الجبر الخطي
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| rank/ræŋk/ | رتبة |
| eigenvalue/ˈaɪdʒənvæljuː/ | قيمة ذاتية |
قرار قبل الإجابة
- قد لا يكون لمصفوفة مربعة معكوس حتى لو كانت جميع عناصرها غير صفرية.
- هدفك: ربط الرتبة، والصفرية، وحلول الأنظمة الخطية.
اقرأ العلاقة
- فضاء متجه حقيقي مغلق تحت جمعه المحدد وضربه في عدد قياسي ويحقق بديهيات فضاء المتجهات. الأساس هو قائمة مستقلة ممتدة: كل متجه له تمثيل إحداثي فريد في تلك القائمة. لاختبار استقلانية أعمدة مصفوفة، حل النظام المتجانس Ac=0؛ فقط متجه معاملات الصفر يعني الاستقلالية. مجموعة الامتداد يمكن أن تحتوي على متجهات زائدة، لذا الامتداد وحده لا يجعلها أساساً.
- حلل الفضاءات الشعرية والتحويلات الخطية.
A 3-column matrix has rank 2. Its nullity is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Rank-nullity gives 3−2=1.
استخدم القاعدة المحددة
- اختزال الصفوف يكشف عن المحاور والمتغيرات الحرة دون تغيير مجموعة حلول نظام خطي. الرتبة هي بعد صورة العمود، أو ما يكافئها عدد المحاور. الفراغ (Nullity) هو بعد النواة: بالنسبة لتحويل من مجال بعيد n، الرتبة + الفراغ = n. في نظام غير متجانس، صف معاملاته صفر مع الطرف الأيمن غير صفري يعني عدم الاتساق؛ المتغيرات الحرة تعطي حلولاً لا نهائية فقط بعد إثبات الاتساق. بعد المجال المقابل لا يشترط أن يساوي الرتبة.
- احسب القيم الذاتية، والمحددات، وشروط التقطيع (diagonalisation).
det A=0 implies:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A zero determinant means the square matrix is singular. It can have many nonzero entries; a single dependence is enough.
تحقق من الشروط
- المصفوفة المربعة قابلة للعكس بالضبط عندما يكون محددها غير صفري ونوفاؤها صفر ورتبتها تساوي حجمها. هذه العبارات لا تتطلب أن تكون كل عنصر غير صفري. محددات المثلثية هي حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي، لذلك يمكن لمصفوفة تعتمد على متغير مركب أن تكون شاذة عند الجذور المركبة الغائبة عن حساب يعتمد فقط على الأعداد الحقيقية. تبديل الصفوف يعكس إشارة المحدد؛ إضافة مضروب صف واحد لصف آخر يتركه دون تغيير. تحقق من الشذوذ قبل تطبيق صيغة العكس.
- احسب القيم الذاتية، والمحددات، وشروط التقطيع (diagonalisation).
المصفوفة A=[[1,1],[0,1]] لها كثير حدود مميز (1−λ)². المتجهات الذاتية تحقق y=0، لذا فإن فضاءها الذاتي له بُعد واحد. يتطلب قطرية مصفوفة 2×2 متجهين ذاتيين مستقلين؛ وبما أن A لا تملك ما يكفي منهما، فهي غير قابلة للقطرية.
The identity matrix has every eigenvalue equal to ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Iv=v for every vector.
طبق صيغة المهمة
- المتجه الذاتي لا يساوي الصفر ويحقق Av=λv، لذا فإن القيم الذاتية هي جذور det(A−λI). يتطلب التقطيع وجود قاعدة كاملة من متجهات ذاتية مستقلة على الحقل المختار. تعطي القيم الذاتية المميزة متجهات ذاتية مستقلة، بينما قد تكون فضاءات القيم الذاتية المكررة صغيرة جداً. المصفوفة المتماثلة الحقيقية تمتلك قاعدة ذاتية حقيقية متعامدة ووحوية. المصفوفة الحقيقية ذات البعد الفردي تمتلك قيمة ذاتية حقيقية واحدة على الأقل لأن كثير حدودها الحقيقي مميز له درجة فردية؛ وهذا وحده لا يفيد في التقطيع أو أن جميع القيم الذاتية حقيقية.
- احسب القيم الذاتية، والمحددات، وشروط التقطيع (diagonalisation).
التكرار الجبري للقيمة الذاتية ليس بالضرورة مساوياً لبُعد فضاءها الذاتي.
أي إجابة تتناسب مع هذه الحالة؟
ربط الرتبة، الصفرية وحلول الأنظمة الخطية ⟦number⟧
A repeated eigenvalue guarantees a full eigenvector basis.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A defective matrix is a counterexample.
احتفظ بالتميّزات
- الرتبة — بُعد صورة التطبيق الخطي.
- القيمة الذاتية — عدد حقيقي يحقق Av=λv لمتجه v لا يساوي الصفر.
- ربط الرتبة، والنقصان، وحلول الأنظمة الخطية.
- حلل الفضاءات الشعرية والتحويلات الخطية.
- احسب القيم الذاتية، والمحددات، وشروط التقطيع (diagonalisation).
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.