل على منتجاتها بدلاً من معاملة alpha كأριθم حقيقي عادي.
- استخدم جذور cyclotomic وعلاقات المعاملات لحساب المجاميع والمنتجات.
في F2[alpha] مع alpha²+alpha+1=0، اضرب alpha(alpha+1) = alpha² + alpha = (alpha+1) + alpha = 1. وبالتالي alpha^−1=alpha+1. أيضاً alpha³=1 و alpha ليس 1، لذا ترتيبه الضربي هو 3. هذا ينتج مجالاً بأربعة عناصر. بالمقابل 2·2=0 في Z/4Z، مما يثبت أن القسمة ليست مجالاً.
In the field F2[alpha] above, alpha³ equals ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
alpha²=alpha+1 gives alpha³=alpha²+alpha=1.
طبق صيغة المهمة
- بالنسبة للحقول المتداخلة ذات الدرجة المنتهية K داخل L داخل M، تعطي قانون البرج [M:K]=[M:L][L:K]. درجة العنصر الجبري هي درجة كثير الحدود الأدنى له. الامتداد المنتهي الذي درجته اثنان لا يحتوي على عنصر من الدرجة ثلاث فوق الحقل الأساسي. فوق Q، sqrt(2) له درجة اثنان؛ إضافة sqrt(3) أيضاً تنتج امتداداً من الدرجة أربعة، لأن sqrt(3) ليس في Q(sqrt(2)). فوق C، جذور الوحدة primitive من الرتبة n لها رتبة دقيقة n وهي جذور كثير حدود الدوران Φ_n. من أجل n=10، قسّم x⁵+1 على x+1 لاستبعاد الجذر ذو الرتبة اثنان −1: Φ_10=x⁴−x³+x²−x+1. تعطي صيغ فييتا مجموع 1 وحاصل ضرب 1 لجذريه那两个 primitive. لا تجمع جميع جذور العشرة، أو افترض أن كل جذر عشري غير تافه هو primitive؛ يجب التحقق من رتبة الجذر. لكثير حد monic من الدرجة d، حاصل ضرب جذوره هو (−1)^d مضروباً في المعامل الثابت.
- استخدم جذور cyclotomic وعلاقات المعاملات لحساب المجاميع والمنتجات.
قابلية القسمة لكثيرات الحدود تتغير مع مجال المعاملات. كثيرة الحدود x²−2 هي غير قابلة للقسمة over Q لكنها تنقسم over R.
أي إجابة تتناسب مع هذه الحالة؟
اختبار عدم قابلية تحليل كثير الحدود على الحقل المحدد
A degree-four polynomial without real roots is necessarily irreducible over R.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
(x²+1)(x²+2) has no real roots and is explicitly reducible.
احتفظ بالتميّزات
- irreducible polynomial — كثيرة حدود موجبة الدرجة ليس لها تحليل إلى درجات موجبة أصغر فوق المجال المحدد.
- extension degree — بُعد امتداد الحقل كفضاء شعاعي فوق مجاله الأساسي.
- اختبار عدم قابلية_factoring_ لكثيرة حدود على الحقل المحدد.
- بناء حقول نهائية صغيرة من كثيرات الحدود غير قابلة للقسمة.
- استخدم درجات الامتداد وقانون البرج.
- استخدم جذور cyclotomic وعلاقات المعاملات لحساب المجاميع والمنتجات.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.